Mathématiques 6e

Enseignant en primaire ?
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Du primaire au collège
Ch. 1
Manipuler les nombres entiers
Ch. 2
Les nombres décimaux
Ch. 3
Addition, soustraction
Ch. 4
Multiplication, division décimale
Ch. 5
Fractions
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Construction de droites
Ch. 9
Angles
Ch. 10
Symétrie axiale
Ch. 11
Triangles, rectangles et losanges
Ch. 12
Aire et périmètre
Ch. 13
Volumes
Chapitre 8
Pas à pas

4. Calcul du plus court chemin

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A
Entre deux points

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Découvrir

Marie et Paul ont décidé de passer l'après-midi au parc. Marie est arrivée en avance et s'est assise sur un banc. Lorsque Paul arrive au parc, plusieurs chemins s'offrent à lui pour rejoindre Marie. Quel chemin semble le plus rapide ?

Placeholder pour Schéma de deux bonhommes batons (Marie et Paul) sur une surface verte. Trois tracés de couleur violet, rouge et orange représentent 3 chemins différentsSchéma de deux bonhommes batons (Marie et Paul) sur une surface verte. Trois tracés de couleur violet, rouge et orange représentent 3 chemins différents
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Le chemin le plus court entre deux points A et B est le segment [AB]. La longueur du chemin est alors la longueur AB. On appelle également cette longueur distance de A à B.

Placeholder pour Segment AB et tracé bleuSegment AB et tracé bleu
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Calculer la distance du plus court chemin entre A et B

Placeholder pour Segment ABSegment AB
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On trace la droite (AB) et on mesure la longueur AB. Ici, AB = 3 cm.

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Exercice 13
Calculer

3 points A, B et C
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La longueur du plus court chemin entre A et B, B et C, et A et C.
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B
Entre un point et une droite

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Marie et Paul, toujours au parc, ont décidé de faire la course. Le gagnant sera le premier à atteindre le bord de la rivière. À un moment donné de la course, ils sont placés comme indiqué sur le plan ci-contre :

a. Reproduire la figure en la décalquant et dessiner deux chemins, un pour Paul, et un pour Marie, qui leur permettrait de rejoindre la rivière.
b. Pour chacun d'entre eux, quel est le chemin le plus court pour rejoindre la rivière ?

Placeholder pour Schéma de deux bonhommes batons (Marie et Paul) sur une surface verte coupée en deux par une ligne bleue (la rivière)Schéma de deux bonhommes batons (Marie et Paul) sur une surface verte coupée en deux par une ligne bleue (la rivière)
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Pour connaitre le chemin le plus court entre un point A et une droite d, on trace la droite perpendiculaire à d passant par A. On appelle B le point d'intersection entre les deux droites. Alors la distance la plus courte entre le point A et la droite d est la longueur AB.

Placeholder pour Droite perpendiculaire à d passant par A. B est le point d'intersection entre les deux droites.Droite perpendiculaire à d passant par A. B est le point d'intersection entre les deux droites.
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Calculer la distance du plus court chemin entre le point A et la droite d

  • On trace la perpendiculaire à d passant par A.
  • En notant B le point d'intersection de la perpendiculaire avec la droite d, la distance du plus court chemin entre le point A et la droite d est la longueur AB. Ici AB = 2 cm.

Placeholder pour Droite d et droite d coupé perpendiculairement par un segment ABDroite d et droite d coupé perpendiculairement par un segment AB
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Exercice 14
Calculer

Droite d et points A, B et C
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La distance du plus court chemin entre les points A, B et C et la droite d.
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C
Entre deux droites parallèles

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Découvrir

Paul et Marie veulent maintenant sauter par-dessus la rivière. Les deux rives sont parallèles.

a. Dans quelle direction Paul et Marie doivent-ils sauter pour faire le saut le plus court possible ? (Se rappeler le paragraphe précédent.)
b. Que constate-t-on sur la longueur des plus courts sauts que Paul et Marie effectuent ?

Placeholder pour Schéma de deux bonhommes batons (Marie et Paul) sur une surface verte coupée en deux par une ligne bleue (la rivière)Schéma de deux bonhommes batons (Marie et Paul) sur une surface verte coupée en deux par une ligne bleue (la rivière)
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  • Le court chemin entre deux droites parallèles d et d' est obtenu en traçant n'importe quelle droite perpendiculaire aux deux droites.
  • Si on note A et A' les points d'intersection entre cette perpendiculaire et les droites d et d', alors la distance entre les deux droites est la longueur AA'.

Placeholder pour Droite d et d' coupée toutes les deux perpendiculairement par un segment AA'Droite d et d' coupée toutes les deux perpendiculairement par un segment AA'
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Calculer la distance entre les droites parallèles d et d'

  • On choisit un point A sur la droite d, celui que l'on souhaite.
  • On trace la perpendiculaire à d' qui passe par A.
  • Si on appelle A' le point d'intersection de la perpendiculaire avec la droite d', alors la distance du plus court chemin entre d et d' est la longueur AA'. Ici, AA' = 1 cm.

Placeholder pour Deux droites d et d', un point A est placé sur la droite d puis un point A' sur la droite d'. Le segment les joignant forme un angle perpendiculaire à la droite d'Deux droites d et d', un point A est placé sur la droite d puis un point A' sur la droite d'. Le segment les joignant forme un angle perpendiculaire à la droite d'
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Exercice 15
Calculer

4 droites d1, d2, d3 et d4
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La distance du plus court chemin entre les droites d_1 et d_2 d'une part, et les droites d_3 et d_4 d'autre part.
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