Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 11
J'apprends

Grandeurs et mesures

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A
Mesurer les longueurs qui nous entourent

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1
Mesures de longueurs

Définition
Pour mesurer le monde qui nous entoure, les scientifiques ont développé de nombreuses grandeurs adaptées à ce qui devait être mesuré. Lʼunité légale de référence pour la mesure des longueurs est le mètre (noté \text{m}). On utilise aussi ses multiples (\text{dam}, \text{hm}, \text{km}…) et ses sous-multiples (\text{dm}, \text{cm}, \text{mm}…).

Exercices n°  p. 244

Pour les longueurs :

NomNotationÉquivalent en mètres
Gigamètre\text{Gm}1~000~000~000
MégamètreMm1~000~000
Kilomètre\text{km}1~000
Hectomètre\text{hm}100
Décamètre\text{dam}10
Mètre\text{m}1
Décimètre\text{dm}0,1
Centimètre\text{cm}0,01
Millimètre\text{mm}0,001
Micromètre\text{μm}0,000~001
Nanomètre\text{nm}0,000~000~001

Dans le cas général :
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PréfixeNotationValeur
Giga\text{G}10^{9}
Méga\text{M}10^{6}
Kilo\text{k}10^{3}
Hecto\text{h}10^{2}
Déca\text{da}10
  1
Déci\text{d}10^{-1}
Centi\text{c}10^{-2}
Milli\text{m}10^{-3}
Micro\text{μ}10^{-6}
Nano\text{n}10^{-9}
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1
Périmètres de carré, rectangle et cercle

Propriétés
Le périmètre dʼune figure est la mesure de la longueur de son pourtour.
 
Le périmètre dʼun carré vaut : \text{P} =\text{{\color{#C62A58}c}} +\text{{\color{#C62A58}c}} +\text{{\color{#C62A58}c}} +\text{{\color{#C62A58}c}} = 4\times\text{{\color{#C62A58}c}}.
Le périmètre dʼun rectangle vaut : \text{P} =\text{{\color{#2190A0}l}} +\text{{\color{#C62A58}L}} +\text{{\color{#2190A0}l}} +\text{{\color{#C62A58}L}} = 2 \times(\text{{\color{#2190A0}l}} +\text{{\color{#C62A58}L}}) = 2\times \text{{\color{#2190A0}l}} + 2\times \text{{\color{#C62A58}L}}.
Carré
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Rectangle
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Exercices n°  p. 244-245
Propriété
On note \text{{\color{#C62A58}r}} le rayon du cercle.
  • Diamètre = 2\times\text{{\color{#C62A58}r}}  
  • Périmètre = 2\times\pi\times\text{{\color{#C62A58}r}}
Cercle
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Exercices n°  p. 84-87
Remarque :  On mesure souvent le rayon dʼun cercle au lieu de son diamètre.
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B
Mesurer des surfaces

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1
Aires de figures usuelles

Propriétés
Aire dʼun carré
A =\text{{\color{#C62A58}c}}\times\text{{\color{#C62A58}c}}
c411inf1497-01
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Aire dʼun triangle
A = \dfrac{\text{{\color{#C62A58}h}}\times \text{{\color{#2190A0}s}}}{2}, avec \text{{\color{#C62A58}h}} une hauteur et \text{{\color{#2190A0}s}} le support de cette hauteur.
Carré
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 Aire dʼun rectangle
A =\text{{\color{#C62A58}L}}\times\text{{\color{#2190A0}l}}
Rectangle
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 Aire dʼun triangle rectangle 
A=\dfrac{\text{{\color{#C62A58}a}} \times\text{{\color{#2190A0}b}}}{2}
Un triangle rectangle
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 Aire dʼun cercle
A = \pi\times\text{{\color{#C62A58}r}}\times\text{{\color{#C62A58}r}}.
Également noté A=\pi\times\text{{\color{#C62A58}r}}^2
Cercle
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 Aire dʼun parallélogramme
A =\text{{\color{#C62A58}h}}\times\text{{\color{#2190A0}s}}, avec \text{{\color{#C62A58}h}} une hauteur et \text{{\color{#2190A0}s}} le support de cette hauteur.
Parallélogramme
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Exercices n°  p. 245-246
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2
Unités de mesure et conversion

Méthode
Pour mesurer des surfaces, on utilise comme unité le \text{m}^2 (mètre carré).
Pour convertir, vous pouvez vous aider de ce tableau.

