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Partie 1 : Statistique et probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Partie 3 : Géométrie
Annexes
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Cahier d'algorithmique et de programmation
Exercices

Exercices Python supplémentaires

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Chapitre 1 - Statistiques à deux variables

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Exercice 1
Interpoler/Extrapoler

On modélise la série donnée dans le tableau ci-dessous à l'aide de l'ajustement d'équation y = x^2 + 1,5.

\color{Black} x0123
\color{Black} y1{,}525,510,5

Pour interpoler et extrapoler plus rapidement sur ces valeurs, on se propose d'utiliser le programme Python ci-dessous. 
def extrapol(x) :
  y = x**2 + 1.5
  return(y)

print(extrapol(4))

1. a. Déterminer à la main la valeur donnée par l'ajustement y = x^2 + 1,5 lorsque x = 4. Comparer cette valeur à celle renvoyée par le programme Python ci‑dessus.

b. À l'aide du programme Python, déterminer la valeur donnée par l'ajustement y = x^2 + 1,5 lorsque x = 5, x = 10 et x = 100.

On cherche maintenant à modéliser la série à l'aide de l'ajustement d'équation y = 0,4x^3 + 1,5.

2. a. Modifier le programme Python pour qu'il utilise ce nouvel ajustement.

b. À l'aide du programme Python, déterminer la valeur donnée par l'ajustement y = 0,4x^3 + 1,5 lorsque x = 5, x = 10 et x = 100.
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Exercice 2
Interpoler/Extrapoler plusieurs valeurs

On modélise la série donnée dans le tableau ci‑dessous à l'aide de l'ajustement d'équation y = x^2 + 1,5.

\color{Black} x0123
\color{Black} y1{,}525,510,5

Pour interpoler et extrapoler plus rapidement sur ces valeurs, on se propose d'utiliser le programme Python ci‑dessous. 
def extrapol2(x):
  y = x**2 + 1.5
  return(y)

for k in range(6):
  print(extrapol2(k))

1. Déterminer à la main, ou en utilisant le programme de l'exercice 1, la valeur donnée par l'ajustement y = x^2 + 1,5 lorsque x = 0, x = 1, x = 2 et x = 5. Comparer cette valeur à celle renvoyée par le programme Python ci‑dessus.

2. a. Modifier le programme pour qu'il donne les valeurs données par l'ajustement y = x^2 + 1,5 pour x allant de 0 à 19.

b. D'après le programme Python, que donne l'ajustement y = x^2 + 1,5 lorsque x = 17 ?
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Exercice 3
Coefficient de détermination R^2

On modélise la série donnée dans le tableau ci‑dessous à l'aide de l'ajustement d'équation y = x^2 + 1,5.

\color{Black} x0123
\color{Black} y1{,}525,510,5

Le programme Python ci‑dessous permet d'obtenir le coefficient de détermination R^2 de cet ajustement. 
import numpy

def ajust(x):
  return(x**2+1.5)

y = [1.5,2,5.56,10.5]
f = [ajust(0),ajust(1),ajust(2),ajust(3)]

corr_matrix = numpy.corrcoef(y, f)
corr = corr_matrix[0,1]
R_2 = corr**2

print(R_2)

1. D'après ce programme Python, que vaut le R^2 de cet ajustement ? On arrondira le résultat au centième.

On cherche maintenant à modéliser la série à l'aide de l'ajustement d'équation y = 0,4x^3 + 1,5.

2. a. Modifier le programme Python de façon à ce qu'il donne en sortie le R^2 de ce nouvel ajustement.

b. Que vaut le R^2 de cet ajustement ? On arrondira au centième.

c. Cet ajustement est‑il plus ou moins pertinent que celui polynomial d'ordre 2 proposé au début de cet exercice ?
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Chapitre 2 - Probabilités

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Exercice 1
Pile ou face

On modélise le lancer d'une pièce de monnaie équilibrée à l'aide du programme Python ci‑dessous. 
from random import *
def pileouface():
	if random() < 0.5 :
  	return("Pile !")
  else :
  	return("Face !")
print(pileouface())

1. À quoi sert la ligne 1 de ce programme ?

