Chapitre 6
Travailler ensemble
Quand résoudre une équation devient compliqué
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune
d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves
mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
Des équations écrites seulement avec les fonctions
de référence sont parfois compliquées à résoudre. Il
est même parfois impossible de trouver les solutions
sous forme exacte. Pour tout nombre réel m fixé, on
cherche à résoudre l'équation \mathrm{e}^{2 x}-m x=0.
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Partie 1
On a représenté ci-dessous la courbe C_{f} représentant la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\mathrm{e}^{2 x}.
1. Conjecturer le nombre de solutions de
l'équation \mathrm{e}^{2 x}-x=0.
2. Conjecturer le nombre de solutions de l'équation \mathrm{e}^{2 x}+2 x=0.
2. Conjecturer le nombre de solutions de l'équation \mathrm{e}^{2 x}+2 x=0.
3. À l'aide de GeoGebra ou de la calculatrice, conjecturer, selon la valeur du réel m, l'existence de solutions à l'équation \mathrm{e}^{2 x}-m x=0.
GeoGebra
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Partie 2
1. Déterminer g'(x) pour tout nombre réel x .
2. a. Montrer que si m \lt 0 , alors g est strictement croissante sur \mathbb{R}.
b. On suppose que m = -3 . Démontrer que g(x) change de signe sur \mathbb{R} .
c. Conclure.
2. a. Montrer que si m \lt 0 , alors g est strictement croissante sur \mathbb{R}.
b. On suppose que m = -3 . Démontrer que g(x) change de signe sur \mathbb{R} .
c. Conclure.
On admet alors (le théorème utilisé sera étudié en
classe de terminale) que l'équation g(x) = 0 a une unique solution sur \mathbb{R} quand m = -3 .
3. Montrer que si m =1, alors g(x) \geqslant 1 pour tout x \geqslant 0 et g(x) > 0 pour tout réel x \lt 0.
Conclure.
3. Montrer que si m =1, alors g(x) \geqslant 1 pour tout x \geqslant 0 et g(x) > 0 pour tout réel x \lt 0.
Conclure.
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Partie 3
On cherche un encadrement de la solution de
l'équation \mathrm{e}^{2 x}+3 x=0 à l'aide d'un algorithme de
dichotomie sur l'intervalle [\mathrm{A}\, ;\mathrm{B}].
from math import* def Fonction(M): return(...) def Encadrement(A, B, n): if Fonction(A)*Fonction(B) > 0: return(False) else: while (B - A) > 10**(-n): M = ... if Fonction(M)*Fonction(B)...: B = M else: A = M return(A, B)
Cliquez pour accéder à la correction
1. À quoi servent les lignes 10 et 11 de cet
algorithme ?
2. Compléter l'algorithme pour qu'il donne un encadrement de la solution à 10^{-n} près où n est un entier naturel.
2. Compléter l'algorithme pour qu'il donne un encadrement de la solution à 10^{-n} près où n est un entier naturel.
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Mise en commun
1. Comment résoudre l'équation \mathrm{e}^{2x} -m\,x = 0 de paramètre m ?
2. Quelles autres solutions à l'aide de logiciels peuvent être envisagées ?
2. Quelles autres solutions à l'aide de logiciels peuvent être envisagées ?
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À l'Organisation européenne
pour la recherche nucléaire
(CERN), les scientifiques
reconstituent les trajectoires des
particules lors de collisions grâce
à des calculs numériques.
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