Préparer la Première
Fonctions
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1
f est définie sur \mathbb { R } par f(x) = 3x^2 - 5x + 2 . 1. Déterminer une expression simplifiée en fonction de x de :
a. f(x - 1)
b. f(x + 1)
c. f(x + 2)
2. Étudier le signe de f(x + 1) - f(x) en fonction de x .
2. Étudier le signe de f(x + 1) - f(x) en fonction de x .
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2
f et g sont définies sur \mathbb { N } par f(n) = 2^n et g ( n ) = \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { n }.
Déterminer une expression simplifiée, en fonction de n , de f(n + 1) - f(n) puis de g(n + 1) - g(n) .
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3
Étudier la parité des fonctions définies sur \mathbb { R } par :
1. f ( x ) = - 5 x ^ { 2 } + 6
2. g ( x ) = 2 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 }
3. h ( x ) = \dfrac { - 4 x } { x ^ { 2 } + 1 }
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4
Montrer que, pour tout réel x appartenant à \left[ \dfrac { 1 } { 2 }\: ; + \infty \right[, on a : x \geqslant \sqrt { 2 x - 1 } .
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5
On considère un réel x tel que - 3 \leqslant x \lt 4. Déterminer un encadrement de :
1. ( x + 3 ) ^ { 2 } + 2
2. 1 - 3 x ^ { 2 }
3. 7 x ^ { 3 } - 2
2. 1 - 3 x ^ { 2 }
3. 7 x ^ { 3 } - 2
4. \sqrt { x + 3 } - 2
5. 6 - 3 ( x - 1 ) ^ { 2 }
5. 6 - 3 ( x - 1 ) ^ { 2 }
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6
1.
a. Résoudre dans \mathbb { R } l'équation 2x^2 - 18 = 0 .
b. En déduire les solutions de l'équation 2x^4 - 18 = 0 .
2. a. Factoriser 2x^2 - 18 pour x \in \mathbb { R }.
b. En déduire les solutions de l'équation 2x^4 - 18 = 0 .
2. a. Factoriser 2x^2 - 18 pour x \in \mathbb { R }.
b. En déduire le tableau de signes de la fonction définie
sur \mathbb { R } par f(x)=2x^2 - 18.
c. Résoudre dans \mathbb { R } l'inéquation 2x^4 - 18 \geqslant 0 .
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c. Résoudre dans \mathbb { R } l'inéquation 2x^4 - 18 \geqslant 0 .
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7
f est définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 3 x + 4.
On note (\text{E}) l'équation f(x) = 0 . D'après ce graphique, on observe que l'équation (\text{E}) admet trois solutions : une solution entière et deux autres solutions notées \alpha et \beta.
1. Quelle est la solution entière de (\text{E}) ?
2. À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10^{-2} des solutions \alpha et \beta.
3. a. Démontrer que, pour tout réel x , f ( x ) = ( x - 1 ) \left( x ^ { 2 } - x - 4 \right).
b. Démontrer que, pour tout réel x ,
x ^ { 2 } - x - 4 = \left( x - \dfrac { 1 - \sqrt { 17 } } { 2 } \right) \left( x - \dfrac { 1 + \sqrt { 17 } } { 2 } \right).
c. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes des solutions de (\text{E}).
2. À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10^{-2} des solutions \alpha et \beta.
3. a. Démontrer que, pour tout réel x , f ( x ) = ( x - 1 ) \left( x ^ { 2 } - x - 4 \right).
b. Démontrer que, pour tout réel x ,
x ^ { 2 } - x - 4 = \left( x - \dfrac { 1 - \sqrt { 17 } } { 2 } \right) \left( x - \dfrac { 1 + \sqrt { 17 } } { 2 } \right).
c. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes des solutions de (\text{E}).
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8
Étudier le signe des fonctions définies sur \mathcal { D } par : 1. f ( x ) = 5 x ^ { 3 } avec \mathcal { D } = \mathbb { R }.
2. g ( x ) = - 5 ( x - 3 ) ( x + 2 ) avec \mathcal { D } = \mathbb { R }.
3. h ( x ) = \dfrac { 2 x - 3 } { 10 - 5 x } avec ] - \infty\:; 2 [ \cup ] 2\:; + \infty [.
4. \ell ( x ) = ( 5 - 2 x ) - ( 6 x + 2 ) avec \mathcal { D } = \mathbb { R }.
5. p ( x ) = - \sqrt { 2 x + 6 } avec \mathcal { D } = [ - 3\:; + \infty [.
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9
1. f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = x ^ { 2 } + 4 x - 5.
a. Démontrer que, pour tout x \in \mathbb { R }, f ( x ) = ( x + 2 ) ^ { 2 } - 9.
b. En déduire la forme factorisée de f .
2. g est la fonction définie sur \mathbb { R } par g(x) = 3(x - 1)^2 - 12 . Déterminer la forme développée puis la forme factorisée de g .
3. h est la fonction définie sur \mathbb { R } par h ( x ) = \dfrac { 1 } { 5 } ( x - 3 ) ^ { 2 } - 5. Déterminer la forme développée puis la forme factorisée de h .
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10
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par : f ( x ) = x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } - 2. On note C_{f} sa représentation graphique dans un repère ( \mathrm { O } ; \mathrm { I } , \mathrm { J } ).
2. a. Conjecturer la position relative de C_{f} et d en fonction des valeurs de x .
b. Démontrer ces conjectures.
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11
On considère les fonctions f et g définies sur \mathbb { R } par : f ( x ) = x ^ { 3 } - 2 x + 1 et g ( x ) = 4 x ^ { 2 } - 2 x + 1. On note C_f et C_g les représentations graphiques des fonctions f et g dans un repère du plan.
