OBJECTIF BAC

Thème 1 : une longue histoire de la matière


❯❯❯ Préparation aux épreuves communes de contrôle continu

Exercice 1
Cristal de cuivre
calculatrice autorisée

Le cuivre pur est un des seuls métaux colorés avec l’or et l’osmium. Présent dans la croûte terrestre, il est probablement le premier métal qui a été utilisé par l’humain. Particulièrement malléable, il se travaille facilement. C’est par ailleurs un excellent conducteur thermique et électrique, et il est toujours très employé dans les domaines de l’électricité et de la construction en particulier.

Le cuivre cristallise selon une maille cubique à faces centrées de paramètre de maille aa Les atomes de cuivre sont assimilés à des sphères tangentes de rayon RR. La maille contient ZZ atomes.


Questions résolues

1. Justifier que la compacité CC du cristal en fonction de ZZ, RR et aa vaut : C=Z43π(Ra)3C=Z \cdot \dfrac{4}{3} \pi\left(\dfrac{R}{a}\right)^{3}


2. Démontrer que le paramètre de maille vaut : a=4R2a=\dfrac{4 R}{\sqrt{2}}


3. Déterminer le nombre d’atomes ZZ effectivement présents dans la maille.


4. Calculer la valeur de la compacité de cette maille.

Résolution


1. La compacité est le rapport du volume total occupé par les atomes d’une maille par le volume de la maille elle-même. Le volume d’une sphère est donné par la formule : V=43πR3V=\dfrac{4}{3} \pi \cdot R^{3}. Le volume occupé par les atomes d’une maille est donc ZVZ\,· V. Le volume d’une maille est a3a^{3}, la compacité est donc C=ZVa3=Z43π(Ra)3C=\dfrac{Z \cdot V}{a^{3}}=Z \dfrac{4}{3} \pi\left(\dfrac{R}{a}\right)^{3}.

2. La maille est représentée ci-contre (document 1). Dans la maille CFC, les atomes sont tangents sur chaque face. Sur la diagonale, de longueur a2a \sqrt{2}, on a a2=4Ra \sqrt{2}=4 R. D'où a=4R2a=\dfrac{4 R}{\sqrt{2}}.

3. Seul un huitième du volume des atomes situés sur un sommet se trouve dans la maille, ces atomes comptent donc pour un huitième. De même, les atomes situés au centre d’une face comptent pour un demi (document 2).
Le nombre d’atomes présents dans une maille CFC est donc : Z=8×18+6×12=4Z=8 \times \dfrac{1}{8}+6 \times \dfrac{1}{2}=4.

4. En utilisant la formule de la question 1, on trouve alors :
C=43πZ(Ra)3=163π(24)3=26π0,74C=\dfrac{4}{3} \pi \cdot Z \cdot\left(\dfrac{R}{a}\right)^{3}=\dfrac{16}{3} \pi\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{6} \pi \approx 0,74

Maille CFC vue en perspective


Maille CFC vue de face
Doc. 1
Maille CFC vue en perspective et de face

Lors du comptage du nombre d’atomes par maille, seule la partie de l’atome effectivement présente à l’intérieur de la maille compte. Ainsi, un atome situé sur une face n’a qu’une moitié dans la maille donc il compte pour 1/2. Un atome à un sommet compte pour 1/8e.
Doc. 2
Comptage des atomes par maille
Exercice resolu

Exercice résolu

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