Pronote
Connectez-vous pour ajouter des favoris

Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

J'apprends

A. Notion et vocabulaire

  Définition
Une fonction ff est un processus qui, à un nombre xx, fait correspondre un nombre noté f(x)f (x).
  • f(x)f (x) se lit « ff de xx ».
  • xx est appelé la « variable » et f(x)f (x) est la valeur prise par la fonction ff pour la valeur xx.
  • On note f:xf(x)f : x \mapsto f (x) et on lit « fonction ff qui à xx associe f(x)f (x) ».
Une fonction agit comme une machine à nombre.
On rentre un nombre dans la machine afin de lui faire subir un certain nombre dʼopérations et on obtient un autre nombre.
  
  J'applique
Consigne : Quelle est la fonction qui à un nombre xx associe son double ?
Correction : f:x2xf : x \mapsto 2x
Le nombre f(x)f(x) est alors le double de xx, soit 2×x2 \times x.

  Définitions 
On définit la fonction ff telle que f:xf(x)f : x \mapsto f (x), alors :
  • le nombre f(x)f (x) est lʼimage de xx par la fonction ff ;
  • xx est un antécédent de f(x)f (x).
Lʼimage dʼun nombre est unique.
Un nombre peut avoir un, plusieurs ou aucun antécédents par ff.

  J'applique
Consigne : 
f:xx2+6xf : x \mapsto x^2 + 6x
Quelles sont les images de 00, 2-2 et 6-6 par ff ?
Correction : 
  • L'image de 00 par ff est : f(0)=02+6×0=0f(0) = 0^2 + 6 \times 0 = 0.
  • L'image de 2-2 par ff est : f(2)=(2)2+6×(2)f(-2) = (-2)^2 + 6 \times (-2) donc f(2)=8f(-2) = -8.
  • L'image de 6-6 par ff est : f(6)=(6)2+6×(6)f(-6) = (-6)^2 + 6 \times (-6) donc f(6)=0f(-6) = 0.
Consigne : f:xx2f : x \mapsto x^2
Donnez des antécédents de 99, 00 et 4-4 par ff.
Correction : 
  • 99 a deux antécédents par ff : 33 et 3-3 car f(3)=9f(3) = 9 et f(3)=9f(-3) = 9.
  • 00 est l'antécédent de 00 par ff car f(0)=0f(0) = 0.
  • 4-4 n'a pas d'antécédent par ff car il n'existe aucun nombre dont le carré soit égal à 4-4.

B. Représentation dʼune fonction

1. Représentation graphique

  Représentation
Dans un repère, la courbe représentative (ou représentation graphique) dʼune fonction ff est lʼensemble des points de coordonnées (x(x ; f(x))f (x)).
On note généralement cette courbe représentative CfC_f.
  Méthode 
À lʼaide dʼune représentation graphique, on peut trouver les images et antécédents dʼune fonction.
  J'applique
Consigne : 

a. À partir du graphique ci-dessus, lire l'image de -1.
b. À partir du graphique ci-dessus, lire les antécédents de -2.
Correction : 
a.
L'image de -1 est 2.
b. -2 a deux antécédents : -2 et 1.

2. Représentation dans un tableau de valeurs

  Représentation
Un tableau de valeurs contient quelques valeurs prises par une fonction ff.
On peut représenter les points correspondants dans un repère : ils se trouvent sur la courbe de ff.
  
  J'applique
Consigne : 

x-10123
f(x)-5-3-111
Ce tableau donne quelques valeurs représentant une fonction ff.
Quel est l'antécédent de -1 par ff ?
Quelle est l'image de -1 par ff ?
Correction : 
L'antécédent de -1 par ff est 1 (3e colonne).
L'image de -1 par ff est -5 (1re colonne).

C. Fonctions linéaires

1. Notion de fonction linéaire

  Définition
Pour un nombre aa donné, la fonction qui, à xx, associe axax, est une fonction linéaire.
On la note f:xaxf : x \mapsto ax

Remarque : Les fonctions linéaires sont les fonctions ff pour lesquelles f(x)f (x) est proportionnel à xx. Si f:xaxf : x \mapsto ax , alors aa est le coefficient de proportionnalité entre xx et f(x)f (x).
Un tableau de valeurs associé à une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.

2. Représentation graphique

  Représentation
La courbe de la fonction linéaire f:xaxf : x \mapsto ax est une droite passant par lʼorigine du repère.
Le nombre aa sʼappelle le coefficient directeur, ou « pente », de cette droite.

Toute droite non verticale passant par lʼorigine du repère est la courbe dʼune fonction linéaire.

  J'applique
Consigne : Tracez la courbe représentative de la fonction linéaire f:x2xf : x \mapsto 2x.
Correction : Cʼest une droite donc deux points suffisent pour tracer sa représentation graphique.
  • Une fonction linéaire passe toujours par lʼorigine du repère, donc un des points peut être O (0 ; 0).
  • f(2)=4f(2) = 4 donc la droite va passer par le point A (2 ; 4).

D. Fonctions affines

1. Notion de fonction affine

  Définition
Pour deux nombres aa et bb donnés, la fonction qui, à xx, associe ax+bax + b est une fonction affine.
On la note f:xax+bf : x \mapsto ax + b.

Remarque : Une fonction linéaire est donc une fonction affine pour laquelle b=0b = 0.

2. Représentation graphique

  Représentation
La courbe dʼune fonction affine f:xax+bf : x \mapsto ax + b est une droite.
Le nombre aa sʼappelle le « coefficient directeur », ou pente, de la droite.
Le nombre bb sʼappelle « lʼordonnée à lʼorigine » de la droite.

Remarques :
  • Une droite non verticale est toujours la courbe dʼune fonction affine.
  • Pour un nombre bb, la fonction f:xbf : x \mapsto b est affine (cʼest bien une fonction de type xax+bx \mapsto ax + b avec a=0a = 0). Elle ne prend quʼune valeur : bb. On dit que cette fonction est constante. Sa courbe est une droite horizontale.

 

3. Résolution graphique dʼune équation, dʼune inéquation

  Méthode 
Si aca \neq c, les courbes des fonctions f:xax+bf : x \mapsto ax + b et g:xcx+dg : x \mapsto cx + d sont des droites non parallèles.
Elles ont un point dʼintersection dont lʼabscisse est la solution de lʼéquation f(x)=g(x)f (x) = g (x).
On peut aussi visualiser les solutions des équations f(x)<g(x)f (x) < g (x), f(x)>g(x)f (x) > g (x).

Exemple : 
Les solutions de lʼinéquation 2x+1<3x4-2x + 1 < 3x - 4 sont tous les nombres x>1x > 1.
Se connecter

Livre du professeur

Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

Votre avis nous intéresse !
Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

Peu probable
Très probable

Cliquez sur le score que vous voulez donner.

Dites-nous qui vous êtes !

Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

Nous envoyer un message




Nous contacter?