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Les groupes

• On appelle loi de composition interne * sur \text{E}, une application qui, à tout couple (a\,; b) d'éléments de \text{E}, associe un unique élément de \text{E}, que l'on note a * b.
• Une loi de composition interne * est dite associative lorsque, pour tout (a\,, b\,, c) \in \mathrm{E}^{3} : (a * b) * c=a *(b * c).
• Une loi de composition interne * est dite commutative lorsque, pour tout (a\,, b) \in \mathrm{E}^{2} : a * b=b * a.

1. La soustraction - ne définit pas une loi de composition interne sur \mathbb{N}. En effet, en choisissant 3 \in \mathbb{N} et 5 \in \mathbb{N}, on a 3-5=-2 \notin \mathbb{N}.

2. La soustraction - définit en revanche une loi de composition interne sur \mathbb{Z}.
Pour tous a \in \mathbb{Z} et b \in \mathbb{Z}, on a bien a-b \in \mathbb{Z}.

• Cette loi n'est pas commutative sur \mathbb{Z}.
  On a 3-2=1 et 2-3=-1 et donc 3-2 \neq 2-3.
• Cette loi n'est pas associative sur \mathbb{Z}.
  On a (3-2)-1=1-1=0 et 3-(2-1)=3-1=2 et donc (3-2)-1 \neq 3-(2-1).

On considère l'application f_1 définie pour tous nombres complexes z et z^\prime par f_{1}\left(z\,; z^{\prime}\right)=z+z^{\prime}. 1. Justifier que f_1 définit une loi de composition interne sur \mathbb{C}.

2. Montrer que cette loi est commutative et associative.

On considère l'application f_2 définie pour tous nombres complexes z et z^\prime par f_{2}\left(z\,; z^{\prime}\right)=z \times z^{\prime}. 1. Justifier que f_2 définit une loi de composition interne sur \mathbb{C}.

2. Montrer que cette loi est commutative et associative.

1. Justifier que la soustraction est une loi de composition interne sur \mathbb{R}.

2. Est‑elle associative ? Commutative ?

Soit * la loi de composition interne définie, pour tous x et x^\prime réels, par x * x^{\prime}=x^{x^{\prime}}. 1. Cette loi est‑elle commutative ?

2. Cette loi est‑elle associative ?

• On dit que e \in \mathrm{E} est un élément neutre pour la loi * lorsque, pour tout x \in \mathrm{E}, e * x=x * e=x.
• Si \mathrm{E} possède un élément neutre e pour la loi *, un élément x \in \mathrm{E} est inversible s'il existe y \in \mathrm{E} tel que x * y=y * x=e. On dit que y est l'inverse de x.
• On dit que (\mathrm{E}\,, *) est un groupe lorsque la loi * est une loi de composition interne associative sur \mathrm{E}, qu'il existe un élément neutre pour cette loi et que tout élément de \mathrm{E} est inversible pour cette loi.
• Lorsque la loi est commutative, on dit que le groupe est commutatif ou abélien.

(\mathbb{Z}\,,+) est un groupe :

• + définit une loi de composition interne associative sur \mathbb{Z} ;
• il existe un élément neutre e=0 pour cette loi : pour tout a \in \mathbb{Z}, a+0=0+a=a ;
• tout élément a \in \mathbb{Z} admet un inverse pour la loi + : -a.

On souhaite montrer que (\mathbb{U}\,, \times) est un groupe.

1. a. Soient z et z^\prime deux nombres complexes de module 1.
Montrer que z \times z^\prime est un nombre complexe de module 1.

b. Justifier que \times est une loi de composition interne associative sur \mathbb{U}.

2. a. Montrer que \mathbb{U} possède un élément neutre pour \times.

b. Soit z \in \mathbb{U}. Montrez que \dfrac{1}{z} \in \mathbb{U}

3. Conclure quant à l'objectif de l'exercice.

1. Montrer que la multiplication \times est une loi de composition interne sur \mathbb{R}^{*}. Est‑elle associative ?

2. Montrer que \mathbb{R}^{*} possède un élément neutre pour \times. Donner sa valeur.

3. Tout élément de \mathbb{R}^{*} possède‑t‑il un inverse pour \times ?

4. Que peut‑on déduire des questions précédentes ?

1. Montrer que (\{-1\,; 1\}\,, \times) est un sous‑groupe de \left(\mathbb{R}^{*}, \times\right).

2. (\{-1\,; 1\}\,,+) est‑il un sous‑groupe de (\mathbb{Z}\,,+) ?

3. (\mathrm{N}\,,+) est‑il un sous‑groupe de (\mathbb{Z}\,,+) ?

4. \left(\mathbb{Q}^{*}, \times\right) est‑il un sous‑groupe de \left(\mathbb{R}^{*}, \times\right) ?

Pour n \in \mathbb{N}, on note n \mathbb{Z}=\{n k\,, k \in \mathbb{Z}\}.
Montrer que (n \mathbb{Z}\,,+) est un sous‑groupe de (\mathbb{Z}\,,+).

Soit (\mathrm{G}\,, *) un groupe dont on note e l'élément neutre.
Montrer que (\{e\}\,, *) est un sous‑groupe de (\mathrm{G}\,,*).