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1
Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
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Vocabulaire
Dans un triangle rectangle :
l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ;
le côté d'un angle aigu qui n'est pas l'hypoténuse est
appelé le côté adjacent à l'angle aigu ;
le côté non adjacent à l'angle aigu est appelé le côté
opposé à l'angle aigu.
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Définitions
Dans le triangle \text{ABC} rectangle en \text{C,} les rapports de longueurs \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AB}},\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{AB}} et \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{CA}} ne dépendent que de la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}}. Ainsi, on appelle :
le cosinus d'un angle aigu le quotient égal à : \frac{\text { {\color{#2b9fab}longueur du côté adjacent a l'angle }}}{{\color{#79a857}\text { longueur de l'hypoténuse }}} ;
le sinus d'un angle aigu le quotient égal à : \frac{{\color{#C8264F}\text { longueur du coté opposé l'angle }}}{{\color{#79a857}\text { longueur de l'hypoténuse }}} ;
la tangente d'un angle aigu le quotient égal à : \frac{{\color{#C8264F}\text { longueur du coté opposé l'angle }}}{\text { {\color{#2b9fab}longueur du côté adjacent a l'angle }}}.
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Remarque
Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu sont des nombres sans unité.
Une astuce mnémotechnique pour retenir ces formules est \text{C{\color{#2b9fab}A}{\color{#79a857}H}}\text{S{\color{#C8264F}O}{\color{#79a857}H}}\text{T{\color{#C8264F}O}{\color{#2b9fab}A}.}
Attention : Si l'on considère l'angle \widehat{\mathrm{ABC}}, les rapports seront
différents.
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Méthode
Exprimer le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu
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Énoncé
On considère le triangle \text{AMC} rectangle en \text{A} ci‑dessous. Exprimer le cosinus, le sinus et la tangente relatifs à l'angle \widehat{\text{AMC}} en fonction des longueurs des côtés du triangle.
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Méthode
Pour le cosinus, on repère l'hypoténuse et le côté adjacent à l'angle.
Pour le sinus, on repère l'hypoténuse et le côté opposé à l'angle.
Pour la tangente, on repère le côté opposé et le côté adjacent à l'angle.
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Solution
On sait que le triangle \text{AMC} est rectangle en \text{A,} donc :
\text{[MC]} est l'hypoténuse ;
\text{[AM]} est le côté adjacent à l'angle \widehat{\mathrm{AMC}} ;
\text{[AC]} est le côté opposé à l'angle \widehat{\mathrm{AMC}}.
Par définition, on a :
\cos (\widehat{\mathrm{AMC}})=\frac{\text { longueur du côté adjacent }}{\text { longueur de l'hypoténuse }}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MC}} ;
\sin (\widehat{\mathrm{AMC}})=\frac{\text { longueur du côté opposé }}{\text { longueur de l'hypoténuse }}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MC}} ;
\tan (\widehat{\mathrm{AMC}})=\frac{\text { longueur du côté opposé }}{\text { longueur du côté adjacent }}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AM}}.
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Calculer le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu
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Énoncé
Dans le triangle \text{AMC} rectangle en \text{A,} on donne \text{AC = 3} cm, \text{AM = 4} cm et \text{MC = 5} cm. Calculer la valeur exacte du cosinus, du sinus
et de la tangente de l'angle \widehat{\text{AMC}}.
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Méthode
On écrit le rapport du cosinus, du sinus et de la tangente en utilisant les définitions du cours.
On remplace par les longueurs données dans l'énoncé.
On calcule.
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Solution
On sait que le triangle \text{AMC} est rectangle en \text{A} donc on a :
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2
Calculer des longueurs et des mesures d'angles aigus
A
Calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle
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Méthode
Dans un triangle rectangle, on peut calculer la longueur d'un des côtés de ce triangle si on connaît la longueur d'un des côtés ainsi que la mesure d'un des angles aigus.
On choisit le cosinus, le sinus ou la tangente de l'angle connu en fonction de la longueur cherchée et de la longueur donnée dans l'énoncé.
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Exemple
On considère le triangle \text{CDE} rectangle en \text{D} ci‑dessous.
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On souhaite calculer la longueur \text{DE} qui est celle du côté opposé à \widehat{\text{DCE}}.
On connaît la longueur \text{CD} qui est celle du côté adjacent à l'angle \widehat{\text{DCE}}.
On utilise donc la relation de la tangente.
Par définition, on a : \tan \widehat{\mathrm{DCE}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{DC}} soit \tan 64°=\frac{\mathrm{DE}}{3{,}1} donc \mathrm{DE}=3{,}1 \times \tan 64° soit \mathrm{DE} \approx 6{,}4.
Coup de pouce
Si on connaît la longueur de deux des côtés, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur du troisième côté.
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B
Calculer la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle
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Méthode
Dans un triangle rectangle, on peut calculer la mesure d'un des angles aigus de ce triangle si on connaît les longueurs de deux de ses côtés.
On choisit le cosinus, le sinus ou la tangente de l'angle cherché en fonction des deux longueurs données dans l'énoncé.
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Exemple
On considère le triangle \text{CDE} rectangle en \text{D} ci‑dessous.
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On souhaite déterminer la mesure de l'angle \widehat{\text{DCE}}.
On connaît les longueurs de l'hypoténuse et du côté opposé à l'angle \widehat{\text{DCE}}.
On utilise donc le sinus pour calculer la mesure de l'angle.
Par définition, on a : \sin \widehat{\mathrm{DCE}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{CE}}=\frac{4}{5}.
À l'aide de la calculatrice, on obtient alors que \widehat{\text{DCE}} \approx 53°.
Coup de pouce
Si on connaît la mesure de deux des angles, on peut, pour calculer la mesure du
troisième, utiliser la propriété : la somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
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Remarque
Sur la calculatrice, on utilise les touches Arccos, Arcsin ou Arctan (ou \bm{\cos^{-1}}, \bm{\sin^{-1}} et \bm{\tan^{-1}}) pour
déterminer la mesure d'un angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente.
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Méthode
Calculer une longueur
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Énoncé
Dans le triangle \text{ABC} rectangle en \text{A,} on donne \text{AC = 7} cm et \widehat{\text{ABC}} = 53°.
Calculer la longueur \text{BC} (arrondie au mm).
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Méthode
On trace une figure à main levée afin de repérer l'hypoténuse et les différents côtés relatifs à l'angle connu.
On détermine alors la relation trigonométrique à utiliser.
On pense à bien paramétrer la calculatrice en mode degré.
Pour rappels :
Je connais
Hypoténuse
Côté opposé
Côté adjacent
Je veux
Hypoténuse
\sin
\cos
Côté opposé
\sin
\tan
Côté adjacent
\cos
\tan
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Solution
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On sait que \text{ABC} est rectangle en \text{A.}\text{[AC]} est le côté opposé à l'angle donné et on cherche la longueur de \text{[BC]} qui est l'hypoténuse.
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Calculer la mesure d'un angle
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Énoncé
Dans le triangle \text{ABC} rectangle en \text{A,} on donne \text{AB = 7} cm et \text{AC = 5} cm.
Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{ACB}} (arrondie au degré).
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Méthode
On trace une figure à main levée afin de repérer la nature de chacun des côtés connus par rapport à l'angle dont on cherche la mesure.
On détermine alors la relation trigonométrique à utiliser.
On pense à bien paramétrer la calculatrice en mode degré.
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Solution
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On sait que \text{ABC} est rectangle en \text{A.}\text{[AB]} est le côté opposé à l'angle \widehat{\text{ACB}} et \text{[AC]} est son côté adjacent.