2. Expliquer les lignes 3 à 6 de ce programme. Que fait‑on ? Pourquoi compare‑t‑on \color{purple}\bf{random()} à 0,5 ?

3. On veut désormais modéliser le lancer d'une pièce de monnaie truquée : elle tombe sur pile avec une probabilité de 0,2. Modifier le programme Python pour qu'il modélise le lancer de cette pièce de monnaie.

4. On veut désormais modéliser le lancer d'une autre pièce de monnaie truquée : elle tombe sur face avec une probabilité de 0,3. Comment doit‑on modifier le programme Python pour modéliser cette pièce de monnaie ?
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Exercice 2
Piocher dans une urne

On s'intéresse à une urne contenant des boules de trois couleurs différentes : quatre boules rouges, cinq boules vertes et une boule bleue.
On modélise le tirage d'une boule dans cette urne à l'aide du programme Python (incomplet) ci‑dessous. 
from random import *
def urne():
  p = random()
  if p < ... :
    return("Boule rouge !")
  elif p < ... :
    return("Boule verte !")
  else :
    return("Boule bleue !")
print(urne())

1. a. Déterminer la probabilité de tirer une boule rouge dans cette urne puis la probabilité de tirer une boule verte et enfin celle de tirer une boule bleue.

b. À l'aide des résultats obtenus à la question précédente, compléter les lignes 4 et 6 de ce programme.

2. On rajoute dix boules noires dans cette urne. Modifier le programme Python de façon à ce qu'il modélise cette nouvelle situation.
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Placeholder pour Illustration : deux personnes étudient des mathématiques sur un tableau noir. L'une écrit des formules, l'autre observe.Illustration : deux personnes étudient des mathématiques sur un tableau noir. L'une écrit des formules, l'autre observe.
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Exercice 3
Répétition d'une expérience aléatoire

On s'intéresse à une urne contenant deux types de boules : quatre boules noires et six boules blanches. On pioche deux boules de suite dans cette urne, avec remise, et on considère la partie comme gagnée si les deux boules tirées ont été de de la même couleur.

Pour modéliser cette situation, on utilise le programme Python (incomplet) ci‑dessous. 
from random import *
def jeu():
  blanche = 0
  noire = 0
  for k in range(2) :
    if random() < 0.4:
      noire = ...
    else :
      blanche = ...
  if noire == 2 or blanche == 2 :
    print("Gagné !")
  else :
    print("Perdu !")
jeu()

1. Compléter les lignes 7 et 9 de ce programme.

2. Expliquer la ligne 10 de ce programme. Que fait‑elle exactement ? Que signifie le \color{purple}\bf{or} ? Pourquoi utilise‑t‑on ici \color{purple}\bf{or} et pas \color{purple}\bf{and} ?

Ce programme fonctionne mais est un peu long. On décide donc de le raccourcir en le réécrivant comme ci‑dessous. 
from random import *
def jeu():
  noire = 0
  for k in range(2) :
    if random() < 0.4:
      noire = noire + 1
  if noire == 2 or noire == 0:
    print("Gagné !")
  else :
    print("Perdu !")
jeu()

3. Expliquer pourquoi ce programme permet de modéliser la même expérience que le programme Python du début de cet exercice.
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Chapitre 3 - Suites numériques

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Exercice 1
Définition explicite

On s'intéresse à la suite \left( u_n \right) définie pour tout n entier par u_n = 4n + 1.
Pour calculer plus rapidement les termes de cette suite, on décide d'utiliser le programme Python ci‑dessous. 
def u(n) :
  u = 4*n + 1
  return(u)

print(u(2))
1. a. Déterminer à la main la valeur u_2. Comparer cette valeur à celle obtenue en sortie du programme Python.

b. À l'aide du programme Python, déterminer u_3, u_{10}, u_{97} et u_{988}.

2. a. Modifier ce programme pour qu'il donne en sortie le terme de rang n de la suite \left( v_n \right) définie pour tout n entier par v_n = 6n^2 + 3.

b. À l'aide du programme Python, déterminer v_3, v_{10}, v_{97} et v_{988}.

