Soient \text{X} et \text{Y} deux variables aléatoires indépendantes définies sur un même univers \Omega dont on donne les lois de probabilité.

6

\mathrm{E}(2 \mathrm{X}) est égale à :

a. 0{,}325

b. 0{,}65

c. 0{,}325^{2}

d. 1{,}3

7

\mathrm{E}(3 \mathrm{X}-\mathrm{Y}) est égale à :

a. 3{,}65

b. 7{,}55

c. 0{,}25

d. 4{,}15

8

\mathrm{V}(\mathrm{X}+\mathrm{Y}) est égale à :

a. 22{,}6375

b. 14{,}655

c. 7{,}3275

d. 15{,}31

9

\mathrm{V}(2 \mathrm{X}+\mathrm{Y}) est égale à :

a. 29{,}965

b. 18{,}97375

c. 22{,}6375

d. 44{,}62

10

On considère deux variables aléatoires \text{X} et \text{Y} suivant respectivement les lois binomiales de paramètres n = 100 et p = 0{,}25, et m = 200 et q = 0{,}4.

a. \mathrm{E}(\mathrm{X})=\mathrm{E}(\mathrm{Y})

b. La moyenne théorique des valeurs prises par \text{X} est inférieure à celle des valeurs prises par \text{Y}.

c. \sigma(\mathrm{X})=\sigma(\mathrm{Y})

d. Les valeurs prises par \text{X} sont théoriquement moins espacées autour de leur moyenne que celles de \text{Y}.

11

Soient \text{X} et \text{Y} deux variables aléatoires indépendantes définies sur \Omega. Alors :

a. \mathrm{V}(2 \mathrm{X}-\mathrm{Y})=\mathrm{V}(2 \mathrm{X})-\mathrm{V}(\mathrm{Y})

b. \mathrm{V}(2 \mathrm{X}-\mathrm{Y})=2 \mathrm{V}(\mathrm{X})-\mathrm{V}(\mathrm{Y})

c. \mathrm{V}(2 \mathrm{X}-\mathrm{Y})=\mathrm{V}(2 \mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y})

d. \mathrm{V}(2 \mathrm{X}-\mathrm{Y})=4 \mathrm{V}(\mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y})

12

Soient n un entier supérieur ou égal à 2 et \mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{n}, n variables aléatoires de même loi de probabilité. Alors :

a. \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{2}\right)=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{n}\right)

b. Si \mathrm{X}_{1} prend la valeur 3 à l'issue de l'expérience aléatoire, il en est nécessairement de même pour \mathrm{X}_{n}.

c. \mathrm{E}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \mathrm{X}_{i}\right)=n \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right)

d. \mathrm{E}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \mathrm{X}_{i}\right)=n \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{n}\right)

13

On reprend les conditions de la question précédente. Alors :

a. \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n}\right)=n \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)

b. \sigma\left(\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n}\right)=\sqrt{n} \times \sigma\left(\mathrm{X}_{1}\right)

c. V\left(\frac{X_{1}+\ldots+X_{n}}{n}\right)=\frac{V\left(X_{n}\right)}{n}

d. Aucune des propositions ne convient, il faut ajouter une hypothèse.

14

On considère deux variables aléatoires \text{X} et \text{Y} définies sur un univers \Omega dont on donne les lois de probabilité.

A

On lance deux fois de suite un dé cubique et on note \text{X} la variable aléatoire correspondant à la moyenne des deux dés obtenus. Pour k\in\{1 \: ;2\} , on note \text{X}_k la variable aléatoire correspondant au résultat du k-ième dé. Alors :

a. \text{X} = 2 \text{X}_1.

b. \text{X}=2 \text{X}_2.

c. \text{X} = \text{X}_1+ \text{X}_2 .

d. \text{X} =\dfrac{\text{X}_1+ \text{X}_2}{2}.

