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A. Quʼest-ce quʼune fraction ?

1. La fraction comme proportion

  Définition
Une fraction peut représenter un partage, le rapport de proportionnalité entre deux nombres.

  J'applique
Consigne :
Donnez la fraction qui représente le partage.
Correction :
a. 210\dfrac{2}{10} ou 15\dfrac{1}{5} si lʼon regroupe les barres par deux.
b. Ce nʼest pas 14\dfrac {1}{4} du gâteau. On ne peut pas savoir la fraction que cela représente car il nʼest pas coupé en parts égales.

2. La fraction comme quotient et comme nombre

  Définition
aa et bb sont deux nombres tels que bb est différent de 00
Le quotient de aa par bb est le nombre qui, multiplié par bb, donne aa. Il est noté ab\dfrac{a}{b} et est appelé fraction.
Une fraction est donc le résultat dʼune division (avec aa le numérateur et bb le dénominateur) : ab=a÷b\dfrac{a}{b} = a \div b


Attention ! Il est impossible de diviser par zéro. Le dénominateur ne peut donc jamais être égal à zéro.

3. Règles dʼécriture

  Vocabulaire
Un nombre rationnel est un nombre qui peut sʼécrire comme une fraction de deux entiers.
Un nombre décimal est la fraction dʼun entier par 1010, 100100, 10001 000, 1000010 000, etc.
Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100100.
Certaines fractions ne peuvent pas sʼécrire sous forme décimale car il y aurait un nombre infini de chiffres après la virgule, comme dans le cas de 13\dfrac{1}{3}. On utilise alors lʼécriture fractionnaire pour donner une valeur exacte. On peut cependant en donner des valeurs décimales approchées.

Remarque :
Certaines fractions sont des nombres décimaux, comme dans le cas de 64=1,5\dfrac{6}{4} = 1,5. On dit alors que 1,5 est lʼécriture décimale de la fraction 64\dfrac{6}{4}.

  J'applique
Consigne :
17\dfrac{1}{7} peut-il sʼécrire sous forme décimale ?
Correction : 17\dfrac{1}{7} vaut 0,1428571428570\text{,}142857142857... avec une infinité de fois 142857142857.
0,1421857142857<17<0,1428571428580\text{,}1421857142857 < \dfrac{1}{7} < 0\text{,}142857142858. On ne peut pas en donner une écriture décimale exacte. En revanche, on peut en donner une valeur arrondie.

B. Comparer des fractions

1. Comparaison à zéro

  Propriété
On peut repérer une fraction sur une droite graduée.
Une fraction négative se trouve à gauche de 0.
La règle des signes sʼapplique pour les fractions :
  • si aa et bb ont le même signe, alors ab\dfrac{a}{b} est positif ;
  • si les signes de aa et bb sont différents, alors ab\dfrac{a}{b} est négatif.

Remarque :
On a notamment 45=45=45-\dfrac{4}{5} = \dfrac{-4}{5} = \dfrac{4}{-5}. Pour un nombre négatif, on préférera la première écriture : 45-\dfrac{4}{5}.

2. Comparer des fractions dans des cas particuliers

  Propriété
  • Une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur est égale à 1.
  • Si deux fractions positives ont le même :
    • dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
    • numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
  • Les fractions négatives sont rangées dans le sens contraire des fractions positives.
  • Si deux fractions ont le même dénominateur, elles sont égales seulement si elles ont le même numérateur.  
  J'applique
Consigne : 
Comparez 57-\dfrac{5}{7} et 56-\dfrac{5}{6}.
Correction : Les deux fractions ont le même numérateur et 7>67 > 6, donc 57<56\dfrac{5}{7} < \dfrac{5}{6}.
Or les deux fractions sont négatives, donc 57>56-\dfrac{5}{7} > -\dfrac{5}{6}.