3. Peut‑on modifier simplement ce programme pour déterminer les termes de la suite (w_n) définie par w_0 =2 et, pour tout n entier, w_{n+1} = 2 w_n + 2 ? Si oui, effectuer cette modification. Si non, expliquer pourquoi.
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Exercice 2
Définition par récurrence

On s'intéresse à la suite (w_n) définie par w_0 =2 et, pour tout n entier, w_{n+1} = 2 w_n + 2.
Pour calculer plus rapidement les termes de cette suite, on décide d'utiliser le programme Python (incomplet) ci‑dessous. 
def w(n):
  w = 2
  for k in range(n):
    w = ...
  return(w)
print(w(1))

1. a. Compléter la ligne 4 de ce programme.

b. À l'aide de ce programme, déterminer w_{10} puis w_{20}. En quoi un tel programme peut‑il être considéré comme utile ou avantageux ?

2. a. Modifier le programme Python pour qu'il permette de calculer cette fois‑ci les différents termes de la suite \left(r_n \right) définie par r_0 = 4 et pour tout n entier, r_{n+1} = 0,5 r_n + 1.

b. À l'aide de ce programme, déterminer r_{4} et r_{5}.
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Exercice 3
Seuil

On s'intéresse à la suite \left(w_{n}\right) définie par w_{0}=2 et, pour tout n entier, w_{n+1}=2 w_{n}+2.
On cherche à savoir à partir de quel rang les termes de cette suite dépassent 10 000. Pour ce faire, on utilise le programme Python (incomplet) ci‑dessous. 
def seuil():
  w = 2
  n = 0
  while ...:
    w = 2*w + 2
    n = ...
  return(n)
print(seuil())

1. a. Par laquelle de ces propositions doit-on compléter la ligne 4 ? Justifier.
\color{purple}\bf{w} \bm{ \gt 10000}
\color{purple}\bf{w} \bm{ \lt 10000}
\color{purple}\bf{w} \bm{ = 10000}

b. Compléter la ligne 4 et la ligne 6 de ce programme.

c. D'après ce programme, à partir de quel rang les termes de la suite \left( w_n \right) dépassent‑ils 10 000 ?

2. Modifier la ligne 7 de ce programme pour que, en plus de donner le rang n à partir duquel les termes de la suite \left( w_n \right) dépassent 10 000, ce programme renvoie aussi la valeur du premier terme w_n dépassant 10 000.

3. En modifiant le programme Python précédent, déterminer à partir de quel rang n les termes de la suite \left( w_n \right) dépassent 100 000 et combien vaut le premier terme w_n dépassant ce seuil.
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Exercice 4
To be or not to be géométrique ?

On s'intéresse à une suite \left( u_n \right) dont on connaît les quatre premiers termes : u_0 = 2, u_1 = 8, u_2 = 32 et u_4 = 128. On modélise en Python ces quatres premiers termes à l'aide de la liste \color{purple}\bf{termes} comme ci‑dessous. 
termes = [2,8,32,128]

1. a. Qu'obtient‑on en écrivant \color{purple}\bf{print(termes[0])} en deuxième ligne de ce programme ?

b. Que doit‑on écrire en deuxième ligne de ce programme pour que le programme Python donne en sortie la valeur 128 ?

2. Quelle valeur obtient‑on en sortie de ce programme en écrivant en deuxième ligne \color{purple}\bf{print(termes[1]/termes[0])} ? À quoi cette valeur correspond‑elle ?

