Chapitre 14
Activité 3 - Activité expérimentale
90 min
Loi de Torricelli
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Objectif : Exploiter la conservation du débit volumique pour déterminer la vitesse d'un fluide incompressible.
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Problématique de l'activité
Les horloges à eau, ou clepsydres, existent depuis au moins 5 000 ans. Leur
principe de fonctionnement n'a pourtant été compris qu'à partir du XVIIe siècle
grâce aux travaux de Torricelli.
Comment mesurer la vitesse d'un écoulement ?
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Doc. 1Matériel nécessaire
- Caméra ou téléphone portable
- Balance
- Chronomètre
- Règle
- Feuille quadrillée
- Bouteille (de préférence \text{1,5} L) avec graduations grossières et petit trou percé sur le côté, à \text{3} cm du fond
- Éponge
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Doc. 2Conservation du débit
Le débit volumique D_{\mathrm{v}} s'écrit :
Le débit volumique se conserve dans un écoulement de fluide incompressible. Dès lors, on peut écrire :
D_{\mathrm{v}}=\dfrac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}=v \cdot S
D_{\mathrm{v}} : débit volumique (m3·s-1)
V : volume d'eau écoulé (m3)
t : temps (s)
v : vitesse d'écoulement du fluide (m·s-1)
S : surface traversée par le fluide (m2)
V : volume d'eau écoulé (m3)
t : temps (s)
v : vitesse d'écoulement du fluide (m·s-1)
S : surface traversée par le fluide (m2)
Le débit volumique se conserve dans un écoulement de fluide incompressible. Dès lors, on peut écrire :
v_{1} \cdot S_{1}=v_{2} \cdot S_{2}
v_{1} et v_{2} : vitesses d'écoulement (m·s-1)
S_{1} et S_{2} : surfaces traversées (m2)
S_{1} et S_{2} : surfaces traversées (m2)
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Doc. 3Photographie de l'expérience
Photographie a : Montage complet.
Photographie b : Zoom sur le cristallisoir.
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| Temps \bm{t} (s) | Masse \bm{m} (g) | Hauteur \bm{h} (m) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 23{,}4 |
| 0{,}5 | 9{,}5 | 22{,}9 |
| 1 | 16{,}1 | 22{,}6 |
| 1{,}5 | 22{,}7 | 22{,}2 |
| 2 | 29{,}3 | 21{,}9 |
| 2{,}5 | 35{,}8 | 21{,}5 |
| 3 | 42{,}3 | 21{,}2 |
| 3{,}5 | 48{,}7 | 20{,}9 |
| 4 | 55{,}6 | 20{,}5 |
| 4{,}5 | 63 | 20{,}1 |
| 5 | 70{,}6 | 19{,}7 |
| 5{,}5 | 77{,}3 | 19{,}4 |
| 6 | 86 | 19 |
| 6{,}5 | 92{,}3 | 18{,}6 |
| 7 | 98{,}6 | 18{,}3 |
| 7{,}5 | 104{,}8 | 18 |
| 8 | 111 | 17{,}7 |
| 8{,}5 | 117{,}3 | 17{,}3 |
| 9 | 124{,}1 | 17 |
| 9{,}5 | 130{,}9 | 16{,}6 |
| 10 | 137{,}2 | 16{,}3 |
| 10{,}5 | 143{,}2 | 16 |
| 11 | 149 | 15{,}7 |
| 11{,}5 | 154{,}8 | 15{,}4 |
| 12 | 162{,}4 | 15 |
| 12{,}5 | 168{,}1 | 14{,}7 |
| 13 | 173{,}9 | 14{,}4 |
| 13{,}5 | 180{,}2 | 14{,}1 |
| 14 | 186{,}5 | 13{,}8 |
| 14{,}5 | 192{,}2 | 13{,}5 |
| 15 | 197{,}6 | 13{,}2 |
| 15{,}5 | 203 | 12{,}9 |
| 16 | 208{,}4 | 12{,}6 |
| 16{,}5 | 213{,}7 | 12{,}3 |
| 17 | 219 | 12{,}1 |
| 17{,}5 | 224{,}2 | 11{,}8 |
| 18 | 229{,}7 | 11{,}5 |
| 18{,}5 | 235{,}4 | 11{,}2 |
| 19 | 241{,}1 | 10{,}9 |
| 19{,}5 | 247{,}7 | 10{,}6 |
| 20 | 252{,}6 | 10{,}3 |
| 20{,}5 | 259 | 10 |
| 21 | 263{,}9 | 9{,}7 |
| 21{,}5 | 268{,}6 | 9{,}5 |
| 22 | 273{,}3 | 9{,}3 |
| 22{,}5 | 278{,}4 | 9 |
| 23 | 283{,}6 | 8{,}7 |
| 23{,}5 | 288{,}7 | 8{,}5 |
| 24 | 294{,}7 | 8{,}2 |
| 24{,}5 | 299{,}1 | 7{,}9 |
| 25 | 303{,}5 | 7{,}7 |
| 25{,}5 | 307{,}8 | 7{,}5 |
| 26 | 312{,}1 | 7{,}2 |
| 26{,}5 | 316{,}3 | 7 |
| 27 | 320{,}7 | 6{,}8 |
| 27{,}5 | 325{,}3 | 6{,}6 |
| 28 | 329{,}9 | 6{,}3 |
| 28{,}5 | 337{,}1 | 6 |
| 29 | 338{,}1 | 5{,}9 |
| 29{,}5 | 342 | 5{,}7 |
| 30 | 345{,}9 | 5{,}5 |
| 30{,}5 | 349{,}7 | 5{,}3 |
| 31 | 353{,}5 | 5{,}1 |
| 31{,}5 | 357{,}3 | 4{,}9 |
| 32 | 361{,}3 | 4{,}7 |
| 32{,}5 | 365{,}4 | 4{,}5 |
| 33 | 369{,}5 | 4{,}3 |
| 33{,}5 | 373 | 4{,}1 |
| 34 | 377{,}7 | 3{,}9 |
| 34{,}5 | 381{,}1 | 3{,}7 |
| 35 | 384{,}5 | 3{,}5 |
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Questions
Compétence(s)
REA : Mettre en œuvre un protocole
REA/MATH : Dériver
VAL : Analyser des résultats
REA/MATH : Dériver
VAL : Analyser des résultats
a. mesurer en fonction du temps la masse m(t) d'eau écoulée et la hauteur h(t) d'eau dans la bouteille (au moins 30 mesures) ;
b. rassembler les valeurs mesurées dans un tableau ;
c. photographier la trajectoire de l'eau pour 5 dates différentes, régulièrement espacées.
2. Exprimer le volume d'eau dans la bouteille en fonction de sa section S et de la hauteur h d'eau. Justifier à l'aide de la définition du débit que l'on peut écrire \frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t}=-\rho \cdot S \cdot \dfrac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}.
3. En mesurant approximativement le diamètre du trou, utiliser la conservation du débit volumique pour calculer la vitesse v(t) en sortie du trou. Tracer v en fonction de h, puis v^{2} en fonction de h.
4. À l'aide d'un logiciel d'acquisition, déterminer une équation de la forme y=y_{0}+\frac{g}{{v_{0}}^{2}} \cdot x^{2} pour chaque trajectoire photographiée. Vérifier sa validité avec les mesures de la question 2.
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Synthèse de l'activité
Illustrer la conservation du débit volumique en recherchant des applications courantes.
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