Symbole\textbf{\text{km}}^2 \textbf{\text{hm}}^2 \textbf{\text{dam}}^2 \textbf{\text{m}}^2 \textbf{\text{dm}}^2 \textbf{\text{cm}}^2 \textbf{\text{mm}}^2 
1 \text{m}^2=       {\color{#C62A58}1}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}
1 \text{cm}^2=      {\color{#2190A0}0,}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0} {\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0} {\color{#2190A0}0}{\color{#C62A58}1}   
10 \text{dam}^2=    {\color{#C62A58}1}{\color{#2190A0}0} {\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}       
10 \text{dm}^2= {\color{#2190A0}0,}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0} {\color{#C62A58}1}{\color{#2190A0}0}     

Donc
1 \text{m}^2 = 1~000~000 \text{mm}^2
1 \text{cm}^2= 0,000~001 \text{dam}^2
10 \text{dam}^2 = 1\:000 \text{m}^2
10 \text{dm}^2 = 0,000~000~1 \text{km}^2

Exercices n°  p. 248-249
Remarque : 
  • Noter \text{m}^2 (mètre carré), cʼest choisir comme unité lʼaire dʼun carré dʼun mètre de côté. 
  • Lʼhectare (\text{h}) est lʼaire dʼun carré de 100 mètres de côté, soit 1 \text{hm}^2 dʼaire. 
  • Les unités dʼaire varient de 100 en 100 ; 1 \text{dam}^2 = 100 m^2.
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C
Mesurer des volumes

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1
Volume d'un pavé droit

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Définition
Le volume dʼun pavé droit dʼarêtes de longueurs \text{{\color{#C62A58}a}}, \text{{\color{#2190A0}b}} et \text{c} vaut : \text{V} =\text{{\color{#C62A58}a}}\times\text{{\color{#2190A0}b}}\times\text{c}.

Un pavé droit
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Exercices n°  p. 246
Remarque :  Un pavé droit peut également être appelé parallélépipède rectangle.
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2
Volumes de solides usuels

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Propriétés
Volume du cylindre de révolution
V =\pi\times\text{{\color{#C62A58}r}}^2\times\text{{\color{#2190A0}h}}
avec \text{{\color{#2190A0}h}} la hauteur et \text{{\color{#C62A58}r}} le rayon.
cylindre de révolution
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Volume dʼune pyramide
V =\dfrac{1}{3}\times\text{A}\times\text{{\color{#2190A0}h}} avec \text{{\color{#2190A0}h}} la hauteur et \text{A} lʼaire de la base.
pyramide
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Volume dʼun cône de révolution
V =\dfrac{1}{3}\times\pi\times\text{{\color{#C62A58}r}}^2\times\text{{\color{#2190A0}h}} avec \text{{\color{#2190A0}h}} la hauteur et \text{{\color{#C62A58}r}} le rayon.
un cône de révolution
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Volume dʼune boule
V =\dfrac{4}{3}\times\pi\times\text{{\color{#C62A58}r}}^3 avec \text{{\color{#C62A58}r}} le rayon.
une boule
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Volume dʼun prisme droit
V = \text{{\color{#C62A58}A}}\times\text{{\color{#2190A0}h}}  avec \text{{\color{#2190A0}h}} la hauteur et \text{{\color{#C62A58}A}} lʼaire de la base.
un prisme droit
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Exercices n°  p. 246-248
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3
Unités de mesure et de conversion

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Définition
Pour mesurer un volume, on utilise le mètre cube (noté \text{m}^3), ainsi que ses multiples et ses sous-multiples.
On utilise aussi des unités de contenance qui mesurent la quantité de liquide que peut contenir un volume. Lʼunité de contenance de référence est le litre (noté \text{L}).
Pour convertir, vous pouvez vous aider de ce tableau :