Le programme Python ci‑dessous permet de déterminer à l'aide des quatres premiers termes d'une suite, si cette suite semble géométrique ou si elle ne l'est pas. 
def geometrique(termes):
  q1 = termes[1]/termes[0]
  q2 = termes[2]/termes[1]
  q3 = termes[3]/termes[2]
  if q1 == q2 and q2 == q3 :
    print("La suite semble géométrique.")
  else :
    print("La suite n'est pas géométrique")
geometrique([2,8,32,128])

3. a. Expliquer ce programme.

b. D'après ce programme, la suite \left( u_n \right) semble‑t‑elle être géométrique ?

c. Utiliser ce programme pour déterminer si la suite \left( v_n \right) de premiers termes v_0 = 5, v_1 = 10, v_2 = 30 et v_3 = 60 semble géométrique ou non.
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Chapitre 4 - Fonctions polynômes de degré 3

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Exercice 1
Polynôme de degré 3

Une entreprise souhaite lancer sur le marché un nouveau produit. Avant une production à grande échelle, elle cherche à savoir si ce produit lui apportera des bénéfices suffisants. Elle modélise la recette, le coût et le bénéfice prévisionnel à l'aide du programme Python (incomplet) ci‑dessous. 
def recette(x):
  return(-0.01*x**3 + 1.6*x**2 + 10*x)

def cout(x):
  return(...)

def benefice(x):
  return(...)

1. a. D'après le programme Python, quelle est l'expression de R, la fonction donnant la recette prévisionnelle obtenue par l'entreprise pour la vente de x produits ?

b. En ligne 9 du programme, entrer la commande \color{purple}\bf{print(recette(10))}. Quelle valeur obtient‑on ? À quoi cette valeur correspond‑elle dans le contexte de l'énoncé ?

2. a. Le coût de production de x de ces produits est donné par la fonction C(x) = 0,1x^2 + 1. Compléter la ligne 5 du programme Python en conséquence.

b. D'après le programme Python, quel sera le coût de production de 20 articles ?

3. a. On rappelle la formule « Bénéfice = Recette - Coût ». Compléter alors la ligne 8 du programme.

b. D'après le programme Python, l'entreprise engrangera‑t‑elle des bénéfices si elle vend 9 de ces produits ? 20 de ces produits ?
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Exercice 2
Fonction mystère

Soit la fonction polynôme de degré 3 f \left( x \right) = 2x^3 + 4x^2 + 5x + 3.
On s'intéresse à la fonction Python mystere ci‑dessous. 
def mystere(a,b,c,d):
  a = 3*a
  b = 2*b
  return(str(a) + 'x**2 + ' + str(b) + 'x + ' + str(c))

print(mystere(2,4,5,3))

1. a. Exécuter ce programme. Qu'obtient‑on en sortie ?

b. À quoi sert ce programme ?

2. a. Utiliser ce programme Python sur la fonction g(x) = 5x^3 - x + 7. Qu'obtient‑on ?

b. Vérifier ce résultat par le calcul.
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Exercice 3
À la recherche d'une solution

Soit f \left( x \right) = x^3 - 2x une fonction polynôme de degré 3. On affirme que la fonction Python \color{purple}\bf{solution(a,b)} ci‑dessous peut déterminer si l'équation f \left( x \right) = 0 admet au moins une solution sur l'intervalle \left[a ; b \right]. Dans cet exercice, on va tâcher de vérifier si cette affirmation est vraie ou fausse. 
def f(x):
  return(x**3 - 2*x)

def solution(a,b):
  if f(a) < 0 and f(b) > 0 :
    print("Il y a au moins une solution sur cet intervalle.")
  elif f(a) > 0 and f(b) < 0 :
    print("Il y a au moins une solution sur cet intervalle.")
  else :
    print("Il n'y a aucune solution sur cet intervalle.")

solution(-1,1)

1. a. Que teste ce programme à la ligne 5 ?

b. Que teste ce programme à la ligne 7 ?

c. Expliquer le fonctionnement de la fonction \color{purple}\bf{solution}.

2. À l'aide d'un outil numérique, tracer la courbe de la fonction f.

3. a. Exécuter le programme Python. Qu'obtient‑on en sortie ? Sur quel intervalle le programme Python assure‑t‑il que f(x) = 0 admet une solution ?

b. Vérifier ce résultat à l'aide de la courbe de la question 2. La fonction \color{purple}\bf{solution} semble‑t‑elle fonctionner correctement ?