1. À l'aide d'une calculatrice, on obtient l'affichage
suivant.
a. Conjecturer les coordonnées des points d'intersection
des courbes C_f et C_g.
b. Conjecturer la position relative des courbes C_f et C_g.
2. Démontrer les conjectures émises.
b. Conjecturer la position relative des courbes C_f et C_g.
2. Démontrer les conjectures émises.
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12
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par : f(x) = 2(x - 3)^2 - 18 . C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormé du plan.
1. Déterminer la forme développée puis factorisée de f .
2. Étudier la position relative de C_f par rapport à l'axe des abscisses.
3. a. Calculer f(0) .
2. Étudier la position relative de C_f par rapport à l'axe des abscisses.
3. a. Calculer f(0) .
b. d est la droite passant par l'origine du repère et
le point de coordonnées \mathrm { A } \left( \dfrac { 1 } { 2 } \:; - 6 \right). Déterminer son équation réduite.
c. Étudier la position relative de C_f et d .
c. Étudier la position relative de C_f et d .
Aide
Pour étudier la position relative de deux courbes, il faut déterminer une inéquation à résoudre.
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13
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par : f ( x ) = - 3 ( x - 1 ) ^ { 2 } + 27. C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormé du plan.
1. Déterminer la forme développée puis factorisée de f .
2. À l'aide d'une calculatrice :
a. Étudier les variations de f sur \mathbb { R } puis dresser son tableau de variations.
2. À l'aide d'une calculatrice :
a. Étudier les variations de f sur \mathbb { R } puis dresser son tableau de variations.
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b. Déterminer l'extremum de f sur \mathbb { R }.
3. Étudier le signe de f sur \mathbb { R }.
4. d est la droite d'équation y = 6x + 24 . Étudier la position relative de C_f et d .
3. Étudier le signe de f sur \mathbb { R }.
4. d est la droite d'équation y = 6x + 24 . Étudier la position relative de C_f et d .
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14
f est une fonction définie sur \mathbb { R } ne s'annulant jamais sur \mathbb { R } et vérifiant, pour tous réels x et y , f(x + y) = f(x) \times f(y).
1. En posant y = 0 , justifier que f(0) = 1 .
2. Démontrer que, pour tout réel x , f(2x) = [f(x)]^2 .
2. Démontrer que, pour tout réel x , f(2x) = [f(x)]^2 .
3. Démontrer que, pour tout réel x, on a f ( - x ) = \dfrac { 1 } { f ( x ) }.
4. Démontrer que, pour tout réel x et y , on a f ( x - y ) = \dfrac { f ( x ) } { f ( y ) }.
4. Démontrer que, pour tout réel x et y , on a f ( x - y ) = \dfrac { f ( x ) } { f ( y ) }.
En classe de première, on démontre qu'il existe une fonction vérifiant ces conditions : la fonction exponentielle.
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15
f est une fonction définie sur ] 0\: ; + \infty [ telle que pour tous réels x \gt 0 et y \gt 0, f(x \times y) = f(x) + f(y).
1. En posant y = 1 , justifier que f(1) = 0 .
2. Démontrer que, pour tout réel x , f(x^2) = 2[f(x)] .
3. Démontrer que, pour tout réel x , f \left( \dfrac { 1 } { x } \right) = - f ( x ).
4. Démontrer que, pour tout réel x \gt 0 et y \gt 0, on a f \left( \dfrac { x } { y } \right) = f ( x ) - f ( y ).
2. Démontrer que, pour tout réel x , f(x^2) = 2[f(x)] .
3. Démontrer que, pour tout réel x , f \left( \dfrac { 1 } { x } \right) = - f ( x ).
4. Démontrer que, pour tout réel x \gt 0 et y \gt 0, on a f \left( \dfrac { x } { y } \right) = f ( x ) - f ( y ).
La fonction logarithme népérien dont voici la représentation graphique vérifie cette relation.
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16
1. f est la fonction définie sur \mathbb { R } par : f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x - 2 .
a. Vérifier que f(1) = 0 . On dit que 1 est une racine évidente de f , c'est-à-dire une solution simple de l'équation f(x) = 0 .
b. On considère trois réels a , b et c.
Justifier que ( x - 1 ) \left( a x ^ { 2 } + b x + c \right) = a x ^ { 3 } + ( b - a ) x ^ { 2 } + ( c - b ) x - c.
a. Vérifier que f(1) = 0 . On dit que 1 est une racine évidente de f , c'est-à-dire une solution simple de l'équation f(x) = 0 .
b. On considère trois réels a , b et c.
Justifier que ( x - 1 ) \left( a x ^ { 2 } + b x + c \right) = a x ^ { 3 } + ( b - a ) x ^ { 2 } + ( c - b ) x - c.
c. Pour déterminer a , b et c tels que f(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c) , on procède à une identification des coefficients en écrivant le système suivant :
\left\{ \begin{array} { c } { a = 1 } \\ { b - a = 4 } \\ { c - b = - 3 } \\ { - c = - 2 } \end{array} \right.
Résoudre ce système puis en déduire une forme factorisée de f .
2. g est la fonction définie sur \mathbb { R } par : g ( x ) = - x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + x - 2. En utilisant la méthode précédente, déterminer les réels a, b, c et d tels que g ( x ) = ( x - d ) \left( a x ^ { 2 } + b x + c \right).
\left\{ \begin{array} { c } { a = 1 } \\ { b - a = 4 } \\ { c - b = - 3 } \\ { - c = - 2 } \end{array} \right.
Résoudre ce système puis en déduire une forme factorisée de f .
2. g est la fonction définie sur \mathbb { R } par : g ( x ) = - x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + x - 2. En utilisant la méthode précédente, déterminer les réels a, b, c et d tels que g ( x ) = ( x - d ) \left( a x ^ { 2 } + b x + c \right).
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