Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 15
Exercices

Je résous des problèmes

10 professeurs ont participé à cette page
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25
Un beau paquet cadeau

Le cadeau de Virginie est de forme cubique. Il est empaqueté dans du papier rouge. Deux rubans verts lʼentourent en joignant le milieu des arêtes.
Représentez le cadeau et les rubans en perspective cavalière, puis dessinez un patron de ce cube et indiquez-y lʼendroit où passent les rubans.
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26
Savoir refaire
Coupe d'un pavé droit

Graphique lié à l'exercice 1
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\text{ABCDEFGH} est un parallélépipède rectangle. Le point \text{I} appartient à [\text{AH}] et \text{AI = 2 cm}. Le point \text{J} appartient à [\text{BG}] et \text{BJ = 2 cm}.

1. Que peut-on dire de \text{(IJ)} et \text{(AB)} ?

2. Le point \text{K} de \text{[FG]} est tel que \text{FK = 3,5 cm}. Le plan passant par \text{I}, \text{J} et \text{K} coupe \text{[EH]} en \text{L}. Déterminez la nature de la section plane de \text{ABCDEFGH} par ce plan. Donnez les dimensions de la section plane.
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27
Camion citerne

Graphique lié à l'exercice 2
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Un camion est équipé dʼune citerne longue de \text{10 m}.

1. Déterminez la capacité maximale de la citerne.

2. La citerne est remplie partiellement : le niveau dʼeau est à \text{20 cm} en dessous de la moitié du réservoir. Quelle est la forme de la surface de lʼeau ?

3. Déterminez les dimensions de cette surface.

4. Déterminez lʼaire de cette surface en \mathrm{m}^{2}.
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28
Savoir refaire
Château d'eau

Graphique lié à l'exercice 3
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\mathrm{AH}=\mathrm{AO}=11,4 \mathrm{~m}.

1. Déterminez le volume de la citerne au \mathrm{dm}^{3} près.

2. Combien de litres dʼeau faut-il pour remplir la citerne à moitié ?

3. Quelle part de la contenance totale un remplissage au niveau de la ligne rouge représente-t-il ?
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29
Vers le Brevet (Polynésie, 2011)

On considère la section \text{AIJD} du cube par un plan parallèle à lʼarête \text{[BC]} et passant par les points \text{A} et \text{I}. Les mesures sont en cm.

1. La section \text{AIJD} du cube est-elle un losange, un rectangle, un parallélogramme ou un carré ?

Graphique lié à l'exercice 4
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2. Dessinez en grandeur réelle le triangle \text{AIB} et la section \text{AIJD}.
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3. Montrez que lʼaire du triangle \text{AIB} est égale à 9 \mathrm{~cm}^{2}.

4. La partie basse \text{ABCDJI} du cube est un prisme droit. Calculez le volume du prisme droit \text{ABCDJI} en \mathrm{cm}^{3}.
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30
Savoir refaire
Dans un aquarium

Un aquarium en forme de sphère coupée de 15 \mathrm{~cm} de rayon est rempli d'eau à une hauteur de 21 \mathrm{~cm}.

image d'un aquarium
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1. Quelle forme a la surface de lʼeau ? Quelle est lʼaire en \mathrm{cm}^{2} de cette surface ?

2. Le niveau dʼeau baisse jusquʼà atteindre le point \text{O}. Quel volume dʼeau en \mathrm{cm}^{3} reste-t-il dans le bocal ?
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31
Un jeu finlandais

Marc, Pierre et Romain jouent à un jeu de quilles un peu spécial. Ce jeu se joue avec des quilles en bois. Les quilles sont obtenues par la section en biais dʼun cylindre en bois.

1. Construisez une représentation cavalière dʼune quille.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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32
Coupe d'une sphère

S est une sphère de centre \text{O}. On la coupe par un plan passant par \text{O'} tel que \text{OO' = 4 cm}. \text{M} est un point de cette section tel que le triangle \text{OO'M} est rectangle isocèle en \text{O'}.
Graphique lié à l'exercice 6
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1. Quel est le rayon de la sphère S ?
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33
La Géode

La Géode est une salle de cinéma à Paris permettant de projeter des films à 360^{\circ}. Cette salle a la forme dʼune sphère de \text{36 m} de diamètre, avec une section à sa base. Lorsque lʼon est à lʼintérieur de la Géode, le plafond se trouve \text{29 m} au-dessus de notre tête.
Graphique lié à l'exercice 7
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1. Quelle est la surface au sol de la Géode ?
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34
De l'autre côté du monde

Les coordonnées géographiques de la ville de Syracuse en Italie sont approximativement de 37^{\circ}~\mathrm{N} et 15^{\circ}~\mathrm{E}.

