Chapitre 18
Exercices
Je résous des problèmes
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
44Tour Eiffel
Un homme mesurant \text{1,80~m}, placé à \text{100~m} de la tour Eiffel, observe son point culminant avec un angle de \text{72,8}^{\circ}.
Calculez la hauteur de la tour Eiffel.
Calculez la hauteur de la tour Eiffel.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
45Un escalier au bout d'une allée
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
46La statue de la Liberté
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
47Tyrolienne
De quelle distance, arrondie au \text{cm}, sont espacés les deux arbres ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
48Un ascenseur à bateaux
Le plan incliné de Saint-Louis-Arzviller est un ascenseur à bateaux. Il permet de faire monter et descendre les bateaux le long dʼune rampe inclinée de \text{120~m}. Cette rampe fait un angle de \text{20}^{\circ} avec lʼhorizontale.
1. Modélisez le problème par une figure.
2. Calculez le dénivelé (différence entre le point haut et le point bas) de la rampe.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
2. Calculez le dénivelé (différence entre le point haut et le point bas) de la rampe.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
49Installation d'une échelle
On pose une échelle de \text{5~m} contre le mur dʼune maison. Lʼéchelle atteint la base du toit à \text{3,50~m} du sol.
1. Quel est lʼangle dʼinclinaison de lʼéchelle par rapport au mur ?
2. À quelle distance du mur la base de lʼéchelle est-elle posée ?
1. Quel est lʼangle dʼinclinaison de lʼéchelle par rapport au mur ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
50Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2012)
Deux bateaux sont au large dʼune ile et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. On peut schématiser leurs positions par les points \text{A} et \text{B}. Ils constatent quʼils sont séparés de \text{800~m} et chacun voit lʼile sous un angle différent.
1. Démontrez que le triangle est rectangle.
2. Déterminez, au \text{m} près, la distance qui sépare chaque bateau de lʼile.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
51Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2011)
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
52Pistes noires
Une pente de 70~\% signifie que lʼon perd ou que lʼon gagne \text{70~m} dʼaltitude lorsque lʼon parcourt \text{100~m} à lʼhorizontale. Laure descend une piste noire ayant une pente de 70~\%.
1. Calculez lʼangle dʼinclinaison de la piste.
2. Calculez la distance réellement parcourue par Laure lorsquʼelle avance de \text{100~m} par rapport à lʼhorizontale.
1. Calculez lʼangle dʼinclinaison de la piste.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
53L'ombre d'Anna
Anna se tient debout au soleil et demande à Mohammed de mesurer son ombre : \text{2,70~m}, règle à lʼappui.
1. À 18 h, on estime que les rayons du soleil forment un angle de \text{30}^{\circ} par rapport au sol. Quelle taille fait Anna ?
2. Quelle sera la taille de son ombre à midi le 21 juin lorsque les rayons du soleil formeront un angle de 70^{\circ} avec le sol ?
1. À 18 h, on estime que les rayons du soleil forment un angle de \text{30}^{\circ} par rapport au sol. Quelle taille fait Anna ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
54La largeur d'une rivière
1. Calculez les longueurs \text{BC} et \text{BD} en arrondissant au dixième.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
55
\text{ABC} est un triangle rectangle en \text{B}. Démontrez que (\sin\widehat{\text{BAC}})^{2} + (\cos\widehat{\text{BAC}})^{2} = 1, quelle que soit la mesure des côtés du triangle \text{ABC}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
56
\text{ABC} est un triangle rectangle en \text{B}. Démontrez que \tan\widehat{\text{BAC}} = \sin\widehat{\text{BAC}}\div\cos\widehat{\text{BAC}} pour toute mesure dʼun angle aigu \widehat{\text{BAC}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
57Application
\text{ABC} est un triangle rectangle en \text{B}. En utilisant les exercices
55
et 56
, et sachant que \sin \widehat{\text{BAC}} \text{=} \text{0,8}, calculez \cos\widehat{\text{BAC}} et \tan\widehat{\text{BAC}}.Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
58Savoir refaire
Quelle est la hauteur dʼune pyramide régulière dont la base est un carré de côté \text{50~m} et dont lʼangle dʼinclinaison est de \text{42} ^{\circ} ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
59Pyramide de base carrée
\text{SABCD} est une pyramide régulière de base carrée de \text{7~cm} de côté. Lʼangle \widehat{\text{SAC}} mesure \text{51}^{\circ}.
1. Calculez la hauteur de la pyramide arrondie au \text{mm}.
2. Déduisez-en son volume au \text{cm}^{3} près.
3. Calculez la longueur des arêtes \text{[SA]}, \text{[SB], [SC], [SD]}.
4. Tracez le triangle \text{SAB}. Quelle est sa nature ?
5. Sur la face \text{SAB}, on appelle \text{H} le pied de la hauteur issue de \text{A} et relative à \text{[AB]}. Déterminez la longueur de \text{SH}.
6. Calculez lʼaire totale de la surface de la pyramide.
1. Calculez la hauteur de la pyramide arrondie au \text{mm}.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
5. Sur la face \text{SAB}, on appelle \text{H} le pied de la hauteur issue de \text{A} et relative à \text{[AB]}. Déterminez la longueur de \text{SH}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
60Les diagonales d'un parallélépipède rectangle
Dans le parallélépipède rectangle \text{ABCDHEFG}, \text{AB = 1~cm}, \text{AD = 1~cm} et \text{AE = 2~cm}.
I est le point dʼintersection des diagonales \text{(AG)} et (\text{C}\text{E}).
I est le point dʼintersection des diagonales \text{(AG)} et (\text{C}\text{E}).
