Fonction exponentielle

1

La fonction exponentielle, notée \exp , est l'unique fonction \boldsymbol{x} \mapsto \mathbf{e}^{x} définie et dérivable sur \mathbb{R} , égale à sa dérivée sur \mathbb{R} et vérifiant \mathbf{e}^{0}=\mathbf{1}. Pour tout nombre réel x , \mathbf{e}^{x}>0. Cela permet de :

✔ compléter la liste des fonctions de référence avec une nouvelle fonction importante dans plusieurs domaines des mathématiques (analyse, probabilité, algèbre, etc.) ;
✔ résoudre des problèmes liés à des croissances ou des décroissances à taux constants.

2

Pour tous nombres réels x et y et tout entier relatif n, \mathbf{e}^{x+y}=\mathbf{e}^{x} \,\mathbf{e}^{y} ; \mathbf{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathbf{e}^{x}} et \mathbf{e}^{n x}=\left(\mathbf{e}^{x}\right)^{n}. Cela permet de :

✔ transformer une expression contenant la fonction exponentielle pour obtenir une forme simplifiée ;
✔ résoudre des équations où apparaît la fonction exponentielle.

3

La fonction exponentielle est dérivable sur \mathbb{R} et est égale à sa dérivée. Cela permet de :

✔ connaître les variations de la fonction exponentielle : elle est strictement croissante sur \mathbb{R} ;
✔ résoudre des équations et des inéquations : \exp (a)=\exp (b) \Leftrightarrow a=b\, et \, \exp (a)>\exp (b) \Leftrightarrow a>b
✔ étudier des fonctions plus complexes où la fonction exponentielle intervient.