OBJECTIF BAC

Thème 4 : son et musique, porteurs d'information


❯❯❯ Préparation aux épreuves communes de contrôle continu

Exercice 1
Une étude mathématique de la gamme tempérée
calculatrice autorisée

L’octave

Il s’agit du plus petit intervalle qui sépare deux notes de même nom, tels que les deux do représentés sur la portée ci-dessus.

L’audition humaine perçoit comme semblables deux notes séparées d’un octave. Mathématiquement, ces notes de fréquence f1f_{1} et f2f_{2} sont reliées par la relation : f2=f_{2} = 2 f1f_{1}f2f_{2} est la fréquence de la note la plus aiguë.
Doc. 1
L’octave

Note
DoDo DoDo# Reˊ Reˊ# MiM\hspace{-1.5px}i FaF\hspace{-1.5px}a FaF\hspace{-1.5px}a# SolSol SolSol# LaLa LaLa# SiSi
ff (Hz)
523  550  587  622  660  698  740  784  831  880  932  988 
Doc. 2
Fréquences fondamentales des notes de la quatrième octave

Questions résolues

1. Déterminer les fréquences des deux notes de fréquences extrêmes de la cinquième octave.


2. On note rr le rapport des fréquences entre deux demi-tons. « Monter d’un demi-ton » équivaut à « multiplier la fréquence par rr ». Si f1f_{1} est la fréquence d’une note donnée, en déduire f12f_{12} qui est sa note à l’octave, en fonction de f1f_{1} et de r.r.


3. Déterminer alors la valeur numérique de rr en utilisant la relation entre deux notes séparées d’une octave. Vérifier par le calcul cette valeur de rr sur un intervalle de la quatrième octave.


4. La gamme tempérée se caractérise par des intervalles chromatiques égaux. Cela suppose-t-il que les écarts de fréquences Δf=f2f1\Delta f=f_{2}-f_{1} entre deux demi-tons sont constants ? Justifier.

Résolution

1. Le document 2 indique les fréquences des notes extrêmes de la quatrième octave : dodo et sisi de la quatrième octave. D’après le document 1, il faut multiplier par deux les fréquences de ces deux notes pour obtenir les fréquences des notes extrêmes de la cinquième octave.

2. On détermine f2f_{2} par :
  • f2=rf1f_{2}=r \cdot f_{1}
  • f3=rf2=rrf1=r2f1f_{3}=r \cdot f_{2}=r \cdot r \cdot f_{1}=r^{2} \cdot f_{1}

On en déduit : f12=r12frf_{12}=r^{12} \cdot f_{r}

3. Il faut combiner les relations f12=r12f1f_{12}=r^{12} \cdot f_{1} et f12=2f1f_{12}=2 f_{1} pour obtenir la valeur de r.r.

Résultat : r12f1=2f1r^{12} \cdot f_{1}=2 f_{1} soit r12=2r^{12}=2 et r=212.r=\sqrt[12]{2}.

4. Vérification de la quatrième octave :
ff(mimi) / ff(reˊ#) == 660 / 622 == 1,06 =212.=\sqrt[12]{2}.

5. On peut calculer les écarts successifs entre deux demi-tons de la quatrième octave (ff(dodo#) f- f(dodo), etc.) pour constater que les écarts ne sont pas constants. Dire que « les intervalles chromatiques sont constants » implique donc que les rapports de fréquences entre demi-tons sont constants (f2f_{2}/f1/f_{1}) =r= r et non pas les écarts de fréquences.

En musique, la gamme tempérée se définit par un système d’accords qui divise l’octave en intervalles fréquentiels égaux. Le découpage le plus répandu comporte 12 demi-tons, chacun séparé d’un intervalle. Il s’impose à partir du XVIIe siècle avec l’usage plus popularisé du clavecin. L’écart de fréquences entre deux notes successives est‑il constant ?
Exercice resolu BAC

Exercice résolu

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