1. Déterminez les coordonnées géographiques du point situé diamétralement à lʼopposé de Syracuse.

2. Où se situe approximativement ce point ?
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35
Distances terrestres

Sachant que la Terre a un rayon de {6~371 \mathrm{~km}}. Quelle est la distance du Sud à lʼOuest...

1. en ligne droite, à lʼintérieur de la Terre ?

2. à vol dʼoiseau en suivant la surface de la Terre ?
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36
Méridiens et parallèles

Placeholder pour Graphique lié à l'exercice 9Graphique lié à l'exercice 9
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La Terre peut être représentée comme une boule dʼenviron {12~800 \mathrm{~km}} de diamètre.

Graphique lié à l'exercice 8
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1. Quelle est la nature des méridiens ? Quelle est la nature des parallèles ?

2. Quelle est la longueur de lʼÉquateur ?

3. Quelle est la longueur dʼun méridien ?

4. Quelles sont les coordonnées du pôle Nord ? Du pôle Sud ? Dʼune ville située sur lʼÉquateur ? De la ville de Greenwich ?

5. Le plus court chemin pour aller du point de coordonnées {22^{\circ}~\mathrm{S}}, {43^{\circ}~\mathrm{O}} au point {10^{\circ}~\mathrm{N}}, {106^{\circ}~\mathrm{E}} passe-t-il par lʼÉquateur ? Par le méridien de Greenwich ?
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37
À la surface de la Terre

On considère les villes de Santiago du Chili (\text{S}), Boston (\text{B}) et Carcassonne (\text{C}). Leurs coordonnées géographiques sont :
{\mathrm{S}\left(33^{\circ}~\mathrm{S}~; 70^{\circ}~\mathrm{O}\right)} ;
{\mathrm{B}\left(43^{\circ}~\mathrm{N}~; 70^{\circ}~\mathrm{O}\right)} ;
{\mathrm{C}\left(43^{\circ}~\mathrm{N}~; 2^{\circ}~\mathrm{E}\right)}.

1. Que peut-on dire des villes Santiago du Chili et Boston ?

2. \text{O} est le centre de la Terre. Quelle est la mesure de l'angle \widehat{\text{SOB}} ?

3. Sachant que le rayon de la Terre est de {\text{6~371 km}}, calculez une valeur arrondie au \text{km} près de la distance entre Santiago du Chili et Boston.

4. Reprennez les questions précédentes avec Boston et Carcassonne.
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38
De Cape Town à Sydney

On considère les villes de Cape Town {\left(33^{\circ}~\mathrm{S}~; 18^{\circ}~\mathrm{E})\right.} et de Sydney {\left(33^{\circ}~\mathrm{S}~; 151^{\circ}~\mathrm{E})\right.}. Le rayon de la Terre est de \text{6~371 km}.

1. Quel est le rayon du parallèle situé {33^{\circ}~ \mathrm{S}} ?
Coup de pouce
Le rayon forme un angle droit avec l'axe de rotation de la Terre. On peut utiliser la trigonométrie.

2. Quelle est la distance à vol dʼoiseau entre ces deux villes au \text{km} près ?
Coup de pouce
Il faut d'abord trouver l'angle entre ces deux villes qui ont pour sommet le centre de la sphère.
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39
Cartes avec courbes de niveau et randonnées

Pour mieux se repérer sur une carte et pouvoir représenter des montagnes en deux dimensions, il existe une solution : les courbes de niveau.
Placeholder pour Graphique lié à l'exercice 10Graphique lié à l'exercice 10
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Il suffit de sʼimaginer que lʼon coupe en tranches le relief du paysage. Une personne qui se déplace du point \text{A} au point \text{B} descend de \text{50 m}. Une personne qui se déplace du point \text{B} au point \text{C} monte de \text{100 m}.
Graphique lié à l'exercice 11
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Pour représenter cela sur une carte, il suffit de symboliser avec des courbes tous les endroits de la carte ayant la même altitude.

1. Sur la carte, quel est le point le plus haut représenté ?

2. La ville de Le Monestier se trouve-t-elle à plus de {\text{1~000 m}} dʼaltitude ? À moins de {\text{600 m}} ? À moins de {\text{800 m}} ?