4. a. À l'aide de la fonction Python, déterminer si l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution sur l'intervalle \left[-2 ; -1 \right] puis sur l'intervalle \left[1 ; 2 \right].

b. Vérifier ce résultat à l'aide de la courbe de la question 2. La fonction \color{purple}\bf{solution} semble‑t‑elle fonctionner correctement ?

5. a. À l'aide de la fonction Python, déterminer si l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution sur l'intervalle \left[-2 ; 1 \right].

b. Vérifier ce résultat à l'aide de la courbe de la question 2. La fonction \color{purple}\bf{solution} semble‑t‑elle fonctionner correctement ?

c. Pourquoi a‑t‑on obtenu un tel résultat sur cet intervalle mais pas sur ceux testés précédemment ?
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Chapitre 5 - Fonctions exponentielles et logarithme décimal

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Exercice 1
Logarithme décimal

En Python, le logarithme décimal se trouve dans la bibliothèque \color{purple}\bf{math} et s'utilise avec la commande \color{purple}\bf{log10}, comme montré dans le programme ci‑dessous. 
from math import *

print(log10(1))
print(log10(10))
print(log10(2))
print(log10(5))
print(log10(0.5))

1. a. Quelles valeurs sont données par ce programme quand on l'exécute ? À quoi correspondent‑elles ? Ces valeurs sont‑elles précises ou approchées ?

b. Effacer les lignes 3 à 7 de ce programme puis entrer la commande \color{purple}\bf{print(log10(0))}. Qu'obtient‑on lorsqu'on tente d'exécuter ce programme ? Pourquoi ?

On s'intéresse maintenant au programme Python ci‑dessous. 
from math import *

a = log10(2) + log10(5)
b = log10(10)

if a == b:
  print("C'est vrai.")
else :
  print("C'est faux.")

2. a. Que fait ce programme Python ?

b. Exécuter ce programme Python. Qu'obtient‑on en sortie ? Est‑ce étonnant ?

3. a. Modifier le programme Python précédent pour comparer \log \left( 0,1 \right) + \log \left( 5 \right) et \log \left( 0,5 \right). Qu'obtient‑on en sortie ? Est‑ce étonnant ?

b. Proposer une explication possible de ce phénomène en vous aidant de la question 1.a.
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Exercice 2
Inéquation

Le programme Python (incomplet) ci‑dessous permet de déterminer le plus petit entier positif x tel que 4 \log \left( x \right) + 10 \geqslant 20. 
from math import *

def inequation():
  x = 1
  f = 4*log10(x) + 10
  while ... :
    x = ...
    f = 4*log10(x) + 10
  return(x)

print(inequation())

1. a. Laquelle des propositions ci‑dessous permet de compléter correctement la ligne 6 de ce programme ?





b. Compléter la ligne 7 de ce programme.

c. Exécuter ce programme. Quel résultat obtient‑on ?

2. a. Au lieu de déterminer le plus petit entier solution de cette inéquation, on veut que ce programme détermine le plus petit nombre réel, arrondi au dixième. Comment doit‑on modifier ce programme Python ?

b. Exécuter ce nouveau programme. Quel résultat obtient‑on ?
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Exercice 3
(Dé)croissante

Le programme Python (incomplet) ci‑dessous permet de déterminer si la fonction f \left( x \right) = 2^x est croissante ou décroissante. 
from math import *

def fonction(x) :
  return(2**x)

def croissante(f):
  if f(1) ... f(2) :
    return("La fonction est croissante.")
  else :
    return("La fonction est décroissante.")

print(croissante(fonction))

1. a. Compléter correctement la ligne 7 de ce programme.

b. Exécuter ce programme. La fonction f \left( x \right) = 2^x est‑elle croissante ou décroissante d'après ce programme ? Est‑ce étonnant ?

c. Exécuter ce programme pour la fonction g(x) = 0,3^x. Qu'obtient‑on comme résultat ? Est‑ce étonnant ?

On rappelle qu'en Python, le logarithme décimal se trouve dans la bibliothèque \color{purple}\bf{math} et s'utilise avec la commande \color{purple}\bf{log10} (
voir exercice 1
).