Calculez la mesure de l'angle \widehat{\text{EIA}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
61Vider un bac
Un bac parallélépipédique de \text{12~cm} de hauteur, \text{20~cm} de longueur et \text{8~cm} de largeur est rempli aux deux tiers dʼeau.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
62Rampe d'accès
On souhaite construire une rampe dʼaccès pour les personnes à mobilité réduite qui souhaitent accéder à lʼentrée du collège. Cette rampe mesure
\text{10~m} et le seuil de la porte est situé à \text{50~cm} du sol.
1. Modélisez le problème par une figure.
2. Calculez la mesure de lʼangle fait par la rampe (arrondie au degré).
1. Modélisez le problème par une figure.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
2. Calculez la mesure de lʼangle fait par la rampe (arrondie au degré).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
63Constructions
1. Tracez le triangle rectangle \text{ABC} rectangle en \text{B} tel que \text{AB = 4~cm} et \cos\widehat{\text{BAC}} \text{= 0,8}.
2. Tracez un triangle \text{A'B'C'} semblable à ce triangle avec \text{A'B' = 8~cm}.
3. Combien vaut \cos\widehat{\text{B}^{\prime}\text{A}^{\prime}\text{C}^{\prime}} ?
4. Comparez \sin\widehat{\text{BAC}} et \sin\widehat{\text{B}^{\prime}\text{A}^{\prime}\text{C}^{\prime}}. Que remarquez-vous ?
5. Pouvez-vous relier cela avec un théorème vu dans un précédent chapitre ?
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
2. Tracez un triangle \text{A'B'C'} semblable à ce triangle avec \text{A'B' = 8~cm}.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
3. Combien vaut \cos\widehat{\text{B}^{\prime}\text{A}^{\prime}\text{C}^{\prime}} ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
64Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2013)
Le Pentagone est un bâtiment qui héberge le ministère de la Défense des États-Unis. Il a la forme dʼun pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon
\text{OA = 238~m}. Il est représenté par le schéma suivant.
1. Calculez la mesure de lʼangle \widehat{\text{AOB}}.
2. La hauteur issue de \text{O} dans le triangle \text{AOB} coupe le côté \text{[AB]} au point \text{M}.
a. Justifiez que \text{(OM)} coupe \widehat{\text{AOB}} en deux angles égaux et est la médiatrice de \text{[AB]}.
b. Prouver que \text{[AM]} mesure environ \text{140~m}.
c. Déduisez-en une valeur approchée du périmètre du Pentagone.
a. Justifiez que \text{(OM)} coupe \widehat{\text{AOB}} en deux angles égaux et est la médiatrice de \text{[AB]}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
65Tour de Pise
Le côté de la tour \text{[SE]} mesure \text{55,86~m}. On cherche à connaitre lʼangle dʼinclinaison α de la tour de Pise. Pour cela, on se place sous le sommet \text{S} de la tour, on recule de \text{50~m} et on regarde le sommet avec un angle de \text{48,1}^{\circ}.
Calculez lʼangle dʼinclinaison de la tour.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
66Jouer au billard
Le rectangle suivant représente une table de billard. Deux boules de billard \text{N} et \text{B} sont placées telles que :
\text{CD = 70~cm} ; \text{NC = 15~cm} ;
\text{BD = 25~cm}. Un joueur veut toucher la boule \text{N} avec la boule \text{B} en suivant le trajet \text{B}, puis \text{E}, puis \text{N}, \text{E} étant entre \text{C} et \text{D}, et tel que la mesure de lʼangle \widehat{\text{CEN}} est égale à celle de \widehat{\text{DEB}}. On pose \text{ED =} a.
1. a. Donnez un encadrement de a.
b. Exprimez \text{CE} en fonction de a.
2. Dans le triangle \text{BED}, exprimez \tan\widehat{\text{DEB}} en fonction de a.
3. Dans le triangle \text{NEC}, exprimez \tan\widehat{\text{CEN}} en fonction de a.
5. Écrivez une égalité liant les deux quotients trouvés aux questions a et b et écrivez lʼéquation qui en découle.
6. Résolvez l'equation.
Coup de pouce
Lʼéquation à résoudre est 25(70-a)=15 a
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
A Exercice numérique
Roméo (point \text{R}) souhaite rejoindre, à l'aide d'une échelle de longueur 3{,}10 \text{m}, Juliette (point \text{J}) qui se trouve tout en haut d'une tour.
Roméo souhaite que l'angle formé par l'échelle et le sol soit de 46^{\circ}. Quelle doit être la longueur \text{TR} ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
B Exercice numérique
Roméo (point \text{R}) souhaite rejoindre, à l'aide d'une échelle de 3{,}10 \text{m}, Juliette (point \text{J}) qui se trouve tout en haut d'une tour.
L'angle formé entre le sol et l'échelle est de 35^{\circ}. Déterminer la hauteur à laquelle se trouve Juliette.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Tâche complexePont suspendu
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites d éfiler pour voir la suite.
Faites d éfiler pour voir la suite.
Énoncé
On veut construire un pont suspendu en corde et en bois entre les deux cotés dʼun ravin.
Combien de morceaux de bois faut-il ?
Combien de morceaux de bois faut-il ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Doc. 1La situation
Armand et Théo se tiennent au bord du ravin, et regardent un rocher situé au bord, de l'autre côté. Ils sont séparés l'un de l'autre de \text{110,4 m}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Doc. 2Caractéristiques du pont
Le pont est constitué de deux cordes tenant des morceaux de bois de \text{15~cm} de large, espacés de \text{20~cm} chacun, et de deux cordes pour se tenir.
Attention
Un pont en corde n'est pas droit, sa longueur doit donc être 15 \% plus grande que la distance qu'il doit couvrir.
Fermer
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
