Exercices d'auto‑évaluation

Sur \R, les solutions de \cos(x) = -0{,}5 sont :

a. \left\{\frac{-2 \pi}{3}+2 k \pi~; \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi\right\}, où k \in \mathbb{R}.

b. \left\{\frac{-5 \pi}{6}+2 k \pi~; \frac{5 \pi}{6}+2 k \pi\right\}, où k \in \mathbb{R}.

c. \left\{\frac{-2 \pi}{3}+2 k \pi~; \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi\right\}, où k \in \mathbb{Z}.

d. \left\{\frac{-5 \pi}{6}+2 k \pi \,; \frac{5 \pi}{6}+2 k \pi\right\}, où k \in \mathbb{Z}.

Sur \R, une solution de \cos (x)=\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) est :

a. \frac{\pi}{3}

b. \frac{\pi}{4}

c. \frac{-\pi}{3}

d. \frac{\pi}{6}

Sur [-\pi~; \pi], les solutions de \sin (x) \leqslant \frac{1}{2} sont :

a. \left[\frac{\pi}{6}~; \frac{5 \pi}{6}\right]

b. \left[\frac{5 \pi}{6}~; \frac{\pi}{6}\right]

c. \left[-\pi \,; \frac{\pi}{6}\right] \cup\left[\frac{5 \pi}{6}~; \pi\right]

d. [-\pi~; \pi]

La fonction dérivée f' sur \R de la fonction f: x \mapsto \sin (3 x)-4 \cos (3-2 x) est définie par :

a. f^{\prime}(x)=\cos (3 x)+4 \sin (3-2 x)

b. f^{\prime}(x)=\cos (3 x)+12 \sin (3-2 x)

c. f^{\prime}(x)=3 \cos (3 x)-8 \sin (3-2 x)

d. f^{\prime}(x)=3 \cos (3 x)+8 \sin (3-2 x)

Pour toute fonction f définie sur \R, on peut affirmer que :

a. Si f(2) = f(-2), alors f est paire.

b. Si f(2) \neq f(-2), alors f n'est pas paire.

c. Si f(2)=f(-2), alors f est périodique de période 4.

d. Si f(2) \neq f(-2), alors f n'est pas périodique de période 4.

Pour tout réel x, quelles expressions ci‑dessous sont égales à \sin(x) ?

a. \sin (-x)

b. \sin (\pi-x)

c. \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)

d. \cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)

La fonction dérivée f' sur \R de la fonction f: x \mapsto x^{2} \cos (x) est définie par :

a. f^{\prime}(x)=2 x \sin (x)

b. f^{\prime}(x)=-2 x \sin (x)

c. f^{\prime}(x)=2 x \cos (x)-x^{2} \sin (x)

d. f^{\prime}(x)=2 x \cos (x)+x^{2} \sin (x)

La fonction f définie sur \R par f(x)=\cos (\sin (x)) est :

a. paire.

b. impaire.

c. périodique de période \pi.

d. périodique de période 2\pi.

A

Soient f une fonction définie sur \mathbb{R} de plus petite période \text{T}_1 et g une fonction définie sur \mathbb{R} de plus petite période \text{T}_2, \text{T}_1 et \text{T}_2 étant deux entiers strictement positifs et distincts.
La plus petite période T de la fonction h définie, pour tout x \in \mathbb{R}, par h(x)=f(x)+g(x) est :

a. le plus petit des deux nombres \text{T}_1 et \text{T}_2.

b. le plus grand des deux nombres \text{T}_1 et \text{T}_2.

c. le plus petit multiple commun strictement positif à \text{T}_1 et \text{T}_2.

d. le plus grand diviseur commun strictement positif à \text{T}_1 et \text{T}_2.

B

Une expression de la dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \dfrac{1}{\cos(x)} est :

a. f'(x) = -\dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}.

b. f'(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}.

c. f'(x) = \dfrac{1}{\sin(x)}.

d. f'(x) = -\dfrac{1}{\sin(x)}.

C

Vrai ou faux ? La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x + \cos(x) \sin(x) est strictement croissante sur son domaine de définition.

a. Vrai

b. Faux

D

Quel est l'ensemble solution du système d'équations \left\{ \begin{matrix} \left| \cos \left( x \right) \right| = \dfrac{1}{2} \\ \sin \left( x\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix} \right. ?

a. \emptyset

b. \left\{ \dfrac{\pi}{3} + 2k \pi \: ; \dfrac{2 \pi}{3} + 2k \pi \right\}, k \in \mathbb{Z}.

c. \left\{ \dfrac{\pi}{3} + 2k \pi \: ; - \dfrac{\pi}{3} + 2k \pi \right\}, k \in \mathbb{Z}.

d. \left\{ \dfrac{\pi}{3} + k \pi \: \right\}, k \in \mathbb{Z}.

E

Sur [0 \: ; 2 \pi], les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus ont exactement deux points d'intersection.

a. Vrai

b. Faux

F

Soient a et b deux réels appartenant à \left[-\pi\,;\dfrac{-\pi}{2}\right]. Parmi les propositions ci-dessous, lesquelles sont vraies ?

a. Si a < b alors \cos(a) < \cos(b).

b. Si a < b alors \cos(a) > \cos(b).

c. Si a < b alors \sin(a) < \sin(b).

d. Si a < b alors \sin(a) > \sin(b).

G

Parmi les fonctions ci-dessous, définies sur \mathbb{R}, lesquelles sont paires ?

a. x \mapsto \cos(2x) + 1

b. x \mapsto \sin(x) + \cos(x)

c. x \mapsto \sin \left( \left| x \right| \right)

d. x \mapsto x^2 + \cos(x)

H

La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \cos \left( x + \pi \right) + \cos \left( x \right) est :

a. paire.

b. impaire.

c. périodique de période \pi.

d. strictement croissante.