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Physique-Chimie 1re

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SUJET BAC CORRIGÉ
PRÉPARATION AUX ÉPREUVES DE CONTRÔLE CONTINU


Le Concorde et le nombre de Mach




Énoncé

Lorsqu’un objet en mouvement atteint une vitesse supersonique, c’est-à-dire au moins égale à la vitesse du son dans le milieu dans lequel il évolue, on dit que cet objet franchit le mur du son. Ce franchissement s’accompagne d’une détonation perceptible, caractéristique de ce phénomène.
Toutefois, la vitesse du son dans l’air dépend fortement de la température ambiante TT, exprimée en kelvin. Pour de faibles écarts de pression atmosphérique, la relation suivante permet de calculer la vitesse du son en m·s-1 : vson=γairRs(air)T.v_{\text {son}}=\sqrt{\gamma_{\text {air}} \cdot R_{\text {s(air)}} \cdot T}.
Les ingénieurs aéronautiques utilisent le nombre de Mach, noté MaMa, en hommage au physicien Ernst Mach, pour indiquer le rapport entre la vitesse de l’objet en mouvement et la vitesse du son dans le milieu traversé.

Le Concorde et le nombre de Mach


1. Exprimer la vitesse du son vsonv_{\text {son}} en fonction du nombre de Mach, noté MaMa, et de la vitesse de croisière du Concorde, notée vC.v_{\mathrm{C}}.

2. Calculer la valeur de la vitesse du son vsonv_{\text {son}} en m·s-1.

3. En déduire l’expression de la température TT de l’air en fonction du nombre de Mach, de la vitesse vCv_{\mathrm{C}} du Concorde, de γair\gamma_{\mathrm{air}} et de Rs(air).R_{\mathrm{s}}(\mathrm{air}).

4. Calculer cette température TT et l’exprimer en degré Celsius (°C). Commenter cette valeur.

DONNÉES

  • Coefficient adiabatique de l’air :
    γair=1,40\gamma_{\mathrm{air}}=1\text{,}40
  • Constante spécifique de l’air :
    Rs(air)=287R_{\mathrm{s}}(\mathrm{air})=287 m2·s-2·K-1 ;
  • Conversion d’unités de température :
    θ(C)=T(K)273,15.\theta(^{\circ} \mathrm{C})=T(\mathrm{K})-273\text{,}15.

ANALYSE DE L’ÉNONCÉ

1. Comment écrire la relation mathématique évoquée dans le dernier paragraphe de l’énoncé ?

2. Réécrire la relation fournie par l’énoncé en isolant le terme TT correspondant à la température de l’air et remplacer vsonv_{\mathrm{son}} par son expression d’après la réponse précédente.

3. En se servant des données fournies, réaliser l’application numérique en n’oubliant pas de convertir la vitesse du Concorde en m·s-1, puis de convertir la température obtenue en degré Celsius.

Le Concorde

Solution rédigée

1. Le nombre de Mach correspond au rapport entre la vitesse vCv_{\mathrm{C}} et la vitesse du son dans l’air vsonv_{\mathrm{son}} : Ma=vCvson.Ma=\dfrac{v_{\text{C}}}{v_{\text {son}}}.

2. D ’où l’application numérique : vson=21502,02v_{\text {son}}=\dfrac{2\,150}{2\text{,}02}, vson=1060v_{\text {son}}=1\,060 km·h-1 =296= 296 m·s-1.

3. D’après la relation fournie dans l’énoncé, on peut exprimer la température TT en fonction des autres grandeurs impliquées :
T=vson2γairRs (air).T=\dfrac{v_{\text {son}}^{2}}{\gamma_{\text {air}} \cdot R_{\text {s (air)}}}. En remplaçant vsonv_{\mathrm{son}} par l’expression précédemment établie, on obtient :

T=vC2Ma2γairRs(air).T=\dfrac{v_{\text{C}}^{2}}{Ma^{2} \cdot \gamma_{\text {air}} \cdot R_{s(\text{air})}}.

4. La vitesse du Concorde doit être exprimée en m·s-1 : vC=2150v_{\text{C}}=2\,150 km·h-1 =597= 597 m·s-1.

T=59722,022×1,40×287=217T=\dfrac{597^{2}}{2\text{,}02^{2} \times 1\text{,}40 \times 287}=217 K =56= -56 °C.
La température permet de situer l’altitude de croisière du Concorde entre 1000010\:000 m et 2000020\:000 m d’après le graphique représentant l’évolution de la température de l’atmosphère en fonction de l’altitude.

Le Concorde est un avion supersonique franco-britannique, exploité de 1976 à 2003. Sa vitesse de croisière s’établissait à Mach 2,02, soit 2 150 km·h-1.
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