Mathématiques 6e

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Du primaire au collège
Ch. 1
Manipuler les nombres entiers
Ch. 2
Les nombres décimaux
Ch. 3
Addition, soustraction
Ch. 4
Multiplication, division décimale
Ch. 5
Fractions
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Construction de droites
Ch. 8
Distances et cercles
Ch. 9
Angles
Ch. 11
Triangles, rectangles et losanges
Ch. 12
Aire et périmètre
Ch. 13
Volumes
Chapitre 10
Pas à pas

1. Tracer le symétrique d'une figure simple

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  • On imagine avoir posé une tache de peinture sur une feuille.
  • On plie la feuille sur elle-même : que se passe-t-il ?
  • On obtient une nouvelle tache !

Placeholder pour Schémas. Une feuille de papier sur laquelle il y a une tâche noire. On plie cette feuille en deux, la tâche noire est au milieu. Quand on déplie la feuille on constate que la tâche se trouve maintenant sur le haut et le bas de la feuille.Schémas. Une feuille de papier sur laquelle il y a une tâche noire. On plie cette feuille en deux, la tâche noire est au milieu. Quand on déplie la feuille on constate que la tâche se trouve maintenant sur le haut et le bas de la feuille.
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a. Retourner la feuille de papier calque et la positionner de manière à ce que la droite d sur le calque soit confondue avec celle de la feuille. 
b. Décalquer une nouvelle fois la figure.
c. Que remarque-t-on ?
d. Retourner la feuille de papier calque dans sa position initiale et la plier selon la droite d. Que remarque-t-on ?

Placeholder pour Deux schémas d'un bâteau avec une droite d à côté de lui.Deux schémas d'un bâteau avec une droite d à côté de lui.
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  • On obtient le symétrique d'une figure par rapport à une droite par pliage le long de cette droite.
  • La droite sur laquelle on plie s'appelle l'axe de symétrie.
  • Voyons maintenant comment obtenir le symétrique de figures simples sans pliage.

Placeholder pour Schéma d'une figure en forme de voilier et de sa symétrie en fonction de l'axe de symétrieSchéma d'une figure en forme de voilier et de sa symétrie en fonction de l'axe de symétrie
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A
Construction du symétrique d'un point

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a. Placer un point A et une droite d. Tracer par pliage ou en utilisant du papier calque le symétrique de A par rapport à d. On nomme ce symétrique A'.
b. Construire la médiatrice de [AA']. Que remarque-t-on ?
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Tracer le symétrique d'un point par rapport à une droite

Tracer le symétrique du point A par rapport à la droite d.

  • Si A appartient à d, il n'y a rien à faire : le symétrique du point A est A lui-même. 

  • Si A n'appartient pas à d :
    • On trace d'abord la droite perpendiculaire à d passant par A, à l'équerre ou au compas.
    • On reporte la distance entre A et l'intersection de cette droite et de l'axe de symétrie d, par exemple avec le compas ou avec une règle graduée.
    • On obtient le point A' symétrique du point A par rapport à d !

Placeholder pour Étapes de construction d'une symétrieÉtapes de construction d'une symétrie
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Si A' est le symétrique de A par rapport à la droite d, alors l'axe de symétrie d est la médiatrice du segment [AA'].

Placeholder pour A' est la symétrie de A par rapport à d. On observe que Ad = dA' et que l'intersection de AA' et d forme un angle droit.A' est la symétrie de A par rapport à d. On observe que Ad = dA' et que l'intersection de AA' et d forme un angle droit.
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Exercice 1
Recopier à peu près la figure

Placeholder pour Nuages de point : A, D, E, F, G, H et INuages de point : A, D, E, F, G, H et I
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1. Tracer le symétrique de A par rapport à (FI),
2. le symétrique de I par rapport à (HG)
3. et le symétrique de D par rapport à (AE)
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Exercice 2
Reproduire à peu près les figures suivantes

Placeholder pour Ensemble de figureEnsemble de figure
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1. Tracer le symétrique de chaque point par rapport à la droite attenante.
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B
Construction du symétrique d'un segment

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Trouver une méthode pour tracer le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite d.