2. a. Exécuter ce programme pour la fonction h(x) = \log \left( 2x \right). Qu'obtient‑on comme résultat ?

b. Même question pour les fonctions k(x) = \log \left( 0,5 x \right) + 1 et m(x) = - \log \left( 3 x \right).

3. a. Exécuter ce programme pour la fonction \ell (x) = x^2. Qu'obtient‑on comme résultat ?

b. Tracer la courbe de la fonction \ell à l'aide d'un outil numérique. Le résultat de la question précédente est‑il vérifié ? Ce programme Python fonctionne‑t‑il donc pour n'importe quelle fonction ?
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Chapitre 6 - Calculs commerciaux et financiers

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Exercice 1
Placements

On effectue un placement de 500 € sur un compte à intérêts composés à un taux annuel de 5 % pendant n ans. Le programme Python (incomplet) ci‑dessous modélise cette situation. 
def placement(n):
  argent = 500
  for k in range(n):
    argent = ...*argent
  return(argent)
print(placement(1))

1. a. Compléter la ligne 4 de ce programme.

b. Exécuter ce programme. Qu'obtient‑on en sortie ?

c. À l'aide de ce programme, déterminer le montant total obtenu grâce à ce placement au bout de dix ans.

2. En effectuant des tests et en se servant du programme Python, déterminer au bout de combien de temps ce placement permet d'obtenir un montant total dépassant 800 €.
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Exercice 2
Durée de placement

On effectue un placement de 500 € sur un compte à intérêts composés à un taux annuel de 5 % pendant n ans. Le programme Python (incomplet) ci‑dessous permet de déterminer au bout de combien d'années ce placement permet d'obtenir un montant total dépassant 800 €. 
def duree():
  argent = 500
  annee = 0
  while ... :
    argent = 1.05*argent
    annee = ...
  return(annee)
print(duree())

1. a. Laquelle des propositions suivantes permet‑elle de compléter correctement la ligne 4 de ce programme Python ?






b. Compléter la ligne 6 du programme Python.

2. Exécuter ce programme Python. Quelle valeur obtient‑on ? Que signifie concrètement cette valeur ?

On voudrait aussi déterminer quand ce placement dépasse les 1 000 €, les 10 000 €, etc.
Au lieu de modifier le programme Python pour chacun de ces nouveaux montants, on décide de créer une fonction Python \color{purple}\bf{duree2} qui prend en argument \color{purple}\bf{montant}, le montant que l'on souhaite dépasser, et qui donne en sortie la durée nécessaire. 
def duree2(montant):
  argent = 500
  annee = 0
  while ... :
    argent = 1.05*argent
    annee = annee + 1
  return(annee)
print(duree2(1000))

3. a. Compléter la ligne 4 de ce programme.

b. Exécuter ce programme. Quelle valeur obtient‑on ? Que représente cette valeur ?

c. Déterminer, grâce à ce nouveau programme, le nombre d'années nécessaires pour que ce placement engrange un montant total supérieur à 10 000 €.
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Exercice 3
Tableau d'amortissement

On souscrit à un prêt de 2000 € à amortissement constant de 500 €, à intérêts composés, et à un taux annuel de 2 %. Ce prêt durera quatre ans. Voici le tableau d'amortissement de cet emprunt.

Capital restant dûIntérêtAmortissementAnnuité
2~00040500540

En Python, on modélisera chaque ligne du tableau par une liste.
La première ligne du tableau sera modélisée par la liste \color{purple}\bf{ligne1 = [2000,40,500,540]}. 
ligne1 = [2000,40,500,540]

1. a. Entrer en ligne 2 le code \color{purple}\bf{print(ligne1[0])}. Quelle valeur obtient‑on ?

b. Laquelle des écritures suivantes correspond à l'amortissement lors de la première année ?




