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Chapitre 0
Synthèse

Exercices de Synthèse

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EXCLU. PREMIUM 2023

Exercice type enrichis

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127
 [Modéliser.] La somme des carrés de trois nombres entiers consécutifs est Quels sont ces trois nombres ?
On choisira astucieusement une seule inconnue, et on établira une équation que l'on résoudra.
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128
Démo
[Raisonner.]
On cherche à démontrer que n'est pas un nombre rationnel. On raisonne par l'absurde et on suppose que peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible où et sont des entiers naturels non nuls.
1. Montrer que


2. En déduire que est un nombre pair puis que est pair.


3. Démontrer alors que est pair.


4. Relever une contradiction et conclure.
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Démonstration au programme

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EXCLU. PREMIUM 2023

Le nombre racine de 2 est irrationnel

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129
 [Calculer.]
On considère les deux programmes de calcul suivants.

Programme AProgramme B
  • Choisir un nombre ;
  • soustraire ;
  • multiplier ce résultat par le triple du nombre de départ ;
  • ajouter au résultat.
  • Choisir un nombre ;
  • multiplier ce nombre par ;
  • ajouter ;
  • prendre l'opposé du résultat.

On note et les résultats des programmes et quand on choisit le nombre réel
1. Quel résultat obtient-on avec chaque programme lorsque l'on choisit le nombre  ? Et le nombre  ?


2. Exprimer et en fonction de


3. À quel plus petit ensemble de nombres appartient chacun des nombres , , , ?


4. Résoudre


5. À l'aide d'un tableur ou de la calculatrice, résoudre, à près,


6. Montrer que est équivalent à


7. À l'aide d'une identité remarquable, résoudre Que peut-on en déduire sur les deux programmes de calculs ?
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130
 [Calculer.] On considère l'équation

1. Montrer que, pour tout ,


2. En déduire toutes les solutions de l'équation


3. Quel est le plus petit ensemble de nombres qui les contient toutes ?
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131
 [Calculer.] Soit un nombre entier naturel non nul.

1. À l'aide d'un tableur, vérifier que, pour toutes les valeurs de entières comprises entre et , la somme des premiers nombres pairs est égale à Dans la suite de l'exercice, on admettra que pour tout , la somme des premiers nombres pairs est


2. Démontrer que, pour tout entier naturel ,


3. Trouver la valeur de pour laquelle la somme des nombres pairs supérieurs ou égaux à est égale à


4. Écrire un programme Python qui donne la solution sans résoudre l'équation.
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133
 [Chercher.] On considère l'inéquation , dans laquelle est un nombre réel.

1. Déterminer l'ensemble de définition de cette inéquation.


2. Résoudre cette inéquation dans
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132
 [Représenter.] On considère l'intervalle On lui applique l'algorithme suivant :
  • Couper l'intervalle en 3 parties égales.
  • Retirer la partie du milieu.
  • Recommencer les étapes 1 et 2 avec les deux segments restants.
  • Recommencer les étapes 1 et 2 avec les quatre segments restants.

Nombres et calculs

1. Quelle est la longueur totale des 8 segments restants ?


2. appartient-il à l'un des 8 segments restants ?

Histoire des maths

Placeholder pour Photographie monochrome de Georg Cantor, mathématicien allemand (1845-1918), pionnier de la théorie des ensembles.Photographie monochrome de Georg Cantor, mathématicien allemand (1845-1918), pionnier de la théorie des ensembles.

Georg Cantor (1845-1918) était un mathématicien allemand. Il est le fondateur de la théorie des ensembles. Il a démontré en particulier que l'intervalle contient plus de nombres que l'ensemble des nombres entiers naturels, alors que l'ensemble des nombres entiers relatifs contient autant de nombres que l'ensemble des nombres entiers naturels.
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134
 [Chercher.] Pour tous nombres réels strictement positifs et , on note : et
est appelée moyenne arithmétique de et
est appelée moyenne géométrique de et

1. Calculer et comparer et


2. Calculer et comparer et


3. Conjecturer une inégalité entre et


4. Pour tous réels et strictement positifs, développer


5. En déduire que, pour tous réels et strictement positifs,
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135
 [Raisonner.] Pour tous nombres réels , et , on considère l'expression et on pose

1. Montrer que


2. En conclure que
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136
 [Calculer.] Soient et deux nombres réels qui ne sont ni égaux, ni opposés. On considère l'expression
1. Montrer que


2. En déduire que
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Club de Maths
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137
Défi
 On considère la figure obtenue à l'aide de l'algorithme de l'exercice
132
(voir ci-dessous)
Nombres et calculs

Écrire un programme avec Python permettant de reproduire cette figure.





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138
Énigme
 



 1. Quel est le plus grand nombre premier inférieur à  ?



 2. Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs à  ? à  ? à  ?




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139
Approfondissement
 



On appelle développement décimal d'un nombre réel une façon de l'écrire à l'aide de puissances de  Par exemple, le développement décimal du nombre  est : 

1. Donner le développement décimal de chacun des nombres suivants :  ;  ;  ;  et 





2. Pourquoi dit-on que les nombres ;  et  ont un développement décimal illimité ?







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141
Casse-tête
 



Soit  un nombre premier supérieur ou égal à  Montrer que  est un multiple de 









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140
Approfondissement
 



Un nombre possède un développement décimal illimité périodique lorsque son développement décimal est illimité et qu'une séquence de nombres se répète.

Par exemple,  La période est  et on note alors : 


1. Quelle est la période des nombres  et  ?





2. On cherche le nombre rationnel  tel que 

a. Comment écrire  ?




b. Calculer alors  et en déduire une écriture fractionnaire de 




c. Simplifier au maximum cette écriture fractionnaire et vérifier à la calculatrice.










Remarque

Un nombre réel admet un développement décimal illimité périodique si, et seulement si, ce nombre est rationnel.

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Exercices transversaux  en lien avec ce chapitre :

1
  

2


17


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