On considère une forêt dans laquelle vivent deux espèces : des lapins et des renards. Les renards sont les prédateurs des lapins. On observe l'évolution de la population de chacune de ces deux espèces.
Pour tout entier n, on note respectivement r_n et \ell_n la population de renards et de lapins lors de l'année 2020 + n.
Après une étude, les biologistes ont déterminé que les suites (r_n) et (\ell_n) sont naturellement définies, pour tout entier naturel n, de la manière suivante :

\left\{\begin{array}{l}r_{n+1}=0{,}9 r_{n}+0{,}01 \ell_{n} \\ \ell_{n+1}=-r_{n}+1{,}01 \ell_{n}\end{array}\right. et \left\{\begin{array}{l}r_{0}=10 \\ \ell_{0}=10 000\end{array}\right..

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1
Si on note \mathrm{X}_n la matrice colonne \left(\begin{array}{l}r_{n} \\ \ell_{n}\end{array}\right), déterminer la matrice \mathrm{A} telle que, pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{X}_{n+1}=\mathrm{AX}_{n}.

2
Exprimer, pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{X}_n en fonction de \mathrm{A}, de \mathrm{X}_0 et de n.

3
a) Afin d'organiser une chasse dans la forêt, chaque année, on relâche 1 000 lapins et on abat 10 renards.
Modifier la relation de récurrence entre \mathrm{X}_{n+1} et \mathrm{X}_n pour tenir compte de cette information.

b) Calculer alors \mathrm{X}_1, \mathrm{X}_2 et \mathrm{X}_3.

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Bilan

Dans chacun des cas étudiés au cours de cette activité, expliciter une méthode permettant d'exprimer, pour tout entier \boldsymbol{n}, \boldsymbol{\mathrm{X}_n} en fonction de \boldsymbol{n}.

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B
Chaînes de Markov

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Objectif : Introduire la notion de chaîne de Markov.

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Chaque semaine, un agriculteur propose à la vente un jus de fruit dans une bouteille en verre que les clients doivent rapporter lors de l'achat suivant.
On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant.
Une étude statistique donne les résultats suivants :

à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille s'élève à 0{,}9 ;
si le client a rapporté la bouteille une semaine donnée, alors la probabilité qu'il la ramène la semaine suivante vaut 0{,}95 alors qu'elle ne vaut que 0{,}2 dans le cas contraire.

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur et on note, pour tout entier naturel n non nul, \mathrm{R}_n l'événement « Le client rapporte la bouteille de la n‑ième semaine. » et r_n sa probabilité. On a donc r_{n}=p\left(\mathrm{R}_{n}\right).

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Partie A : En utilisant un arbre pondéré

1
Déterminer r_1 et r_2.

2
Compléter l'arbre pondéré ci‑contre.

3
Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, r_{n+1}=0{,}75 r_{n}+0{,}2.

4
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul :

r_{n}=0{,}1 \times 0{,}75^{n-1}+0{,}8.

Partie B : En utilisant un graphe probabiliste

1
On donne ci‑dessous le graphe probabiliste correspondant à la situation.
La matrice \mathrm{P}, appelée matrice de transition, synthétise le passage d'un état (\mathrm{R} ou \overline{\mathrm{R}}) à l'état suivant.
À l'aide du contexte, expliquer le fonctionnement du graphe probabiliste puis le compléter.

et \mathrm{P}=\left(\begin{array}{cc}0{,}95 & 0{,}05 \\ 0{,}2 & 0{,}8\end{array}\right).

2
On note, pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, t_n la probabilité t_{n}=p(\overline{\mathrm{R}_{n}}) et \pi_{n} la matrice \begin{pmatrix}r_{n} & t_{n}\end{pmatrix}.
Justifier que, pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, \pi_{n+1}=\pi_{n} \times \mathrm{P}.

3
Après avoir justifié que, pour tout entier naturel non nul n, r_{n}+t_{n}=1, montrer que r_{n+1}=0{,}75 r_{n}+0{,}2.

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Bilan

On considère une situation probabiliste où seulement deux événements se succèdent : \mathbf{A} et son complémentaire \overline{\mathbf{A}}. Comment représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré ? À l'aide d'un graphe probabiliste ?
Déterminer un avantage du graphe par rapport à l'arbre.

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C
Comportement asymptotique

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Objectif : Étudier le comportement asymptotique d'une chaîne de Markov.

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On considère la chaîne de Markov à deux états \mathrm{A} et \mathrm{B} définie par la matrice de transition \mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}4 & 0{,}6\end{array}\right) et par la distribution initiale \pi_{0}=\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5\end{pmatrix}, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique.

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1
Représenter cette chaîne de Markov à l'aide d'un graphe.

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2
Calculer la distribution de probabilité après une étape puis après deux étapes.

3
À l'aide du programme ci‑dessous, conjecturer la distribution asymptotique de cette chaîne de Markov.

4
En modifiant le programme, estimer si la distribution asymptotique est dépendante de la distribution initiale.

from random import*

proba_initiale_A = 0.3
proba_initiale_B = 1 - proba_initiale_A

pAA = 0.9
pAB = 0.1
pBA = 0.4
pBB = 0.6

def etat_suivant(etat):
  if etat == "A":
    if random() < pAB:
      return "B"
    else:
      return "A"
  if etat == "B":
    if random() < pBA:
      return "A"
    else:
      return "B"
  
def etat_asymptotique():
  if random() < proba_initiale_A:
    etat = "A"
  else:
    etat = "B"
  for i in range(1000):
    etat = etat_suivant(etat)
  return etat


def simule_distribution(n):
  total = 0
  for i in range(n):
    if etat_asymptotique() == "A":
      total = total + 1
  resultat = total/n
  return resultat

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Bilan

On note \boldsymbol{\pi} la matrice correspondant à la distribution asymptotique obtenue. Justifier qu'on a \boldsymbol{\pi} \times \mathbf{P}=\mathbf{P} et interpréter le résultat.

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