Exercices d'auto-évaluation

12

Soit n un entier naturel tel que \operatorname{PGCD}(n \:; 75)=25 et \operatorname{PGCD}(n \:; 20)=5.
n peut être égal à :

a. 100

b. 35

c. 25

d. 70

13

Pour tous entiers naturels a et b non nuls et divisibles par 68 :

a. \operatorname{PGCD}(a \:; b) | 68.

b. \operatorname{PGCD}(a \:; b) est un multiple de 68.

c. il existe (x \:; y) \in \mathbb{Z}^{2} tel que ax + by = 68.

d. il existe deux entiers relatifs x et y premiers entre eux tels que ax + by = 1.

14

Soit a \in \mathbb{N}. Quelle est la relation entre les propositions \mathrm{A} : «\:12 a \equiv 0[3] \:» et \mathrm{B} : «\: a \equiv 0[3] \:» ?

a. \mathrm{A} \Leftrightarrow \mathrm{B}

b. \mathrm{B} \Rightarrow \mathrm{A}

c. \mathrm{A} \Rightarrow \mathrm{B}

d. Aucune.

15

Soit (a\:; b) \in \mathbb{N}^{2} tel que 11a = 56b.
On peut alors affirmer que :

a. \operatorname{PGCD}(a\:; b)=1.

b. a divise b.

c. 11 divise b.

d. b divise 11.

16

Parmi ces équations, quelles sont celles qui admettent des solutions dans \Z^{2} ?

a. 51 x+39 y=0

b. 51 x+39 y=1

c. 51 x+39 y=3

d. 51 x+39 y=2 019

17

Soient a, x et n trois entiers. La congruence a x \equiv 1[n] signifie que :

a. il existe b \in \mathbb{Z} tel que a x-b n=1.

b. a x=n+1.

c. a et n sont premiers entre eux.

d. n divise ax - 1.

18

Le \text{PGCD} de 3n - 1 et 5n est égal à :

a. 1 pour tout n \in \mathbb{N}.

b. 5 si, et seulement si, 5 divise 3n - 1.

c. 5 pour tout n \in \mathbb{N}.

d. 5 si, et seulement si, 5 divise n - 2.

19

Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies pour tout n \in \mathbb{N} tel que 2, 6 et 15 divisent n ?

a. 10 divise n.

b. 12 divise n.

c. 30 divise n.

d. 60 divise n.

A

Quel est l'ensemble des entiers naturels n inférieurs à 200 tels que \text{PGCD} \left( 512\,; n \right)=16 ?

a. \left\{ 1\,; 3\,; 5\,; 7\,; 9\,; 11 \right\}

b. \left\{ 16\,; 48\,; 80\,; 112\,; 144\,; 176 \right\}

c. \left\{16\,; 48\,; 64\,; 80\,; 96\,; 112\,; 128\,; 144\,; 160\,; 176\,; 192 \right\}

d. \left\{ 32\,; 64\,; 96\,; 128\,; 160\,; 192 \right\}

B

Soit\left(u_n \right)_n la suite définie par u_0 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=4u_n+3. Que peut-on dire du \text{PGCD} de u_n et u_{n+1} ?

a. Il est égal à 1.

b. Rien, il dépend de n.

c. Il est égal à 3.

d. Il divise 3.

D

Soit n un entier tel que \begin{cases} n \equiv 0 \left[9 \right] \\ n \equiv 0 \left[12 \right] \end{cases}. Parmi les congruences suivantes, lesquelles sont vraies ?

a. n \equiv 0 \left[36 \right]

b. n \equiv 0 \left[108 \right]

c. n \equiv 0 \left[27 \right]

d. n \equiv 0 \left[4 \right]

E

Quelle est l'erreur dans cet énoncé du corollaire du théorème de Gauss : « Si b et c sont premiers entre eux et si b divise a alors bc divise a. » ?

a. b et c doivent être premiers avec a et non premiers entre eux.

b. Il faut aussi que c divise a.

c. La conclusion est que a divise bc.

d. Il n'est pas nécessaire que b et c soient premiers entre eux.

F

Quel est l'ensemble des solutions entières n du système \begin{cases} n \equiv 5 \left[18 \right] \\ n \equiv 8 \left[15 \right] \end{cases} ?

a. L'ensemble vide \varnothing.

b. \left\{ 30k-7\,; k \in \mathbb{Z} \right\}

c. \left\{ 90k+23\,; k \in \mathbb{Z} \right\}

d. \left\{ 90k+40\,; k \in \mathbb{Z} \right\}

G

En divisant 128 et 397 par un même entier naturel non nul, on obtient respectivement 2 et 1 comme restes. Quelles sont les valeurs possibles de cet entier ?

a. 2

b. 6

c. 18

d. 36

H

Quelles relations sont vraies pour tous les entiers a, b, c et d ?

a. \text{PGCD}(a\,; b) \leqslant \text{PGCD}(a^2\,; b)

b. \text{PGCD}(a\,; b) \leqslant \text{PGCD}(ad-bc\,; b)

c. \text{PGCD}(a\,; b) = \text{PGCD}(a^2\,; b)

d. \text{PGCD}(a\,; b) =\text{PGCD}(ad-bc\,; b)