Probabilités conditionnelles

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 36 ; 38 ; 47 ; 54 et 67
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 43 ; 51 ; 57 ; 60 ; 65 ; 73 ; 81 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 46 ; 49 ; 61 ; 66 ; 80 ; 83 et 88

35

[Modéliser.]
On a demandé à $180$ élèves s’ils étaient demi-pensionnaires ou internes ainsi que la langue vivante étudiée hormis l’anglais (espagnol ou allemand). On choisit un élève au hasard.
On note $\text{A}$ l’événement « l’élève apprend l’allemand », $\text{E}:$ « l’élève apprend l’espagnol » et $\text{I}$ « l’élève est interne ».

1. Recopier et compléter le tableau suivant.


2. a. Calculer $\text{P(A) }$ et $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{I}).$


b. En déduire ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{I})$ et interpréter le résultat par une phrase.


3. Calculer la probabilité d’obtenir un élève interne sachant qu’il apprend l’espagnol.

36

[Calculer.] ◉◉◉
On considère deux événements $\text{A}$ et $\text{B}$ dont les probabilités sont données dans le tableau suivant.



1. Compléter le tableau.
2. Calculer ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})$ et ${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}(\overline{\mathrm{A}}).$

37

[Raisonner.]
On suppose que $\text{A}$ et $\text{B}$ sont deux événements de probabilité non nulle.

Établir que ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})\times \left(\frac{1}{{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A})}-1\right)=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cup \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}-1.$

38

[Calculer.] ◉◉◉
Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux événements tels que ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0\text{,}8$ et ${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A})=0\text{,}6$ et $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0,4.$

1. Calculer $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}).$


2. En déduire $\mathrm{P}(\mathrm{B}).$


3. Calculer alors $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}).$

39

[Calculer.]
Soient deux événements $\text{A}$ et $\text{B}$ tels que $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0\text{,}8,\mathrm{P}(\mathrm{B})=0\text{,}7,$ $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \overline{\mathrm{B}})=0\text{,}15$ et $\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}\cap \mathrm{B})=0\text{,}05.$

1. Calculer $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}).$


2. En déduire ${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).$

40

[Calculer.]
On lance un dé équilibré à six faces et on considère les événements $\text{A}:$ « obtenir $4;$ $5$ ou $6$ » et $\text{B}:$ « obtenir un nombre pair ».

1. Calculer ${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).$


2. Calculer ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}).$


3. Calculer ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}\cap \mathrm{B}}(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}).$

41

[Calculer.]
On considère deux événements $\text{A}$ et $\text{B}$ dont les probabilités sont données par l’arbre ci-dessous.

1. Compléter cet arbre pondéré.
2. Quelle est la probabilité que $\text{B}$ se réalise sachant que $\text{A}$ n’est pas réalisé ?

42

[Représenter.]
Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux événements dont on donne les probabilités dans le tableau suivant.



1. Compléter le tableau.
2. En déduire les probabilités ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})$ et ${\mathrm{P}}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B}).$


3. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.

43

[Modéliser.] ◉◉◉
Dans une forêt, il y a $30$ % d’épicéas et $70$ % de sapins. $10$% des arbres ont un parasite. Les épicéas représentent $20$ % des arbres touchés.
Quelle est la probabilité qu’un épicéa soit touché par le parasite ?

44

[Calculer.]
Dans la trousse de Sophie, il y a quinze crayons indiscernables au toucher. Cinq sont noirs, trois sont blancs, quatre sont rouges et trois sont verts. Elle choisit au hasard un crayon. Chaque crayon a la même probabilité d’être choisi.

1. Quelle est la probabilité qu’elle choisisse un crayon noir ?


2. Quelle est la probabilité qu’elle choisisse un crayon vert sachant que l’événement « elle n’a pas tiré un crayon noir » est réalisé ?

45

[Chercher.]
Raphaël consulte les températures de la semaine prochaine et obtient le tableau ci-dessous.



Il choisit une journée au hasard pour aller faire du vélo. On suppose que chaque journée à la même probabilité d’être choisie.

1. Quelle est la probabilité de choisir un jour où la température est supérieure à 15 °C sachant qu’elle est inférieure à 20 °C ?


2. Quelle est la probabilité de choisir un jour où la température est inférieure à 20 °C sachant qu’elle est supérieure à 15 °C ?

46

[Modéliser.] ◉◉◉
Vincent et Anne sont haltérophiles. La probabilité que Vincent soulève plus de 100 kg est égale à 0,75, alors que la probabilité qu’Anne soulève plus de 100 kg est égale à 0,6. La probabilité qu’au moins l’un des deux soulève plus de 100 kg est égale à 0,85.

1. Quelle est la probabilité qu’ils soulèvent 100 kg tous les deux ?


2. Anne vient de voir Vincent soulever 100 kg. Quelle est la probabilité qu’elle-même soulève 100 kg ?

47

[Chercher.] ◉◉◉

On choisit au hasard une figure. Chaque figure a la même probabilité d’être choisie.

On considère les événements suivants :

$\text{V}$ : « la figure est verte » ;

$\text{R}$ : « la figure est rouge » ;

$\text{N}$ : « la figure est noire » ;

$\text{B}$ : « la figure est bleue » ;

$\text{C}$ : « la figure est un cercle » ;

$\text{K}$ : « la figure est un carré » ;

$\text{Z}$ : « la figure fait des vagues ».

1. Modéliser cette situation par un tableau.

2. Calculer ${\mathrm{P}}_{\mathrm{C}}(\mathrm{V})$ et ${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{Z}).$


3. Calculer ${\mathrm{P}}_{\mathrm{R}}(\mathrm{Z})$ et ${\mathrm{P}}_{\mathrm{K}}(\mathrm{B}).$

48

[Modéliser.]
Un algorithme de détection de fraudes a été rédigé. Parmi toutes les fraudes, il en détecte 80 %. Il détecte un problème sur 10 % des dossiers étudiés et, parmi les cas qu’il détecte, 50 % sont effectivement des fraudes.

1. Calculer la probabilité qu’un dossier soit détecté et frauduleux.


2. En déduire la probabilité qu’un dossier soit frauduleux.

49

[Modéliser.] ◉◉◉
On considère le dessin ci-dessous constitué de quatre carrés de même dimension.
On dit que deux carrés sont adjacents s’ils se touchent par l’un de leurs côtés.
Par exemple, les carrés $\text{1}$ et $\text{2}$ sont adjacents au carré $\text{0}$ mais pas le carré $\text{3}$.

À l’étape $1,$ le carré $0$ est noir. Les autres sont blancs. Au début de l’étape $2$ et de toutes les étapes suivantes, un carré devient ou reste noir avec une probabilité de $0\text{,}5$ si au moins l’un de ses voisins est noir. Cette probabilité est égale à $0\text{,}1$ si aucun de ses voisins n’est noir.

Réaliser une simulation pour calculer la probabilité que le carré $3$ soit noir lors de l’étape $3.$