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A. Les termes de la statistique

1. Les études statistiques

  Définition
Une enquête statistique se fonde sur lʼobservation dʼune certaine population. Par exemple, les élèves dʼune classe de 5e.
Elle étudie la répartition dʼun caractère au sein de cette population : âge, taille, couleur des cheveux...
Ce caractère peut prendre plusieurs valeurs : une valeur numérique (12 ans, 1,60 m…) ou non (brun...).
Le nombre de fois quʼune valeur est citée constitue son effectif. La somme de tous les eff ectifs donne lʼeffectif total. Il doit être égal au nombre dʼindividus qui composent la population.
  J'applique
Consigne : Paul fait une étude statistique sur la couleur de cheveux des élèves de sa classe.
Il compte 17 bruns, 6 blonds et 2 roux.
Quels sont la population, le caractère, les valeurs, les effectifs et lʼeffectif total de cette série ?
Correction : 
Populationles élèves de la classe
Caractère étudiéla couleur des cheveux
Valeursbrunblondroux
Effectifs17176622
Effectif total17+6+2=2517 + 6 + 2 = 25

 

2. Classes et fréquences

  Définition
Lorsquʼil y a un grand nombre de valeurs possibles pour le caractère de lʼétude statistique, on peut les regrouper en classes. Les classes regroupent plusieurs valeurs. Deux classes ne peuvent pas contenir la même valeur ; on dit donc quʼelles sont disjointes.

  J'applique
Consigne : Aïcha veut étudier la taille des 102 élèves présents dans son collège. A-t-elle intérêt à utiliser des classes ?
Correction : Oui, car elle risque dʼavoir trop de valeurs différentes pour pouvoir les comparer efficacement. Elle peut, par exemple, créer quatre classes :
  • Les élèves qui font moins 1,40 m ;
  • Les élèves qui font entre 1,40 m et 1,499 m ;
  • Les élèves qui font entre 1,50 m et 1,599 m ;
  • Les élèves qui font plus d'1,60 m.

  Définition
La fréquence dʼune valeur (ou dʼune classe de valeurs) est la proportion que représente son effectif par rapport à lʼeffectif total. Cʼest un nombre compris entre 0 et 1.
Freˊquence=effectiftotal effectif\text{Fréquence} = \dfrac{\text{effectif}}{\text{total effectif}} Cette fréquence peut être exprimée en pourcentage, en multipliant le résultat par 100.

  J'applique
Consigne : 
Dans la classe de Paul, qui étudiait la couleur des cheveux de ses camarades de classe, quelle était la fréquence de cheveux bruns ?
Correction : Il y a 17 bruns dans la classe de Paul pour un effectif total de 25 élèves.
1725=0,68=68\dfrac{17}{25} = 0\text{,}68 = 68%
Il y a 68 % de bruns dans la classe de Paul.

Remarque : La somme de toutes les fréquences sous forme de pourcentages dʼune étude statistique doit être égale à 100 %.
Si on a donné des valeurs approchées des fréquences, quand on fait la somme de ces fréquences, on nʼobtient pas forcément 100 %.

B. Représenter les résultats dʼune étude statistique

1. Représenter sous forme de tableau

  Représentation
Pour présenter les données brutes dʼune étude statistique, il est souvent plus facile dʼutiliser un tableau.

Remarque : Il est important de faire figurer lʼeffectif total pour sʼassurer quʼaucun élément nʼa été oublié : si la somme des effectifs nʼest pas égale à lʼeffectif total, les données ont été mal comptabilisées.

2. Représenter sous forme de diagrammes

   Représentation
Il existe de multiples représentations plus visuelles quʼun tableau, notamment :
  • Les diagrammes en bâton et les histogrammes : les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux fréquences des classes ; 
  • Les diagrammes circulaires : les angles des portions sont proportionnels aux fréquences des classes.
Exemple : On peut représenter lʼétude de Paul graphiquement :

  J'applique
Consigne : 
Aïcha utilise des classes pour faire son étude sur les tailles et obtient le tableau ci-dessous :
Taille (cm)[140 ; 150[[150 ; 160[[160 ; 170[Total
Effectif253146102
Exprimez ces données à 'laide dʼun diagramme.
Correction : On représente ce tableau à lʼaide dʼun histogramme.

Remarque : Lʼensemble des points compris entre 140 et 150 se note en mettant les bornes entre crochets :
  • [140 ; 150] représente les points compris entre 140 et 150 inclus ; 
  • [140 ; 150[ représente les points compris entre 140 et 150, 140 inclus mais 150 exclu ; 
  • ]140 ; 150] représente les points compris entre 140 et 150, 150 inclus mais 140 exclu ; 
  • ]140 ; 150[ représente les points compris entre 140 et 150 exclus.

C. Outils statistiques

1. Moyenne

  Définition
La moyenne M dʼune série de nn éléments x1x_1, x2x_2, …, xnx_n se calcule de la façon suivante :
Dans un calcul de moyenne, si lʼon regroupe les éléments par valeur, on dit que lʼon effectue la moyenne des valeurs pondérées par leurs effectifs.

Exemple : Dans un tournoi de foot, on comptabilise le nombre de buts marqués à chaque match.
Nombre de buts01234Effectif total
Effectif5643118
En moyenne, le nombre de buts par match se calcule :
5×0+6×1+4×2+3×3+1×418=1,5\dfrac{5\times0+6\times1+4\times2+3\times3+1\times 4}{18}=1\text{,}5

2. Médiane

  Définition
Dans une série statistique dont les valeurs sont rangées par ordre croissant, on appelle médiane un nombre qui partage cette série en deux groupes de même effectif.

  J'applique
Consigne :  Voici une série : 39, 43, 36, 38, 46, 44, 39.
a. Quelle est la médiane de cette série ?
b. Si on ajoute 42 à cette série, quelle est la nouvelle médiane ?
Correction : 
a. On classe la série statistique par ordre croissant : 
La médiane est donc la valeur de la 4e donnée. Elle vaut donc 39.
b. La 4,5e donnée nʼexiste pas. La médiane est donc entre la 4e et la 5e donnée.
Par convention, la médiane que lʼon donne est alors la moyenne des deux valeurs à la limite des deux groupes. On dit donc quʼune médiane de la série est 39+422=40,5\dfrac{39 + 42}{2} = 40\text{,}5.
Néanmoins, 40 et 41 sont aussi des médianes de cette série.

3. Étendue

  Définition
étendue dʼune série statistique est lʼécart entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série. Plus lʼétendue est grande, plus les données de la série sont dispersées.
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