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Synthèse





127
[Modéliser.]
La somme des carrés de trois nombres entiers consécutifs est Quels sont ces trois nombres ?
On choisira astucieusement une seule inconnue, et on établira une équation que l’on résoudra.
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128
DÉMO
[Raisonner.]
On cherche à démontrer que n’est pas un nombre rationnel. On raisonne par l’absurde et on suppose que peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible et sont des entiers naturels non nuls.
1. Montrer que


2. En déduire que est un nombre pair puis que est pair.


3. Démontrer alors que est pair.


4. Relever une contradiction et conclure.
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Démonstration au programme



129
[Calculer.]
On considère les deux programmes de calcul suivants.
Programme A Programme B
  • Choisir un nombre ;
  • soustraire ;
  • multiplier ce résultat par le triple du nombre de départ ;
  • ajouter au résultat.
  • Choisir un nombre ;
  • multiplier ce nombre par ;
  • ajouter ;
  • prendre l’opposé du résultat.

On note et les résultats des programmes et quand on choisit le nombre réel

1. Quel résultat obtient-on avec chaque programme lorsque l’on choisit le nombre ? Et le nombre ?


2. Exprimer et en fonction de


3. À quel plus petit ensemble de nombres appartient chacun des nombres , , , ?


4. Résoudre


5. À l’aide d’un tableur ou de la calculatrice, résoudre, à près,

6. Montrer que est équivalent à


7. À l’aide d’une identité remarquable, résoudre Que peut-on en déduire sur les deux programmes de calculs ?
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130
[Calculer.]
On considère l’équation
1. Montrer que, pour tout ,


2. En déduire toutes les solutions de l’équation


3. Quel est le plus petit ensemble de nombres qui les contient toutes ?
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131
[Calculer.]
Soit un nombre entier naturel non nul.
1. À l’aide d’un tableur, vérifier que, pour toutes les valeurs de entières comprises entre et , la somme des premiers nombres pairs est égale à Dans la suite de l’exercice, on admettra que pour tout , la somme des premiers nombres pairs est


2. Démontrer que, pour tout entier naturel ,


3. Trouver la valeur de pour laquelle la somme des nombres pairs supérieurs ou égaux à est égale à


4. Écrire un programme Python qui donne la solution sans résoudre l’équation.
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132
[Représenter.]
On considère l’intervalle On lui applique l’algorithme suivant :
  • Couper l’intervalle en 3 parties égales.
  • Retirer la partie du milieu.
  • Recommencer les étapes 1 et 2 avec les deux segments restants.
  • Recommencer les étapes 1 et 2 avec les quatre segments restants.

Nombres et calculs

1. Quelle est la longueur totale des 8 segments restants ?


2. appartient-il à l’un des 8 segments restants ?
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Histoire des maths


Georg Cantor (1845-1918)

Georg Cantor (1845-1918) était un mathématicien allemand. Il est le fondateur de la théorie des ensembles. Il a démontré en particulier que l’intervalle contient plus de nombres que l’ensemble des nombres entiers naturels, alors que l’ensemble des nombres entiers relatifs contient autant de nombres que l’ensemble des nombres entiers naturels.

133
[Chercher.]
On considère l’inéquation , dans laquelle est un nombre réel.
1. Déterminer l’ensemble de définition de cette inéquation.


2. Résoudre cette inéquation dans
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134
[Chercher.]
Pour tous nombres réels strictement positifs et , on note : et
est appelée moyenne arithmétique de et
est appelée moyenne géométrique de et

1. Calculer et comparer et


2. Calculer et comparer et


3. Conjecturer une inégalité entre et


4. Pour tous réels et strictement positifs, développer


5. En déduire que, pour tous réels et strictement positifs,
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135
[Raisonner.]
Pour tous nombres réels , et , on considère l’expression et on pose
1. Montrer que


2. En conclure que
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136
[Calculer.]
Soient et deux nombres réels qui ne sont ni égaux, ni opposés. On considère l’expression
1. Montrer que


2. En déduire que
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Club de Maths


137
DÉFI

On considère la figure obtenue à l’aide de l’algorithme de l’exercice
132
(voir ci-dessous)
Nombres et calculs

Écrire un programme avec Python permettant de reproduire cette figure.





138
ÉNIGME


1. Quel est le plus grand nombre premier inférieur à ?


2. Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs à ? à ? à ?
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139
APPROFONDISSEMENT

On appelle développement décimal d’un nombre réel une façon de l’écrire à l’aide de puissances de Par exemple, le développement décimal du nombre est :
1. Donner le développement décimal de chacun des nombres suivants : ; ; ; et


2. Pourquoi dit-on que les nombres ; et ont un développement décimal illimité ?
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140
APPROFONDISSEMENT

Un nombre possède un développement décimal illimité périodique lorsque son développement décimal est illimité et qu’une séquence de nombres se répète.
Par exemple, La période est et on note alors :
1. Quelle est la période des nombres et ?


2. On cherche le nombre rationnel tel que
a. Comment écrire ?

b. Calculer alors et en déduire une écriture fractionnaire de

c. Simplifier au maximum cette écriture fractionnaire et vérifier à la calculatrice.


Remarque : Un nombre réel admet un développement décimal illimité périodique si, et seulement si, ce nombre est rationnel.
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141
CASSE-TÊTE

Soit un nombre premier supérieur ou égal à Montrer que est un multiple de


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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

exercices_transversaux_2nd
; et
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