B

On considère quatre variables aléatoires \text{X}_1 , \text{X}_2 , \text{X}_3 et \text{X}_4 . L'espérance de la somme \text{S}=\text{X}_1+\text{X}_2+\text{X}_3+\text{X}_4 est :

a. \text{E}(\text{S}) = 4\text{E}(\text{X}_1).

b. \text{E}(\text{S})= 4\text{E}(\text{X}_3).

c. \text{E}(\text{S}) = \dfrac{\text{E}(\text{X}_1)}{4}.

d. On ne peut pas savoir, il manque une hypothèse dans l'énoncé.

C

On lance un dé équilibré et le nombre de points correspond au triple du numéro de la face obtenue. Soit \text{X} la variable aléatoire correspondante. Alors :

a. \text{X}=3 \text{X}_1 où \text{X}_1 correspond au numéro de la face obtenue en lançant un dé équilibré.

b. \text{X}= \text{X}_1+ \text{X}_2+ \text{X}_3 où, pour tout k\in\{1 \: ;2 \: ;3\} , \text{X}_k correspond au numéro de la face obtenue pour chacun des lancers en lançant un dé équilibré.

D

Soient \text{X} une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0{,}2, et \text{Y} une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n = 35 et p = 0{,}7, toutes deux supposées définies sur le même univers \Omega.
Déterminer \text{E} \left( \text{X} + 2 \text{Y} \right).

a. \text{E} \left( \text{X} + 2 \text{Y} \right) = 17{,}9

b. \text{E} \left( \text{X} + 2 \text{Y} \right) = 53

c. \text{E} \left( \text{X} + 2 \text{Y} \right) = 28{,}5

d. \text{E} \left( \text{X} + 2 \text{Y} \right) = 26{,}5

On donne les lois de probabilité de deux variables aléatoires indépendantes \text{X} et \text{Y}.

E

En prenant \text{X} et \text{Y} les variables aléatoires définies ci-dessus, la valeur de \sigma(3 \text{Y} -2 \text{X}) est :

a. 3\sigma( \text{Y})-2\sigma(\text{X}).

b. 3\sigma( \text{Y})+2\sigma(\text{X}) .

c. 5\sqrt{21} .

d. \sqrt{357} .

F

En prenant \text{X} et \text{Y} les variables aléatoires définies ci-dessus, la valeur de \text{V} (3 \text{Y} -2 \text{X}) est :

a. 9\text{V}( \text{Y} )-4\text{V}( \text{X} ).

b. 9\text{V}( \text{Y} )+4\text{V}( \text{X} ).

c. 525.

d. 357.

G

Lesquelles des situations ci-dessous pourraient être décrites par une variable aléatoire \text{X} pouvant s'écrire \text{X} = \text{X}_1 + \text{X}_2 ?

a. On choisit au hasard un client d'un magasin de meubles et on regarde le prix total que ce client a payé en s'intéressant au prix des meubles qu'il a acheté, et à la location (ou non) d'un camion de déménagement.

b. On choisit au hasard un utilisateur d'un site de vente aux enchères et on s'intéresse au prix maximum que l'utilisateur a déboursé pour acheter un objet.

c. On pioche deux boules, l'une après l'autre et avec remise, dans une urne contenant neuf boules numérotées de 1 à 9 et on s'intéresse à la somme des deux nombres obtenus.

d. On lance deux dés équilibrés à six faces et on cherche à savoir s'ils ont donné, ou non, le même résultat.

H

On considère quatre variables aléatoires \text{X}_1 , \text{X}_2 , \text{X}_3 et \text{X}_4 de même loi de probabilité et indépendantes. La variance de la somme \text{S}=\text{X}_1+\text{X}_2+\text{X}_3+\text{X}_4 est :

a. \text{V}(\text{S}) = 4 \text{V}(\text{X}_1).

b. \text{V}(\text{S}) = 16 \text{V}(\text{X}_1).

c. \text{V}(\text{S})=\text{V}(\text{X}_1) + \text{V}(\text{X}_2)+\text{V}(\text{X}_3)+\text{V}(\text{X}_4).

d. On ne peut pas savoir, il manque une hypothèse.