On cherche maintenant à remplir la deuxième ligne de ce tableau d'amortissement. Pour ce faire, on crée le programme Python suivant. 
ligne1 = [2000,40,500,540]
ligne2 = [0,0,0,0]

ligne2[0] = ligne1[0] - ligne1[2]
ligne2[1] = 0.02*ligne2[0]
ligne2[2] = 500
ligne2[3] = ligne2[1] + ligne2[2]

print(ligne2)

2. a. Expliquer la ligne 4 de ce programme.

b. Expliquer la ligne 5 de ce programme.

c. Expliquer la ligne 6 de ce programme.

d. Expliquer la ligne 7 de ce programme.
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Chapitre 7 - Vecteurs

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Exercice 1
Qui fait quoi ?

Associe chacun de ces programmes Python suivant à son utilité. 

def fonction1(xu,yu,zu,xv,yv,zv):
	x = xu + xv
  y = yu + yv
  z = zu + zv
  return(x,y,z)






def fonction2(xu,yu,zu,xv,yv,zv):
	x = 2*xu - xv
  y = 2*yu - yv
  z = 2*zu - zv
  return(x,y,z)






def fonction3(xu,yu,zu):
	x = -xu
  y = -yu
  z = -zu
  return(x,y,z)






def fonction4(xu,yu,zu):
	x = 2*xu
  y = 2*yu
  z = 2*zu
  return(x,y,z)






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Exercice 2
Colinéaires ?

La fonction Python \color{purple}\bf{colineaire} ci‑dessous prend en entrée les coordonnées de deux vecteurs : \color{purple}\bf{xu}, \color{purple}\bf{yu} et \color{purple}\bf{zu} d'un côté, l'abscisse, l'ordonnée et la cote d'un vecteur \overrightarrow{u}, et \color{purple}\bf{xv}, \color{purple}\bf{yv} et \color{purple}\bf{zv} de l'autre, l'abscisse, l'ordonnée et la cote d'un vecteur \overrightarrow{v}, et en sortie dit si ces deux vecteurs sont colinéaires ou non. 
def colineaire(xu,yu,zu,xv,yv,zv):
  k1 = xu/xv
  k2 = yu/yv
  k3 = zu/zv
  if k1 == k2 and k2 == k3 :
    print("Les vecteurs sont colinéaires.")
  else :
    print("Les vecteurs ne sont pas colinéaires.")

1. a. Rappeler la définition de deux vecteurs colinéaires. Que peut‑on dire en particulier de leurs coordonnées ?

b. Expliquer alors les lignes 2, 3, 4 et 5 de ce programme.

2. a. Que faut‑il entrer en ligne 9 de ce programme pour qu'il détermine si les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) et \overrightarrow{v} \left( \begin{matrix} 2\\4\\6 \end{matrix} \right) sont colinéaires ?

b. Ces deux vecteurs sont‑ils colinéaires ?
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Exercice 3
Coordonnées de vecteurs

Pour modéliser des coordonnées de vecteur en Python, on peut utiliser des listes.
Par exemple, le vecteur \vec{u}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) pourra être modélisé par la liste \color{purple}\bf{u = [2, 3, -2]} en Python. 
u = [2, 3, -2]

1. a. Entrer en ligne 2 la commande \color{purple}\bf{print(u[0])}. Qu'obtient‑on comme valeur ?

b. Quelle commande doit‑on entrer pour obtenir l'ordonnée de \overrightarrow{u} ? Sa cote ?

2. Dans cette fenêtre Python, en vous inspirant de la définition du vecteur \overrightarrow{u}, définissez le vecteur \vec{v}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right).

Le programme Python (incomplet) ci-dessous permet de déterminer les coordonnées du vecteur -3 \overrightarrow{u}. 
u = [2, 3, -2]

def coli(l1):
  v = [0,0,0]
  v[0] = -3*l1[0]
  v[1] = -3*...
  v[2] = -3*...
  return(v)
print(coli(u))

3. a. En vous inspirant de la ligne 5, compléter les lignes 6 et 7 de ce programme Python.

b. Quelles sont les coordonnées du vecteur -3 \overrightarrow{u} si \vec{u}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) ?