Placeholder pour DécouvrirDécouvrir
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Tracer le symétrique d'un segment par rapport à une droite.

Tracer le symétrique de [AB] par rapport à la droite d.

  • On construit le symétrique de A par rapport à d, A'.
  • On construit le symétrique de B par rapport à d, B'.
  • Le symétrique de [AB] est le segment [A'B'].

Placeholder pour étapes de construction des symétrie de A et B, A' et B'.étapes de construction des symétrie de A et B, A' et B'.
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  • De même, le symétrique de la droite (AB) par rapport à d est la droite (A'B').
Remarque :
Pour construire le symétrique d'une droite, on a besoin de prendre deux points sur cette droite. On peut les choisir librement ! Il vaut mieux en prendre un sur l'intersection de la droite et de l'axe de symétrie d. En effet le symétrique de ce point est lui-même !

Placeholder pour Construction d'une symétrie de A par rapport à d, A'.Construction d'une symétrie de A par rapport à d, A'.
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  • Le symétrique d'un segment est un segment.
  • Le symétrique d'une droite est une droite.
  • La symétrie axiale conserve l'alignement : si trois points A, B et C sont alignés alors leurs trois symétriques par rapport à une droite d sont alignés.
Placeholder pour Symétrie des points A, B et C par rapport à d, A', B' et C'.Symétrie des points A, B et C par rapport à d, A', B' et C'.
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Exercice 3
Recopier a peu près la figure suivante

Placeholder pour Nuage de points : A, B, C, D, E, F, G et HNuage de points : A, B, C, D, E, F, G et H
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1. Tracer le symétrique de [AB] par rapport à [GE], le symétrique de (FC) par rapport à (DH) et le symétrique de (AE) par rapport à (BD).
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Exercice 4
Recopier à peu près les figures suivantes sur le cahier

Placeholder pour Ensemble de figures à reproduireEnsemble de figures à reproduire
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1. Tracer en rouge le symétrique de chaque objet bleu par rapport à la droite noire.
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C
Construction du symétrique d'un cercle

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a. Placer deux points A et B et une droite d. Tracer le cercle de centre A et de rayon [AB]. 
b. Trouver une méthode pour construire le symétrique de ce cercle par rapport à la droite d.

Placeholder pour Illustration d'un cercle avec des mains qui se regarde dans un miroir en disant Miroir, miroir.Illustration d'un cercle avec des mains qui se regarde dans un miroir en disant Miroir, miroir.
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Tracer le symétrique d'un cercle par rapport à une droite

Tracer le symétrique du cercle bleu, de centre \mathrm{A}, par rapport à la droite d.

  • On trace \mathrm{A'}, le symétrique du centre \mathrm{A}.
  • On trace un cercle de même rayon et de centre \mathrm{A'}.

Placeholder pour étapes de construction de la symétrie d'un cercle par rapport à une droite détapes de construction de la symétrie d'un cercle par rapport à une droite d
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  • Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon.
  • La symétrie conserve la distance : si \mathrm{A'} est le symétrique de \mathrm{A} et si \mathrm{B'} est le symétrique de \mathrm{B} alors \mathrm{AB = A'B'}.
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Exercice 5
Recopier chaque dessin

Placeholder pour Ensemble de figuresEnsemble de figures
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1. Tracer le symétrique de chaque cercle par rapport à la droite.
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Exercice 6
Recopier la figure et tracer ...

Placeholder pour Nuage de points : A, B, C, D, E, F, G et HNuage de points : A, B, C, D, E, F, G et H
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1. ... le symétrique du cercle de centre A et de rayon AB par rapport à (DC) ;
2. ... le symétrique du cercle de centre E et de rayon DG par rapport à (BH) ;
3. ... le symétrique du cercle de centre G et de rayon GE par rapport à (AD).
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