\text{m}^3  \text{dm}^3\text{cm}^3\text{mm}^3
   \textbf{\text{hL}}\textbf{\text{daL}}\textbf{\text{{\color{#C62A58}L}}}\textbf{\text{dL}}\textbf{\text{cL}}\textbf{\text{mL}}  
1 \text{L} =   {\color{#2190A0}0}\text{,}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{{\color{#C62A58}1}}      
1 \text{L} =     {{\color{#C62A58}1}}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}   
1 \text{m}^3 =  {{\color{#C62A58}1}}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}      
10 \text{m}^3 = {{\color{#C62A58}1}}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}{\color{#2190A0}0}

Donc
1 \text{L} = 0\text{,}001 \text{m}^3
1 \text{L} = 1\:000 \text{cm}^3 = 1\:000 \text{mL}
1 \text{m}^3 = 1\:000 dm^3 = 1\:000 \text{L}
10 \text{m}^3 = 10\:000\:000\:000 \text{mm}^3

Exercices n°  p. 248-249
Remarques : 
  • Noter \text{m}^3 (mètre cube), cʼest choisir comme unité le volume dʼun cube dʼun mètre dʼarête. 
  • Les unités de volume varient de \text{1~000} en \text{1~000} : 1 \text{m}^3 = 1~000 \text{dm}^3. Les unités de contenance varient de \text{10} en \text{10} : 1 \text{L} = 10 \text{dL}.

J'applique

Consigne :
Exprimez \text{15,2~dm}3 en \text{cL}.

Correction :
On rappelle que \text{1~dm}3 = \text{1~L} et \text{1~L} = \text{100~cL}.
Donc \text{15,2~dm}3 = 15\text{,}2 \times 100 \text{cL} = 1\:520 \text{cL}.
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D
Grandeurs composées

J'approfondis
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Définition
Une grandeur composée est une grandeur issue du produit ou du quotient dʼautres grandeurs.
On parle de grandeur produit quand elle résulte de la multiplication de deux valeurs, et de grandeur quotient quand elle résulte de la division de deux valeurs. Lʼunité dʼune grandeur composée est le produit ou le quotient des unités de chaque grandeur.

Exercices n°  p. 248-249
Exemples :
Pour calculer une vitesse exprimée en mètres par seconde, on divise une distance exprimée en mètres par une durée exprimée en secondes. Cʼest une grandeur quotient.
Formule pour calculer une vitesse exprimée en mètres
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Remarque :  Pour obtenir lʼaire dʼune surface rectangulaire, on multiplie les distances de ses côtés (en mètres par exemple) entre elles. Lʼaire obtenue est alors en mètres carrés. Le \text{m}^2 est donc une grandeur composée (cʼest une grandeur produit).
\dfrac{\text{m}}{\text{s}} s'écrit aussi \text{m.s}^{-1}

  
Méthode
Pour pouvoir faire des comparaisons et des calculs avec des mesures, il faut quʼelles soient exprimées avec les mêmes unités. Si deux mesures ne sont pas exprimées dans les mêmes unités, on commence par les convertir dans la même unité.

Exercices n°  p. 248-249

J'applique

Consigne :
Additionnez ces deux vitesses : \text{35~km/h} et \text{10~m/s}.
Correction :
On convertit une des deux vitesses pour qu'elle ait les mêmes unités que l'autre. La conversion de 10 m/s en km/h se fait par le calcul :
10\: \text{m/s} = \dfrac {10 \:\text{m}}{1 \:\text{s}} = \dfrac {\dfrac{1}{100} \:\text{km}}{\dfrac{1}{3\:600} \:\text{h}} = \dfrac{3\:600}{100} \:\text{km/h} = 36~\text{km/h}
On peut donc additionner les vitesses exprimées dans la même unité \text{(km/h)} : 35 + 36 = 71.
La vitesse obtenue est donc \text{71~km/h}.

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