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p. 1-9

Partie 1 : Nombres et calculs

Ch. 1

Nombres entiers

Ch. 2

Calcul numérique

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 3

Calcul littéral

Ch. 4

Équations

Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions

Ch. 5

Notion de fonction

Ch. 6

Fonctions affines

Ch. 7

Situations de proportionnalité

Ch. 8

Statistiques

Ch. 9

Probabilités

Partie 3 : Espace et géométrie

Ch. 10

Théorème de Thalès et triangles semblables

Ch. 11

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Ch. 12

Transformations dans le plan et leurs effets

Ch. 13

Géométrie dans l'espace

Partie 4 : Mesures et grandeurs

Ch. 14

Mesures et grandeurs

Annexes

Scratch

Dossier brevet

Rappels, Index, Compétences

Révisions Genially

Calcul littéral

Plan de travail

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Chapitre 11

Cours et méthodes

Trigonométrie dans le triangle rectangle

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1
Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

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Vocabulaire

Dans un triangle rectangle :

l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ;

le côté d'un angle aigu qui n'est pas l'hypoténuse est appelé le côté adjacent à l'angle aigu ;

le côté non adjacent à l'angle aigu est appelé le côté opposé à l'angle aigu.

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Définitions

Dans le triangle

ABC

rectangle en

C,

les rapports de longueurs

\frac{CA}{AB},

\frac{CB}{AB}

\frac{CB}{CA}

ne dépendent que de la mesure de l'angle

BAC .

Ainsi, on appelle :

le cosinus d'un angle aigu le quotient égal à : $\frac{longueur du c o ˆ t e ˊ adjacent a l’angle}{longueur de l’hypot e ˊ nuse}$ ;

le sinus d'un angle aigu le quotient égal à : $\frac{longueur du cot e ˊ oppos e ˊ l’angle}{longueur de l’hypot e ˊ nuse}$ ;

la tangente d'un angle aigu le quotient égal à : $\frac{longueur du cot e ˊ oppos e ˊ l’angle}{longueur du c o ˆ t e ˊ adjacent a l’angle}$ .

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Remarque

Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu sont des nombres sans unité.
Une astuce mnémotechnique pour retenir ces formules est $C A H$ $S O H$ $T O A .$

$cos (angle) = \frac{c o ˆ t e ˊ Adjacent}{Hypot e ˊ nuse}$ $sin (angle) = \frac{c o ˆ t e ˊ Oppos e ˊ}{Hypot e ˊ nuse}$ $tan (angle) = \frac{c o ˆ t e ˊ Oppos e ˊ}{c o ˆ t e ˊ Adjacent}$

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Propriété

Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont des nombres toujours compris entre

0

1.

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Exemple

Dans ce triangle

ABC

rectangle en

C

, on a :

$cos BAC = \frac{CA}{AB}$ ;

$sin BAC = \frac{CB}{AB}$ ;

$tan BAC = \frac{CB}{CA} .$

Attention : Si l'on considère l'angle

ABC,

les rapports seront différents.

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Méthode

Exprimer le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu

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Énoncé

On considère le triangle

AMC

rectangle en

A

ci‑dessous. Exprimer le cosinus, le sinus et la tangente relatifs à l'angle

AMC

en fonction des longueurs des côtés du triangle.

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Méthode

Pour le cosinus, on repère l'hypoténuse et le côté adjacent à l'angle.
Pour le sinus, on repère l'hypoténuse et le côté opposé à l'angle.
Pour la tangente, on repère le côté opposé et le côté adjacent à l'angle.

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Solution

On sait que le triangle

AMC

est rectangle en

A,

donc :

$[MC]$ est l'hypoténuse ;

$[AM]$ est le côté adjacent à l'angle $AMC$ ;

$[AC]$ est le côté opposé à l'angle $AMC .$

Par définition, on a :

$cos (AMC) = \frac{longueur du c o ˆ t e ˊ adjacent}{longueur de l’hypot e ˊ nuse} = \frac{AM}{MC}$ ;

$sin (AMC) = \frac{longueur du c o ˆ t e ˊ oppos e ˊ}{longueur de l’hypot e ˊ nuse} = \frac{AC}{MC}$ ;

$tan (AMC) = \frac{longueur du c o ˆ t e ˊ oppos e ˊ}{longueur du c o ˆ t e ˊ adjacent} = \frac{AC}{AM} .$

Pour s'entraîner

Exercices

p. 218

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Calculer le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu

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Énoncé

Dans le triangle

AMC

rectangle en

A,

on donne

AC = 3

cm,

AM = 4

cm et

MC = 5

cm. Calculer la valeur exacte du cosinus, du sinus et de la tangente de l'angle

AMC

Triangle ABC rectangle en A. AC = 3cm, CB = 5cm et CB = 4 cm.

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Méthode

On écrit le rapport du cosinus, du sinus et de la tangente en utilisant les définitions du cours.
On remplace par les longueurs données dans l'énoncé.
On calcule.

