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1. Maitriser les opérations et leurs propriétés

A. La multiplication

Pierre veut acheter une nouvelle carte graphique pour son ordinateur et surveille les prix d’une certaine carte dans sa boutique préférée. La première semaine, la carte coûte 134,50 €.

a. La semaine suivante, le prix de la carte a doublé. Quel est son nouveau prix ?
b. La troisième semaine, le prix de la carte a été multiplié par 0,7. Quel est son nouveau prix ?
c. A-t-il augmenté ou baissé par rapport à la deuxième semaine ?
d. Quelle opération effectuer pour passer directement du prix de la première semaine à celui pratiqué la troisième semaine ?
Découvrir
► La multiplication de deux facteurs s’appelle le produit.
► Propriété de commutativité : le produit ne dépend pas de l’ordre dans lequel on a multiplié les facteurs :
4 × 5 = 5 × 4
► Propriété d’associativité : le produit ne dépend pas de la façon dont on a regroupé les facteurs.
 2 × 3 × 4 = 6 × 4 = 24
 2 × 3 × 4 = 2 × 12 = 24
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Double : multiplication par 2.
Triple : multiplication par 3.
Quadruple : multiplication par 4.

Remarques ► Quand on multiplie par un nombre plus grand que 1, on augmente :
4×2,3=9,24 \times 2\text{,}3 = 9\text{,}2.
► Quand on multiplie par un nombre plus petit que 1, on diminue :
 80×0,6=4880 \times 0\text{,}6 = 48.

Remarque ►
Pour tout nombre aa, on a toujours a×1=1×a=aa \times 1 = 1 \times a = a.
▸ Par exemple, 1×3,4=3,4×1=31 \times 3 \text{,}4 = 3 \text{,}4 \times 1 = 3.

Remarque ►
Tout nombre multiplié par 0 est nul : a×0=0×a=0a \times 0 = 0 \times a = 0.
▸ Par exemple, 22010,74×0=022 \: 010 \text{,} 74 \times 0 = 0.
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Calculer le plus astucieusement possible 4×125×25×84 \times 125 \times 25 \times 8.

On regroupe les facteurs qui donnent un produit facile à calculer.
▸ Ici 4 × 25 = 100 et 8 × 125 = 1 000.
▸ 4 × 125 × 25 × 8 = 4 × 25 × 125 × 8 = 100 × 1 000 = 100 000.
Refaire : Calculer astucieusement un produit.

B. La division décimale

Cécile et Camille comparent le poids de leurs cartables. Camille dit que son cartable, qui pèse 5,6 kg, est 1,6 fois plus lourd que celui de Cécile. Combien pèse le cartable de Cécile ?

Remarque ▸ Lorsque l’on effectue la division décimale, le calcul devrait se poursuivre jusqu’au bout, c’est-à-dire jusqu'à ce que le reste s’annule. Mais on ne peut pas toujours poursuivre le calcul d’une division décimale jusqu’à son bout : il peut se prolonger indéfiniment. Dans ce cas, on ne peut pas calculer son résultat exact.
Découvrir
► Le quotient est le résultat de la division d’un dividende par un diviseur.

Remarque ▸ Le quotient 7,2÷47\text{,}2 \div 4 est le nombre xx vérifiant 4×x=7,24 \times x = 7\text{,}2. Ainsi 4×(7,2÷4)=7,24 \times (7\text{,}2 \div 4) = 7\text{,}2.
4×1,=7,24 \times 1\text{,} = 7 \text{,}2
7,3×x=25,167\text{,}3 \times x = 25\text{,}16 que vaut xx ? C’est 24,82÷7,3=3,424\text{,}82 \div 7\text{,}3 = 3\text{,}4

Attention ! ▸ a÷ba \div b n’est défini que si b0b \neq 0 ! En effet, on ne peut diviser par 0.
Attention ! ▸ Il ne faut pas confondre le quotient d’une division décimale (c’est son résultat) et le quotient d’une division euclidienne (c’est un nombre entier).
Attention ! ▸ La division n’est pas commutative, on ne peut pas inverser dividende et diviseur : 4÷34 \div 3 n’est pas égal à 3÷43 \div 4.
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Moitié : division par 2, ou multiplication par 0,5.
Tiers : division par 3.
Quart : division par 4, ou multiplication par 0,25.
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Marc achète un lot de 12 cahiers qui lui coûte au total 15,6 €. Combien lui coûte un cahier ?
On veut connaître le nombre (le prix du cahier) qui multiplié par 12 donne 15,6.
 On calcule 15,6 ÷\div 12 = 1,3.
 Un cahier coûte donc 1,3 €.
Refaire : Utiliser une division décimale. 
6

Dans chaque cas, dire quelle opération faire, puis l'effectuer.

8

Timothée court 3 000 m et fait 12 tours de stade.

9

Anthony achète 12 pots de fleur, qui pèsent en tout 15,9 kg.

B. La division décimale
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1
► Le quotient est le résultat de la division d’un dividende par un diviseur.

Remarque ▸ Le quotient 7,2÷47\text{,}2 \div 4 est le nombre xx vérifiant 4×x=7,24 \times x = 7\text{,}2. Ainsi 4×(7,2÷4)=7,24 \times (7\text{,}2 \div 4) = 7\text{,}2.
4×1,=7,24 \times 1\text{,} = 7 \text{,}2
7,3×x=25,167\text{,}3 \times x = 25\text{,}16 que vaut xx ? C’est 24,82÷7,3=3,424\text{,}82 \div 7\text{,}3 = 3\text{,}4

Attention ! ▸ a÷ba \div b n’est défini que si b0b \neq 0 ! En effet, on ne peut diviser par 0.
Attention ! ▸ Il ne faut pas confondre le quotient d’une division décimale (c’est son résultat) et le quotient d’une division euclidienne (c’est un nombre entier).
Attention ! ▸ La division n’est pas commutative, on ne peut pas inverser dividende et diviseur : 4÷34 \div 3 n’est pas égal à 3÷43 \div 4.
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