3. Combien y a-t-il de courbes de niveau entre {\text{1~200 m}} et {\text{1~400 m}} dʼaltitude ? Quelle différence dʼaltitude y a-t-il entre deux courbes de niveaux ?
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40
Londres

Placeholder pour Graphique lié à l'exercice 13Graphique lié à l'exercice 13
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Le dessin ci-après représente la Terre qui est assimilée à une sphère de {\text{6~371 km}} de rayon. Le cercle de centre \text{C} passant par \text{M} représente lʼéquateur. Le point \text{L} représente la ville de Londres. \text{L} est situé sur la sphère et sur le cercle de centre \text{P}. On admettra que l'angle \widehat{\text{LPC}} est un angle droit. On donne {\text{CP = 4~880 km}}.

Graphique lié à l'exercice 12
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1. Calculez \text{PL} au \text{km} près.
Coup de pouce
LPC est un triangle rectangle en P.

2. Calculez la mesure de lʼangle \widehat{\text{PCL}} et arrondissez-le au degré près.
Coup de pouce
On peut utiliser la trigonométrie.

3. Déduisez-en, au degré près, la latitude Nord de Londres par rapport à lʼéquateur, cʼest-à-dire l'angle \widehat{\text{LCM}}.
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41
Vers le Brevet (Métropole, 2002)

La Terre est assimilée à une sphère de rayon {\text{6~371 km}}.
Graphique lié à l'exercice 14
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1. On considère le plan perpendiculaire à la ligne des pôles \text{(NS)} et équidistant de ces deux pôles. Lʼintersection de ce plan avec la Terre sʼappelle lʼéquateur. Calculez la longueur de lʼéquateur.

2. On note \text{C} le centre de la Terre et \text{G} un point de lʼéquateur. On considère deux points \text{A} et \text{B} situés en Afrique sur lʼéquateur. Ces points sont disposés comme l'indique le schéma. On sait que {\widehat{\text{GCA}}=42^{\circ}} et {\widehat{\text{GCB}}=9^{\circ}}. Calculez la longueur de l'arc \text{AB}, portion de l'équateur située en Afrique.
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42
L'aquarium de Margaux

Margaux possède un aquarium. Elle le soulève pour changer lʼeau. Avant que Margaux ne vide lʼaquarium, un canard en plastique flottait en plein milieu de la surface de lʼeau.
Placeholder pour Graphique lié à l'exercice 15Graphique lié à l'exercice 15
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Placeholder pour schéma de l'aquarium juste avant qu'il ne débordeschéma de l'aquarium juste avant qu'il ne déborde
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1. Quelles étaient ses coordonnées dans lʼaquarium ?
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A
Exercice numérique

Jeanne dispose d'un moule en silicone composé de \text{6} cubes de \text{5~cm} de côté ainsi que de \text{5~L} de pâte à gâteaux qu'elle veut utiliser.

1. Combien de fournées va-t-elle devoir réaliser ?
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B
Exercice numérique

On dispose d'une citerne de lait de forme cylindrique de \text{80~cm} de diamètre et d'une capacité de \text{800~L}.

1. Déterminer la hauteur de cette citerne.
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Tâche complexe
Un sacré périple !

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Énoncé

Lucile sʼest fait plein dʼamis à lʼuniversité et décide de leur rendre visite pendant ses vacances. Elle veut savoir combien de kilomètres elle a parcouru. Elle fait la liste de ses déplacements.

1. Quelle distance a-t-elle parcourue à votre avis ?
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Doc. 1
Extrait du carnet de Lucile

« Je suis partie de Londres dont les coordonnées sont {\left(51^{\circ}~\mathrm{N}~; 0^{\circ}~\mathrm{E})\right.} pour aller jusqu'à Valencia en Espagne {\left(40^{\circ}~\mathrm{N}~; 0^{\circ}~\mathrm{E})\right.}. Puis je me suis dirigée vers Pékin {\left(40^{\circ}~\mathrm{N}~; 116^{\circ}~\mathrm{E})\right.}. J'ai ensuite fait {\text{4~450 km}} vers le Sud et {\text{12~900 km}} vers l'Ouest. C'est à partir de ce point que je suis revenue à Londres. »
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Doc. 2
Terre

La Terre est assimilée à une sphère de rayon {\text{6~371 km}}. Le parallèle passant à {40^{\circ}~\mathrm{N}} a une longueur approximative de {\text{30~740 km}}.
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Doc. 3
Planisphère

Placeholder pour Graphique lié à l'exercice 3Graphique lié à l'exercice 3
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