127
[Modéliser.] La somme des carrés de trois nombres entiers consécutifs est 1\,085. Quels sont ces trois nombres ?
On choisira astucieusement une seule inconnue, et on établira une équation que l'on résoudra.

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128
Démo
[Raisonner.]
On cherche à démontrer que \sqrt{2} n'est pas un nombre rationnel. On raisonne par l'absurde et on suppose que \sqrt{2} peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible \dfrac{a}{b} où a et b sont des entiers naturels non nuls.

1. Montrer que 2b^2 = a^2 .

2. En déduire que a^2 est un nombre pair puis que a est pair.

3. Démontrer alors que b est pair.

4. Relever une contradiction et conclure.

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Démonstration au programme

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EXCLU. PREMIUM 2023

Le nombre racine de 2 est irrationnel

Genially

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129
[Calculer.]
On considère les deux programmes de calcul suivants.

Programme A	Programme B
Choisir un nombre ; soustraire 5 ; multiplier ce résultat par le triple du nombre de départ ; ajouter 3 au résultat.	Choisir un nombre ; multiplier ce nombre par 3 ; ajouter 9 ; prendre l'opposé du résultat.

On note \mathrm{A}(x) et \mathrm{B}(x) les résultats des programmes \mathrm{A} et \mathrm{B} quand on choisit le nombre réel x .

1. Quel résultat obtient-on avec chaque programme lorsque l'on choisit le nombre 3 ? Et le nombre \dfrac{1}{2} ?

2. Exprimer \mathrm{A}(x) et \mathrm{B}(x) en fonction de x .

3. À quel plus petit ensemble de nombres appartient chacun des nombres \mathrm{A}(0), \mathrm{B}(0), \mathrm{A}(1), \mathrm{B}(-5)?

4. Résoudre \mathrm{B}(x)=0.

5. À l'aide d'un tableur ou de la calculatrice, résoudre, à 0{,}01 près, \mathrm{A}(x)=0.

6. Montrer que \mathrm{A}(x) = \mathrm{B}(x) est équivalent à 3x^2 - 12x + 12 = 0 .

7. À l'aide d'une identité remarquable, résoudre \mathrm{A}(x) = \mathrm{B}(x). Que peut-on en déduire sur les deux programmes de calculs ?

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130
[Calculer.] On considère l'équation x^{3}-x=0.

1. Montrer que, pour tout x \in \R , x^{3}-x=x\left(x^{2}-1\right).

2. En déduire toutes les solutions de l'équation x^{3}-x=0.

3. Quel est le plus petit ensemble de nombres qui les contient toutes ?

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131
[Calculer.] Soit n un nombre entier naturel non nul.

1. À l'aide d'un tableur, vérifier que, pour toutes les valeurs de n entières comprises entre 1 et 15, la somme des n premiers nombres pairs est égale à n(n + 1) . Dans la suite de l'exercice, on admettra que pour tout n \in \N^* , la somme des n premiers nombres pairs est n(n + 1).

2. Démontrer que, pour tout entier naturel n \ne 0, n^{2}+15 n-814=(n-22)(n+37).

3. Trouver la valeur de n \in \N^* pour laquelle la somme des n nombres pairs supérieurs ou égaux à 16 est égale à 814.

4. Écrire un programme Python qui donne la solution sans résoudre l'équation.

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132
[Représenter.] On considère l'intervalle [0\, ; 1] . On lui applique l'algorithme suivant :

Couper l'intervalle en 3 parties égales.
Retirer la partie du milieu.
Recommencer les étapes 1 et 2 avec les deux segments restants.
Recommencer les étapes 1 et 2 avec les quatre segments restants.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Quelle est la longueur totale des 8 segments restants ?

2. \dfrac{1}{18} appartient-il à l'un des 8 segments restants ?

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133
[Chercher.] On considère l'inéquation \dfrac{n+1}{n+4} \leqslant \dfrac{n+3}{n+7} , dans laquelle n est un nombre réel.

1. Déterminer l'ensemble de définition de cette inéquation.

2. Résoudre cette inéquation dans \N .

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134
[Chercher.] Pour tous nombres réels strictement positifs a et b , on note : \mathrm{A}(a\:; b)=\dfrac{a+b}{2} et \mathrm{G}(a\:; b)=\sqrt{a b}.
\mathrm{A}(a\:; b) est appelée moyenne arithmétique de a et b .
\mathrm{G}(a\:; b) est appelée moyenne géométrique de a et b .

1. Calculer et comparer \mathrm{A}(9 \:; 4) et \mathrm{G}(9\:; 4).

2. Calculer et comparer \mathrm{A}(2\:; 32) et \mathrm{G}(2\:; 32).

3. Conjecturer une inégalité entre \mathrm{A}(a\:; b) et \mathrm{G}(a\:; b).

4. Pour tous réels a et b strictement positifs, développer (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}.

5. En déduire que, pour tous réels a et b strictement positifs, \mathrm{A}(a\:; b) \geqslant \mathrm{G}(a\:; b).

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135
[Raisonner.] Pour tous nombres réels a , b et c , on considère l'expression \mathrm{K}=(a+b+c)^{2} et on pose a + b = h .

1. Montrer que \mathrm{K}=h^{2}+2 h c+c^{2}.

2. En conclure que \mathrm{K}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c

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136
[Calculer.] Soient a et b deux nombres réels qui ne sont ni égaux, ni opposés. On considère l'expression \mathrm{C}=\dfrac{3}{a-b}.
1. Montrer que \text{C}=\dfrac{3(a+b)}{a^{2}-b^{2}}.

2. En déduire que\dfrac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}=\sqrt{8}+\sqrt{5}.

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Club de Maths

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137
Défi
On considère la figure obtenue à l'aide de l'algorithme de l'exercice

132

(voir ci-dessous)

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Écrire un programme avec Python permettant de reproduire cette figure.

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138
Énigme

1. Quel est le plus grand nombre premier inférieur à 10\, 000 ?

2. Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs à 1\,000 ? à 10\,000 ? à 100\,000 ?

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139
Approfondissement
On appelle développement décimal d'un nombre réel une façon de l'écrire à l'aide de puissances de 10. Par exemple, le développement décimal du nombre 13{,}675 est : 13,675=1 \times 10^{1}+3 \times 10^{0}+6 \times 10^{-1}+7 \times 10^{-2}+5 \times 10^{-3}.

1. Donner le développement décimal de chacun des nombres suivants : 18{,}3 ; -105{,}42 ; 0{,}003 ; \dfrac{1}{4} et \dfrac{112}{25}.

2. Pourquoi dit-on que les nombres \pi ; \sqrt{2} et \dfrac{10}{7} ont un développement décimal illimité ?

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140
Approfondissement
Un nombre possède un développement décimal illimité périodique lorsque son développement décimal est illimité et qu'une séquence de nombres se répète.
Par exemple, \dfrac{10}{7}=1{,}428571428571 \ldots La période est 428\,571 et on note alors : \dfrac{10}{7}=1{,} \overline{428571}.

1. Quelle est la période des nombres \dfrac{1}{3} et \dfrac{45}{11} ?

2. On cherche le nombre rationnel x tel que x = 39{,}\overline{27}.
a. Comment écrire 100x ?

b. Calculer alors 100x - x et en déduire une écriture fractionnaire de x .

c. Simplifier au maximum cette écriture fractionnaire et vérifier à la calculatrice.

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141
Casse-tête
Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5. Montrer que p^2 - 1 est un multiple de 24.

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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre :

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