Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 15
Les maths autrement

Les solides de Platon

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Présentation

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Platon


Platon (428 av. J.-C. - 348 av. J.-C.) est un philosophe grec de l'Antiquité. C'est aussi un grand mathématicien qui voit les mathématiques comme la logique de l'esprit. Il a fondé l'Académie de Platon, dont la devise aurait été « Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre ».
Selon Platon, le monde se fonde sur 5 éléments l'eau, la terre, le feu, l'air et l'éther (l'univers). Il ne peut donc y avoir que 5 solides convexes réguliers : un pour chaque éléments.
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Compétences travaillées

  • J'argumente et j'échange sur une démarche mathématique.
  • J'émets une hypothèse.
  • Je me repère sur une droite, dans le plan ou dans l'espace.
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Étape 1
Exactement 5 solides

Un siècle après Platon, Euclide démontre que ce nombre de 5 est exact. Nous allons le justifier.
Un solide est régulier si toutes ses arêtes et toutes ses faces sont identiques et si, à chaque sommet, autant dʼarêtes convergent. Un solide est convexe sʼil nʼa pas de « creux » ou de « pic », contrairement à celui-ci :
Placeholder pour Illustration du solide.Illustration du solide.
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1. Expliquez pourquoi les faces des solides de Platon sont des polygones réguliers.
2. Observons les solides possibles dont les faces sont des triangles équilatéraux.
    a. Combien de faces peut-on avoir adjacentes à un sommet ?

    b. Pour chaque possibilité, indiquez combien de faces aurait le solide.
Le nom du solide est obtenu par le nombre de faces, dit en grec « hédra », suivi du suffixe « -èdre ».

3. Observons les solides possibles dont les faces sont des carrés :
    a. Quel est le nombre de faces que lʼon peut avoir par sommet ?
    b. Comment sʼappelle le solide obtenu ?
4. Observons les solides possibles dont les faces sont des pentagones réguliers :
    a. Quel est le nombre de faces que lʼon peut avoir par sommet ?
    b. Combien de faces a le solide obtenu ?
5. Est-il possible que les faces du solide soient des hexagones ? Expliquez.
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Étape 2
La formule d'Euler

1. Pour chacun des solides obtenus, déterminez la valeur de F + S - AF est le nombre de faces, S le nombre de sommets et A le nombre dʼarêtes.
2. Que constatez-vous ?
Cette formule a été démontrée en 1752 par le mathématicien suisse Leonhard Euler ; elle est vraie pour tout polyèdre convexe.
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