Chapitre 11
Entraînement 1
Intégrale d'une fonction continue de signe constant
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Consulter les pour calculer des intégrales utilisant les fonctions trigonométriques ou la fonction logarithme népérien ainsi que des suites d'intégrales.
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44
Flash
On donne les représentations graphiques de trois fonctions f, g et h. Pour chaque fonction, traduire sous forme d'intégrale l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=5 puis les calculer.
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45
Flash
À l'aide du graphique, estimer \displaystyle\int_{-2}^{3} f(x) \mathrm{d} x et \displaystyle\int_{1}^{3} g(t) \mathrm{d} t.
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46
Flash
Donner la fonction dérivée des fonctions suivantes définies sur \text{I}.
1. f: x \mapsto \displaystyle\int_{0}^{x} t^{2} \mathrm{d} t avec \mathrm{I}=[0~;+\infty[.
2. g: x \mapsto \displaystyle\int_{-3}^{x} \mathrm{e}^{2 t+4} \mathrm{d} t avec \mathrm{I}=[-3~;+\infty[.
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47
[Calculer.]
f est la fonction définie sur \R par f(x)=0{,}4-0{,}2 x.
1. Tracer la courbe représentative \mathcal{C}_f de la fonction f dans un repère orthonormé d'unité 2 cm.
GeoGebra
2. a. Calculer l'aire du domaine, en u.a., délimité par \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-2 et x=3.
b. Déterminer l'aire de ce domaine en cm2.
b. Déterminer l'aire de ce domaine en cm2.
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[Représenter.]
f est la fonction définie sur \R par : f(x)=\left\{\begin{array}{c}3 x+8 \text { si } x \leqslant-1 \\ -2 x+3 \text { si } x>-1\end{array}\right.. Tracer la courbe représentative \mathcal{C}_f de la fonction f dans un repère orthogonal puis calculer \displaystyle\int_{-2}^{1} f(x) \mathrm{d} x.
GeoGebra
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49
[Chercher.]
Le logo d'une entreprise est modélisé par le domaine bleu délimité par la courbe représentative d'une fonction f dans le repère orthonormé ci‑dessous.
On admet que \displaystyle\int_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x=\frac{50}{3}. 1. Quelle est l'aire de ce logo en unité d'aire ?
2. Pour la participation à un événement, le logo est imprimé. L'unité du graphique correspond à \text{10} cm. Déterminer l'aire du logo à imprimer en m2 ?
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50
[Calculer.]
Calculer \displaystyle\int_{-1}^{5}(2 x+1) \mathrm{d} x et \displaystyle\int_{-3}^{1}|x+2| \mathrm{d} x.
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Vrai/Faux
[Raisonner.]
Dans chaque cas, préciser en justifiant, si l'affirmation est vraie ou fausse. Si l'affirmation est fausse, la rectifier pour qu'elle soit vraie. 1. Soit f la fonction définie sur [0~;+\infty[ par f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \sqrt{t} \mathrm{d} t.
Sa dérivée est la fonction définie par f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}.
2. Soit f la fonction définie sur [2~;+\infty[ par f(t)=\mathrm{e}^{t^{2}-1}.
La fonction définie sur [2~;+\infty[ par \mathrm{F}(x)=\displaystyle\int_{2}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}-1} \mathrm{d} t est la primitive de f s'annulant en 2.
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