Le programme Python (incomplet) ci‑dessous permet de déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}. 
u = [2, 3, -2]
v = [-1,0,4]

def somme(l1,l2):
  w = [0,0,0]
  w[0] = l1[0] + l2[0]
  w[1] = l1[1] + ...
  w[2] = ...
  return(w)
print(somme(u,v))

4. a. En vous inspirant de la ligne 6, compléter les lignes 7 et 8 de ce programme Python.

b. Quelles sont les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} si \vec{u}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right) ?
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Chapitre 8 - Trigonométrie

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Exercice 1
Période, fréquence, pulsation

La fonction Python \color{purple}\bf{trigo} (incomplète) ci‑dessous prend en entrée la période \color{purple}\bf{T} d'une grandeur sinusoïdale et donne en sortie la fréquence \color{purple}\bf{f} et la pulsation \color{purple}\bf{omega} qui lui correspond. 
from math import *
def trigo(T):
  f = ...
  omega = ...
  return(f,omega)

1. a. Rappeler la formule reliant la fréquence f à la période T d'une grandeur sinusoïdale.

b. À l'aide de la réponse à la question précédente, compléter la ligne 3 du programme Python.

2. a. Rappeler la formule reliant la pulsation \omega à la période T d'une grandeur sinusoïdale.

b. À l'aide de la réponse à la question précédente, compléter la ligne 4 du programme Python.

3. a. Rappeler la formule reliant la pulsation \omega à la fréquence f d'une grandeur sinusoïdale.

b. Pouvait‑on remplir la ligne 4 de ce programme Python d'une façon différente ?
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Exercice 2
Positif ou négatif

La fonction Python \color{purple}\bf{posinega} ci‑dessous prend en entrée une mesure d'angle x \in \left[ 0 ; 2 \pi \right] en radian et dit en sortie si le cosinus de cet angle est positif ou négatif. 
from math import *

def posinega(x):
  if pi/2 < x and x < 3*pi/2 :
    print("Le cosinus de cet angle est négatif.")
  else :
    print("Le cosinus de cet angle est positif.")

1. a. Après avoir tracé un cercle trigonométrique, expliquer pour quelles mesures d'angles x \in \left[ 0 ; 2 \pi \right], le cosinus de x est négatif et pour quelles mesures d'angles ce cosinus est positif.

b. Expliquer les lignes 5 et 6 de ce programme.

Voici désormais un programme Python incomplet souhaitant faire exactement la même chose que la fonction \color{purple}\bf{posinega} précédente ; c'est‑à‑dire donner le signe du cosinus de la mesure d'angle x \in \left[ 0 ; 2 \pi \right] donnée en entrée. 
from math import *

def posinega2(x):
  if ... :
    print("Le cosinus de cet angle est positif.")
  else :
    print("Le cosinus de cet angle est négatif.")

2. a. En quoi ce programme Python est‑il différent du précédent ?

b. Compléter la ligne 4 de ce programme.
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Exercice 3
Équations trigonométriques

Le programme Python ci‑dessous permet de résoudre, de façon approchée, l'équation 2 \cos \left( x + 1 \right) = 1,5. 
from math import *

def f(x):
  return(2*cos(x+1))

def resolution():
  x1 = 0
  x2 = 0.1
  while x1 < 2*pi:
    if f(x1) < 1.5 and f(x2) > 1.5:
      solution = (x1 + x2)/2
      print(solution)
    x1 = x1 + 0.1
    x2 = x2 + 0.1
resolution()

1. a. Expliquer la ligne 10 de ce programme. Que teste‑t‑on ? Pourquoi ?

b. Expliquer les lignes 9, 13 et 14 de ce programme. Comment fonctionne ce programme Python ?

2. a. Modifier ce programme Python de façon à ce qu'il résolve, de façon approchée, l'équation 3 \sin \left( 2x \right) = 1.

b. Exécuter le programme. Combien de solutions obtient‑on ? Quelles sont ces solutions ?

3. a. Modifier ce programme Python de façon à ce qu'il résolve, de façon approchée, l'équation \sin \left( x + 1 \right) = 5.

b. Exécuter le programme. Combien de solutions obtient‑on ? Est‑ce étonnant ?

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