Exercices d'auto‑évaluation

La fonction f définie sur \R par f(x)=3 x^{2}-2 x+1 admet comme primitive sur \R la fonction \text{F} définie par :

a. \mathrm{F}(x)=x^{3}+x^{2}+x

b. \mathrm{F}(x)=x^{3}-x^{2}-x

c. \mathrm{F}(x)=x^{3}-x^{2}+x

d. \mathrm{F}(x)=x^{3}-x^{2}

La solution \text{F} de l'équation différentielle y^{\prime}=3 \mathrm{e}^{3 x} telle que \mathrm{F}(0)=-1 est la fonction \text{F} définie sur \R par :

a. \mathrm{F}(x)=3 \mathrm{e}^{x}

b. \mathrm{F}(x)=\mathrm{e}^{3 x}-2

c. \mathrm{F}(x)=3 \mathrm{e}^{3 x}-2

d. \mathrm{F}(x)=\mathrm{e}^{3 x}+1

L'équation différentielle y^{\prime}+3 y=0 a pour solutions les fonctions définies sur \R par :

a. y(x)=\mathrm{Ce}^{-3 x} où \text{C} est un réel.

b. y(x)=\mathrm{Ce}^{3 x} où \text{C} est un réel.

c. y(x)=\mathrm{Ce}^{x} où \text{C} est un réel.

d. y(x)=\mathrm{Ce}^{-x} où \text{C} est un réel.

L'équation différentielle y^{\prime}=2 y+3 a pour solutions les fonctions définies sur \R par :

a. y(x)=\mathrm{Ce}^{2 x} où \text{C} est un réel.

b. y(x)=\mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{C} où \text{C} est un réel.

c. y(x)=\mathrm{Ce}^{2 x}-\frac{3}{2} où \text{C} est un réel.

d. y(x)=\mathrm{Ce}^{2 x}+3 où \text{C} est un réel.

Parmi les fonctions suivantes définies sur \R, quelles sont celles qui sont une solution de l'équation différentielle y^{\prime}=2 x\left(x^{2}+1\right)^{2} ?

a. x \mapsto\left(x^{2}+1\right)^{3}

b. x \mapsto \frac{1}{3}\left(x^{2}+1\right)^{3}

c. x \mapsto\left(x^{2}+1\right)^{3}+1

d. x \mapsto \frac{1}{3}\left(x^{2}+1\right)^{3}+1

Parmi les fonctions suivantes définies sur \R, quelles sont celles qui sont une solution de l'équation différentielle y^{\prime}=\mathrm{e} \times y ?

a. x \mapsto 0

b. x \mapsto \mathrm{e}^{ \mathrm{e} \times x}

c. x \mapsto 2 \mathrm{e}^{\mathrm{e}x}

d. x \mapsto 2 \mathrm{e}^{\mathrm{e} x+1}

Parmi les fonctions suivantes définies sur \R, quelles sont celles qui sont une solution de l'équation différentielle y^{\prime}-\mathrm{e} \times y=\mathrm{e} ?

a. x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{e} x}-1

b. x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{e} x}

c. x \mapsto 2 \mathrm{e}^{\mathrm{e}x}-1

d. x \mapsto-\mathrm{e}^{\mathrm{e}x}-1

Parmi les fonctions suivantes définies sur \R, quelles sont celles qui sont une solution de l'équation différentielle y'+2y=(x^2+2x-1)\mathrm{e}^{-x} ?

a. x \mapsto \mathrm{e}^{-2 x}

b. x \mapsto \mathrm{e}^{-x}

c. x \mapsto\left(x^{2}-1\right) \mathrm{e}^{-x}

d. x \mapsto \mathrm{e}^{-2 x}+\left(x^{2}-1\right) \mathrm{e}^{-x}

B

Soit a un réel non nul. L'ensemble des solutions de l'équation différentielle y'=ay est l'ensemble des fonctions x \mapsto \mathrm{e}^{ax}+k définies sur \mathbb{R} où k est un réel.

a. Vrai

b. Faux

C

La fonction \varphi définie sur \mathbb{R} par \varphi(x)=-2x-2 est une solution de l'équation différentielle y '=\dfrac{y}{2}+x-1.

a. Vrai

b. Faux

D

Parmi les courbes ci-dessous, laquelle peut être la courbe représentative d'une solution de l'équation différentielle y' = \text{e}^x - 1 ?

a. La courbe verte.

b. La courbe rouge.

E

La fonction f définie sur \left]0 \: ; + \infty \right[ par f(x) = \text{e}^{x} \sqrt{x} est solution de l'équation différentielle :

a. y' = y + \dfrac{\text{e}^{x}}{2 \sqrt{x}}

b. y' = \dfrac{2x+1}{2x} \times y

c. y' = \dfrac{\text{e}^x}{2 \sqrt{x}}

d. y' - \dfrac{1}{2}y = \text{e}^x

F

Soit f une fonction continue sur un intervalle \text{I}. Alors :

a. f admet une unique primitive sur \text{I}.

b. f admet une infinité de primitives sur \text{I}.

c. si \text{F} est une primitive de f sur \text{I} alors \text{F}+k, où k est un réel, est aussi une primitive de f sur \text{I}.

d. si \text{F} est une primitive de f sur \text{I} alors k \times \text{F} , où k est un réel, est aussi une primitive de f sur \text{I}.

G

Soit f une solution de l'équation différentielle y' + 3y = 0. Alors f est aussi solution de l'équation différentielle :

a. 2y' = -6y.

b. y' = -\dfrac{1}{3}y.

c. y'' = 9y.

d. y'' + y' - 6y = 0.