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Fiche de révision
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Livret maths


Calcul numérique et littéral




1. Proportionnalité

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité, les valeurs de l’autre.


Exemple
Le prix payé à la station-service est proportionnel au volume d’essence mis dans le réservoir du véhicule. Le coefficient de proportionnalité est le prix par litre.


Propriété

On peut toujours représenter une situation de proportionnalité à l’aide d’un tableau de proportionnalité.


Exemple
Chez le primeur, 55 kg de pommes coûtent 66 €. On peut représenter cette situation à l’aide d’un tableau.


Masse (kg) 5 15
Prix (euros) 6 18


Propriété

Une situation de proportionnalité est modélisée par une fonction linéaire. Dans un repère, celle-ci est représentée par une droite qui passe par l’origine. Le coefficient de proportionnalité correspond alors au coefficient directeur de cette droite.


Exemple
Pour un prix de 1,501{,}50 € par litre, on peut lier le volume d’essence (xx) au prix payé (yy) dans le graphique suivant :


graph

Définition

Un pourcentage traduit une proportion. C’est une fraction dont le dénominateur vaut 100100. Déterminer un pourcentage revient à calculer cette proportion.


Exemple
Dans une classe de 2525 élèves, il y a 77 filles. Pour déterminer le pourcentage de filles, on peut remplir un tableau de proportionnalité. On trouve 2828 % :


Tableau

2. Équations à une inconnue

Définition

Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs que l’on peut donner à xx pour que l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées solutions de l’équation.


Méthode

On applique des opérations successives aux deux membres de lʼéquation dans le but de n'avoir lʼinconnue que dʼun seul côté. On obtient ainsi la valeur de lʼinconnue. On vérifie que chaque valeur trouvée est bien solution de lʼéquation.


Propriété

Un produit est nul si et seulement si au moins lʼun de ses facteurs est nul.


Exemple
(3x8)(x+7)=0(3x - 8)(x + 7) = 0 est une équation de produit nul d’inconnue xx.
Donc 3x8=03x - 8 = 0 ou x+7=0x + 7 = 0
Soit x=83x = \dfrac{8}{3} ou x=7x = -7
Cette équation admet donc deux solutions : 83\dfrac{8}{3} et 7-7.

Définition

Pour résoudre une équation du second degré de la forme ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c=0, avec a0a \ne 0, il faut d’abord calculer le discriminant : Δ=b24ac\Delta = b^2 - 4ac.
  • Si Δ<0\Delta < 0, l’équation n’a pas de solution.
  • Si Δ=0\Delta = 0, l’équation a une unique solution : x=b2abx = \dfrac{-b}{2ab}
  • Si Δ>0\Delta > 0, l’équation a deux solutions : x1=bΔ2ax_1 = \dfrac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} et x2=b+Δ2ax_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
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