3. Comparaison générale de fractions  

  Propriété
Si on multiplie ou divise à la fois le numérateur et le dénominateur par le même nombre k0k \neq 0, alors on ne change pas la valeur de la fraction : ab=a×kb×k\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} et ab=a÷kb÷k\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k}.

Remarque :
Cette propriété permet de comparer des fractions. Cela peut aussi se faire en les plaçant sur une droite graduée ou en donnant leur écriture décimale, lorsque cela est possible.

4. Simplification de fraction

  Propriété
Lorsque le numérateur et le dénominateur dʼune fraction ont un diviseur commun autre que 1, il est possible de simplifier la fraction. Il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par ce diviseur commun.
Si une fraction nʼest pas simplifiable, on dit quʼelle est « irréductible ».

  J'applique
Consigne : La fraction 12100\dfrac{12}{100} est-elle simplifiable ?
Correction : 12 et 100 ont un diviseur commun, 4.
Donc 12100=3×425×4=325\dfrac {12}{100} = \dfrac{3 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{3}{25}.
3 et 25 n'ont pas de diviseurs communs, donc 325\dfrac {3}{25} est irréductible.

C. Opérations sur les fractions

1. Addition et soustraction

  Propriété
Pour additionner ou soustraire des fractions qui ont le même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs. Le dénominateur reste le même.
Pour additionner ou soustraire des fractions, on réduit dʼabord les deux fractions au même dénominateur.

  J'applique
Consigne : 
Calculez 29+43\dfrac{2}{9} + \dfrac{4}{3}.
Correction : 29+43=29+4×33×3=29+129=149\dfrac {2}{9} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{4 \times 3}{3 \times 3} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{12}{9} = \dfrac{14}{9}

 

2. Multiplication de fractions

  Rappel 
Prendre une fraction dʼun nombre, cʼest le multiplier par cette fraction.

  Propriété
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. ab×cd=a×cb×d\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}

Exemple :
On pose A=74×6.6=61A = \dfrac{7}{4} \times 6.6 = \dfrac{6}{1}, on a donc A=74×61A = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{6}{1} alors A=7×64×1=6×74A = \dfrac{7 \times 6}{4 \times 1} = \dfrac{6 \times 7}{4} car 7×6=6×77 \times 6 = 6 \times 7.
Donc A=64×7A = \dfrac{6}{4} \times 7.

  J'applique
Consigne :  Calculez 115\dfrac{11}{5} de 15.
Correction : On choisit l'une de ces 3 méthodes : 
  • 115×15=2,2×15=33\dfrac{11}{5} \times 15 = 2\text{,}2 \times 15 = 33 car 115=2,2\dfrac{11}{5} = 2\text{,}2
  • 11×155=1655=5×335×1=33\dfrac {11 \times 15}{5} = \dfrac{165}{5} = \dfrac{5 \times 33}{5 \times 1} = 33
  • 11×155=11×3=3311 \times \dfrac{15}{5} = 11 \times 3 = 33 car 155=3\dfrac{15}{5} = 3

3. Inverse dʼun nombre

  Définition
Lʼinverse dʼun nombre aa non nul est le nombre qui, multiplié par aa, donne 11. Il est noté 1a\dfrac{1}{a} et on a donc : a×1a=1a \times \dfrac{1}{a} = 1.
Lʼinverse dʼun nombre aa non nul peut également sʼécrire : a1=1aa^{-1} = \dfrac{1}{a}

Remarque
: Pour obtenir lʼinverse dʼune fraction, il suffit dʼinverser le numérateur et le dénominateur (ab)1=ba\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1} = \dfrac{b}{a}.

 

4. Division de fractions

  Propriété
Diviser par une fraction, cʼest multiplier par son inverse.

Exemple : 

58÷2713=58×1327\dfrac{5}{8} \div \dfrac{27}{13} = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{13}{27}

58÷2713=5×138×27=65216\dfrac{5}{8} \div \dfrac{27}{13} = \dfrac{5 \times 13}{8 \times 27} = \dfrac{65}{216}
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