Chapitre 18
J'apprends
Trigonométrie
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ARelations trigonométriques dans un triangle rectangle
Je perfectionne
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1Côtés dʼun triangle rectangle
Définitions
Dans un triangle rectangle, on définit trois côtés : lʼhypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à lʼangle étudié.
Exercices n° p. 394.
Remarque : Seule lʼhypoténuse est toujours la même quel que soit lʼangle étudié. Le côté opposé à lʼangle \widehat{\text{ABC}} est [AC], mais le côté opposé à lʼangle \widehat{\text{ACB}} est [AB].
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2 Cosinus, sinus, tangente
Définition
Pour un angle aigu a :
On note \cos a le cosinus de l'angle a et on définit : \cos a = \dfrac{\text{longueur du {\color{#5F3E82}côté adjacent} à}\:a}{\text{longueur de {\color{#A63E51}hypoténuse}}}
On note \sin a le sinus de l'angle a et on définit : \sin a = \dfrac{\text{longueur du {\color{#5BA49B}côté opposé} à}\:a}{\text{longueur de l'{\color{#A63E51}hypoténuse}}}
On note \tan a la tangente de l'angle a et on définit : \tan a = \dfrac{\text{longueur du {\color{#5BA49B}côté opposé} à}\:a}{\text{longueur du {\color{#5F3E82}côté adjacent} à}\:a}
Exercices n° p. 394 - 395.
On note \cos a le cosinus de l'angle a et on définit : \cos a = \dfrac{\text{longueur du {\color{#5F3E82}côté adjacent} à}\:a}{\text{longueur de {\color{#A63E51}hypoténuse}}}
On note \sin a le sinus de l'angle a et on définit : \sin a = \dfrac{\text{longueur du {\color{#5BA49B}côté opposé} à}\:a}{\text{longueur de l'{\color{#A63E51}hypoténuse}}}
On note \tan a la tangente de l'angle a et on définit : \tan a = \dfrac{\text{longueur du {\color{#5BA49B}côté opposé} à}\:a}{\text{longueur du {\color{#5F3E82}côté adjacent} à}\:a}
Exercices n° p. 394 - 395.
Dans le triangle ABC rectangle en A :
\cos \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}
\sin \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}
\tan \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}
\sin \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}
\tan \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}
Aide
Un moyen mnémotechnique pour retenir ces formules est
« SOH
CAH
TOA »
ou « CAH
SOH
TOA »
pour les plus futés d'entre vous.
J'applique
Consigne : Dans le triangle EDF rectangle en D, exprimez \cos \widehat{\text{DEF}}, \sin \widehat{\text{DFE}}, \tan \widehat{\text{DEF}}.
Correction :
\cos \widehat{\text{DEF}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{EF}}, \sin \widehat{\text{DFE}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{EF}}, \tan \widehat{\text{DEF}} = \dfrac{\text{DF}}{\text{DE}}
Remarque : Sur la calculatrice, les touches COS, SIN et TAN permettent respectivement de calculer le cosinus, le sinus et la tangente dʼun angle.
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BCalculs de longueurs et dʼangles
Je perfectionne
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1 Calcul de la longueur dʼun côté de lʼangle droit
Méthode
Si lʼon connait la mesure dʼun des angles (non droit) du triangle rectangle et la longueur dʼun des côtés, on peut obtenir les longueurs des autres côtés en utilisant le rapport trigonométrique approprié.
|
Je connais \rightarrow Je veux \downarrow
| Hypoténuse | Côté opposé | Côté adjacent |
| Hypoténuse | sin | cos | |
| Côté opposé | sin | tan | |
| Côté adjacent | cos | tan |
Exercices n° p. 395 - 397.
J'applique
Consigne :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que BC = 7 cm et \widehat{\text{ABC}} = 53^{\circ}.
Calculez AB (arrondissez au mm).
Correction :
[AB] est le côté adjacent à lʼangle \widehat{\text{ABC}} et [BC] est lʼhypoténuse. Donc \cos 53^{\circ} = \dfrac{\text{AB}}{7}
donc \text{AB} = 7 \times \cos 53^{\circ} \approx 4\text{,}2 cm.
Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que BC = 7 cm et \widehat{\text{ABC}} = 53^{\circ}.
Calculez AB (arrondissez au mm).
Correction :
[AB] est le côté adjacent à lʼangle \widehat{\text{ABC}} et [BC] est lʼhypoténuse. Donc \cos 53^{\circ} = \dfrac{\text{AB}}{7}
donc \text{AB} = 7 \times \cos 53^{\circ} \approx 4\text{,}2 cm.
Consigne :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que AC = 7 cm et \widehat{\text{ABC}} = 53^{\circ}.
Calculez BC (arrondissez au mm).
Correction :
[AC] est le côté opposé à lʼangle \widehat{\text{ABC}} et [BC] est lʼhypoténuse. Donc \sin53^{\circ} = \dfrac{7}{\text{BC}} donc \text{BC} = \dfrac{7}{\sin 53^{\circ}} \approx 8\text{,}8 cm.
Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que AC = 7 cm et \widehat{\text{ABC}} = 53^{\circ}.
Calculez BC (arrondissez au mm).
Correction :
[AC] est le côté opposé à lʼangle \widehat{\text{ABC}} et [BC] est lʼhypoténuse. Donc \sin53^{\circ} = \dfrac{7}{\text{BC}} donc \text{BC} = \dfrac{7}{\sin 53^{\circ}} \approx 8\text{,}8 cm.
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2 Calcul de la mesure dʼun angle
Méthode
Dans un triangle rectangle, si lʼon connait les longueurs de deux des côtés, on peut obtenir les mesures de tous les angles en utilisant les rapports trigonométriques.
Exercices n° p. 397 - 399.
Exercices n° p. 397 - 399.
J'applique
Consigne : Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que AB = 7 cm et AC = 5 cm.
Calculez \widehat{\text{ACB}} (arrondissez au degré).
Correction :
[AB] est le côté opposé à lʼangle \widehat{\text{ACB}} et [AC] est le côté adjacent. Donc \tan \widehat{\text{ACB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{7}{5}.
À lʼaide de la calculatrice, on obtient \widehat{\text{ACB}} = 54^{\circ}.
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