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A. Relations trigonométriques dans un triangle rectangle

1. Côtés dʼun triangle rectangle

  Définitions 
Dans un triangle rectangle, on définit trois côtés : lʼhypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à lʼangle étudié.

Remarque : Seule lʼhypoténuse est toujours la même quel que soit lʼangle étudié. Le côté opposé à lʼangle ABC^\widehat{\text{ABC}} est [AC], mais le côté opposé à lʼangle ACB^\widehat{\text{ACB}} est [AB].

2. Cosinus, sinus, tangente

  Définition
Pour un angle aigu a :
On note cosa\cos a le cosinus de l’angle aa et on définit : cosa=longueur du coˆteˊ adjacent aˋalongueur de l’hypoteˊnuse\cos a = \dfrac{\text{longueur du côté adjacent à}\:a}{\text{longueur de l'hypoténuse}}
On note sina\sin a le sinus de l’angle aa et on définit : sina=longueur du coˆteˊ opposeˊ aˋalongueur de l’hypoteˊnuse\sin a = \dfrac{\text{longueur du côté opposé à}\:a}{\text{longueur de l'hypoténuse}}
On note tana\tan a la tangente de l’angle aa et on définit : tana=longueur du coˆteˊ opposeˊ aˋalongueur du coˆteˊ adjacent aˋa\tan a = \dfrac{\text{longueur du côté opposé à}\:a}{\text{longueur du côté adjacent à}\:a}

Dans le triangle ABC rectangle en A :
cosABC^=ABBC\cos \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}
sinABC^=ACBC\sin \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}
tanABC^=ACAB\tan \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AB}} 

Un moyen mnémotechnique pour retenir ces formules est « SOH CAH TOA » ou « CAH SOH TOA » pour les plus futés d'entre vous.

  J'applique : 
Consigne : 
Dans le triangle EDF rectangle en D, exprimez cosDEF^\cos \widehat{\text{DEF}}, sinDFE^\sin \widehat{\text{DFE}}, tanDEF^\tan \widehat{\text{DEF}}.
Correction :  cosDEF^=DEEF\cos \widehat{\text{DEF}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{EF}}sinDFE^=DEEF\sin \widehat{\text{DFE}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{EF}}tanDEF^=DFDE\tan \widehat{\text{DEF}} = \dfrac{\text{DF}}{\text{DE}} 

Remarque : Sur la calculatrice, les touches COS, SIN et TAN permettent respectivement de calculer le cosinus, le sinus et la tangente dʼun angle.

B. Calculs de longueurs et dʼangles

1. Calcul de la longueur dʼun côté de lʼangle droit

  Méthode 
Si lʼon connait la mesure dʼun des angles (non droit) du triangle rectangle et la longueur dʼun des côtés, on peut obtenir les longueurs des autres côtés en utilisant le rapport trigonométrique approprié.
Je connaisHypoténuseCôté opposéCôté adjacent
Je veux
Hypoténuse sincos
Côté opposésin tan
Côté adjacentcostan 

 J'applique :
Consigne :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que BC = 7 cm et ABC^=53\widehat{\text{ABC}} = 53^{\circ}.
Calculez AB (arrondissez au mm).
Correciton : 
[AB] est le côté adjacent à lʼangle ABC^\widehat{\text{ABC}} et [BC] est lʼhypoténuse. Donc cos53=AB7\cos 53^{\circ} = \dfrac{\text{AB}}{7}
donc AB=7×cos534,2\text{AB} = 7 \times \cos 53^{\circ} \approx 4\text{,}2 cm.

Consigne : 
Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que AC = 7 cm et ABC^=53\widehat{\text{ABC}} = 53^{\circ}.
Calculez BC (arrondissez au mm).
Correction : 
[AC] est le côté opposé à lʼangle ABC^\widehat{\text{ABC}} et [BC] est lʼhypoténuse. Donc sin53=7BC\sin53^{\circ} = \dfrac{7}{\text{BC}} donc BC=7sin538,8\text{BC} = \dfrac{7}{\sin 53^{\circ}} \approx 8\text{,}8 cm.

2. Calcul de la mesure dʼun angle

  Méthode
Dans un triangle rectangle, si lʼon connait les longueurs de deux des côtés, on peut obtenir les mesures de tous les angles en utilisant les rapports trigonométriques.

Remarque :
 Sur la calculatrice, les touches Arccos, Arcsin et Arctan permettent de calculer la mesure dʼun angle si on connait respectivement son cosinus, son sinus ou sa tangente.

 J'applique :
Consigne : 
Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que AB = 7 cm et AC = 5 cm.
Calculez ACB^\widehat{\text{ACB}} (arrondissez au degré).
Correction : 
[AB] est le côté opposé à lʼangle ACB^\widehat{\text{ACB}} et [AC] est le
côté adjacent. Donc tanACB^=ABAC=75\tan \widehat{\text{ACB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{7}{5}.
À lʼaide de la calculatrice, on obtient ACB^=54\widehat{\text{ACB}} = 54^{\circ}.
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