1

a désigne un nombre réel ou +\infty ou -\infty. f est une fonction définie au voisinage de a.
• Dire que f a pour limite +\infty quand x tend vers a (resp. -\infty) signifie que, quel que soit le réel \text{A}, f(x)>\text{A} dès que x est suffisamment proche de a (resp. x est suffisamment grand). On définit de la même façon \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=-\infty, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=+\infty, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=-\infty et \lim\limits_{\substack{x \to a}}f(x)=-\infty.
• Dire que f a pour limite \ell, quand x tend vers a (resp. +\infty) signifie que, quel que soit\varepsilon>0, |f(x)-\ell|\lt\varepsilon dès que x est suffisamment proche de a (resp. x est suffisamment grand). On définit de la même façon \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=\ell.
Cela permet de :

✔ étudier le comportement des fonctions quand x tend vers +\infty ou -\infty ou vers un réel a en lequel f n'est pas définie ;
✔ déterminer l'éventuelle existence d'asymptotes à la courbe représentative d'une fonction.

2

Des théorèmes permettent de donner la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de fonctions. Les formes indéterminées à connaître sont du type « \infty-\infty », « \frac{\infty}{\infty}», « 0 \times \infty » et « \frac{0}{0} ». Cela permet de :

✔ déterminer directement la limite d'une fonction définie comme somme, produit ou quotient de fonctions dont on connaît la limite ;
✔ déterminer la limite d'une fonction après transformation de son écriture.

3

Si, pour tout x \in \mathrm{I}, f(x) \geqslant g(x) et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}g(x)=+\infty, alors \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=+\infty.
Si, pour tout x \in \mathrm{I}, f(x) \leqslant g(x) et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}g(x)=-\infty, alors \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=-\infty.
Si, pour tout x \in \mathrm{I}, g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x) si g et h ont la même limite \ell en +\infty, alors \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=\ell.
Cela permet de :

✔ déterminer la limite d'une fonction par comparaison avec une ou deux autres fonctions dont on connaît la ou les limites, notamment lorsque les opérations sur les limites ne suffisent pas.

4

On a \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\mathrm{e}^x=+\infty et \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\mathrm{e}^x=0. Pour tout \boldsymbol{n} \in \mathbb{N}, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\mathrm{e}^x}{x^n}=+\infty et \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\mathrm{e}^x x^n=0.
Cela permet de :

✔ compléter l'étude de la fonction exponentielle ;
✔déterminer la limite de fonctions faisant intervenir la fonction exponentielle.