Les solides de Platon

Platon

Platon (428 av. J.-C. - 348 av. J.-C.) est un philosophe grec de l'Antiquité. C'est aussi un grand mathématicien qui voit les mathématiques comme la logique de l'esprit. Il a fondé l'Académie de Platon, dont la devise aurait été « Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre ».
Selon Platon, le monde se fonde sur 5 éléments l'eau, la terre, le feu, l'air et l'éther (l'univers). Il ne peut donc y avoir que 5 solides convexes réguliers : un pour chaque éléments.

Un siècle après Platon, Euclide démontre que ce nombre de 5 est exact. Nous allons le justifier.
Un solide est régulier si toutes ses arêtes et toutes ses faces sont identiques et si, à chaque sommet, autant dʼarêtes convergent. Un solide est convexe sʼil nʼa pas de « creux » ou de « pic », contrairement à celui-ci :

1. Expliquez pourquoi les faces des solides de Platon sont des polygones réguliers.

2. Observons les solides possibles dont les faces sont des triangles équilatéraux.

a. Combien de faces peut-on avoir adjacentes à un sommet ?

b. Pour chaque possibilité, indiquez combien de faces aurait le solide.

Le nom du solide est obtenu par le nombre de faces, dit en grec « hédra », suivi du suffixe « -èdre ».

3. Observons les solides possibles dont les faces sont des carrés :

a. Quel est le nombre de faces que lʼon peut avoir par sommet ?
b. Comment sʼappelle le solide obtenu ?

4. Observons les solides possibles dont les faces sont des pentagones réguliers :

a. Quel est le nombre de faces que lʼon peut avoir par sommet ?
b. Combien de faces a le solide obtenu ?

1. Pour chacun des solides obtenus, déterminez la valeur de F + S - A où F est le nombre de faces, S le nombre de sommets et A le nombre dʼarêtes.

2. Que constatez-vous ?