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Solution

On sait que le triangle

AMC

est rectangle en

A

donc on a :

$cos (AMC) = \frac{AM}{MC} = \frac{4}{5} = 0, 8$ ;

$sin (AMC) = \frac{AC}{MC} = \frac{3}{5} = 0, 6$ ;

$tan (AMC) = \frac{AC}{AM} = \frac{3}{4} = 0, 75.$

Pour s'entraîner

Exercices

p. 218

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2
Calculer des longueurs et des mesures d'angles aigus

A
Calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle

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Méthode

Dans un triangle rectangle, on peut calculer la longueur d'un des côtés de ce triangle si on connaît la longueur d'un des côtés ainsi que la mesure d'un des angles aigus.
On choisit le cosinus, le sinus ou la tangente de l'angle connu en fonction de la longueur cherchée et de la longueur donnée dans l'énoncé.

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Exemple

On considère le triangle

CDE

rectangle en

D

ci‑dessous.

Chapitre 11 - Trigonométrie dans le triangle rectangle

On souhaite calculer la longueur

DE

qui est celle du côté opposé à

DCE .

On connaît la longueur

CD

qui est celle du côté adjacent à l'angle

DCE .

On utilise donc la relation de la tangente.
Par définition, on a :

tan DCE = \frac{DE}{DC}

soit

tan 64° = \frac{DE}{3 , 1}

donc

DE = 3, 1 \times tan 64°

soit

DE \approx 6, 4.

Coup de pouce

Si on connaît la longueur de deux des côtés, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur du troisième côté.

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B
Calculer la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle

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Méthode

Dans un triangle rectangle, on peut calculer la mesure d'un des angles aigus de ce triangle si on connaît les longueurs de deux de ses côtés.
On choisit le cosinus, le sinus ou la tangente de l'angle cherché en fonction des deux longueurs données dans l'énoncé.

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Exemple

On considère le triangle

CDE

rectangle en

D

ci‑dessous.

On souhaite déterminer la mesure de l'angle

DCE .

On connaît les longueurs de l'hypoténuse et du côté opposé à l'angle

DCE .

On utilise donc le sinus pour calculer la mesure de l'angle.
Par définition, on a :

sin DCE = \frac{DE}{CE} = \frac{4}{5} .

À l'aide de la calculatrice, on obtient alors que

DCE \approx 53°.

Coup de pouce

Si on connaît la mesure de deux des angles, on peut, pour calculer la mesure du troisième, utiliser la propriété : la somme des mesures des angles d'un triangle est égale à

180°.

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Remarque

Sur la calculatrice, on utilise les touches Arccos, Arcsin ou Arctan (ou

c o s^{- 1}

s i n^{- 1}

t a n^{- 1}

) pour déterminer la mesure d'un angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente.

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Méthode

Calculer une longueur

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Énoncé

Dans le triangle

ABC

rectangle en

A,

on donne

AC = 7

cm et

ABC = 53°.

Calculer la longueur

BC

(arrondie au mm).

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Méthode

On trace une figure à main levée afin de repérer l'hypoténuse et les différents côtés relatifs à l'angle connu.
On détermine alors la relation trigonométrique à utiliser.
On pense à bien paramétrer la calculatrice en mode degré.

Pour rappels :

		Je connais
		Hypoténuse	Côté opposé	Côté adjacent
Je veux	Hypoténuse		$sin$	$cos$
	Côté opposé	$sin$		$tan$
	Côté adjacent	$cos$	$tan$

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Solution

Triangle ABC rectangle en A. AC = 7cm et l'angle ABC = 53 degrés.

On sait que

ABC

est rectangle en

A.

[AC]

est le côté opposé à l'angle donné et on cherche la longueur de

[BC]

qui est l'hypoténuse.

On utilise donc le sinus :

sin ABC = \frac{AC}{BC}

sin 53° = \frac{7}{BC}

Donc

BC = \frac{7}{sin 53°} \approx 8, 8

cm.

Pour s'entraîner

Exercices 31
et

p. 218 et

p. 219

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Calculer la mesure d'un angle

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

Dans le triangle

ABC

rectangle en

A,

on donne

AB = 7

cm et

AC = 5

cm. Calculer la mesure de l'angle

ACB

(arrondie au degré).

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

On trace une figure à main levée afin de repérer la nature de chacun des côtés connus par rapport à l'angle dont on cherche la mesure.
On détermine alors la relation trigonométrique à utiliser.
On pense à bien paramétrer la calculatrice en mode degré.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Solution

Triangle ABC rectangle en A. AC = 5cm et AB = 7cm.

On sait que

ABC

est rectangle en

A.

[AB]

est le côté opposé à l'angle

ACB

[AC]

est son côté adjacent.

On utilise donc la tangente :

tan ACB = \frac{AB}{AC}

tan ACB = \frac{7}{5}

À l'aide de la calculatrice, on trouve

ACB \approx 54°.

Pour s'entraîner

Exercices 41
,

p. 219

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Transformations dans le plan et leurs effets

Géométrie dans l'espace

Mesures et grandeurs

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Plan de travail

Trigonométrie dans le triangle rectangle

1Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Vocabulaire

Définitions

Remarque

Propriété

Exemple

Exprimer le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu

Méthode

Calculer le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu

Méthode

2Calculer des longueurs et des mesures d'angles aigus

ACalculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle

Méthode

Exemple

BCalculer la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle

Méthode

Exemple

Remarque

Calculer une longueur

Méthode

Calculer la mesure d'un angle

Méthode

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Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

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A
Calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle

B
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