Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
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Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
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Ch. 18
Trigonométrie
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Chapitre 10

Problèmes résolus

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Un après-midi de navigation

Je modélise une situation à l'aide d'une expression mathématique
Je comprends la modélisation numérique ou géométrique d'une situation

Marie veut louer un bateau pour un après-midi. Elle ne sait pas encore combien de temps elle souhaite le louer. Elle se demande quel loueur choisir. Voici leurs propositions : Beau-Bateau propose 20 € pour toute location et 10 € par heure et Surfschool 15 € par heure.
Que lui conseilleriez-vous ?
Aide
La variable x représente la durée de location en heures. Donc x = 1\text{,}5 correspond à 1 h 30 de location et non pas à 1 h 50 !
Afficher la correction
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Méthode 1
Pour comparer différentes fonctions, on peut utiliser leurs définitions numériques et déterminer pour quelles valeurs de lʼinconnue lʼune est supérieure ou inférieure à lʼautre (ce qui revient à résoudre une inéquation).

Corrigé 1
On ne connait pas le temps de location.
Or les prix que nous cherchons en dépendent, aussi on va le noter x. On modélise les couts de location par les fonctions suivantes :
  • Beau-Bateau : b (x) = 20 + 10x
  • Surfschool : s (x) = 15x
Nous allons ensuite comparer ces fonctions, cʼest-à-dire chercher les valeurs de x pour lesquelles les images de x par une des fonctions sont plus grandes que les images de x par lʼautre fonction.
On cherche les valeurs de x pour lesquelles s (x) \lt b (x).
On a donc
\begin{aligned} 15x &\lt 20 + 10x \\ 5x &\lt 20 \\ x &\lt 4 \end{aligned}

Donc si Marie navigue moins de 4 h, elle doit choisir Surfschool. Si elle navigue plus de 4 h, elle doit choisir Beau-Bateau.
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Méthode 2
Pour comparer différentes fonctions, on peut utiliser leurs représentations graphiques et voir pour quelles valeurs de la variable lʼune des courbes est au-dessus de lʼautre.

Corrigé 2
Représentation graphique de y = 10x + 20 et y = 15x sur un repère représentant la durée de location (h) en fonction du prix (€). On observe que c'est deux droites se coupent pour x = 4.
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Ce qui nous intéresse est de trouver le prix le plus faible, donc dʼidentifier quelle courbe est en dessous de lʼautre.
Ici, par analyse du graphique, nous voyons que la droite y = 15x est la plus basse jusquʼà x = 4 et ensuite cʼest la droite y = 10x + 20 qui est la plus basse.

Donc si Marie loue moins de 4 h, elle devrait choisir Surfschool, sinon la proposition de Beau-Bateau est la plus intéressante.
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Problème similaire
Voir p. 230 : Les couts d'une voiture.

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