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Nombres et calculs

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1
 Soient x et y deux réels tels que x=\dfrac{y-3}{8-2 y}. 1. Pour quelles valeurs de y cette égalité est-elle définie ?


2. Exprimer y en fonction de x . Préciser pour quelles valeurs de x cette autre égalité est définie.
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2
Résoudre les systèmes suivants. 1. \left(\mathrm{S}_{1}\right)\left\{\begin{array}{l}{3 x-2 y=2} \\ {5 x-4 y=0}\end{array}\right.


2. \left(\mathrm{S}_{2}\right)\left\{\begin{array}{l}{x+2 y=-1} \\ {3 x+3 y=2}\end{array}\right.
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3
 Dans un repère du plan, d et d' sont deux droites d'équations respectives 2x - 3y + 5 = 0 et 5y + 4x - 1 = 0 .

Déterminer les coordonnées du point d'intersection de d et d'.
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4
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions dont voici une expression. 1. f(x)=\dfrac{3 x}{1-\sqrt{x}}


2. g(x)=\sqrt{9 x^{2}-4}


3. h(x)=\dfrac{4 x+8}{5-2 x}


4. i(x)=\dfrac{4 x+8}{\sqrt{5-2 x}}


Placeholder pour Illustration : sphère recouverte de formules mathématiques sur papier quadrillé. Concept : mathématiques, calcul, algèbre.Illustration : sphère recouverte de formules mathématiques sur papier quadrillé. Concept : mathématiques, calcul, algèbre.
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5
Démontrer les égalités suivantes. 1. \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}


2. \dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}


3. \dfrac{1}{\sqrt{7}+1}=\dfrac{\sqrt{7}-1}{6}


4. \dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{x} avec x>0


5. \dfrac{1}{\sqrt{x}+5}=\dfrac{\sqrt{x}-5}{x-25} avec x\geqslant 0 et x\ne 25


6. \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} avec n\in \N


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6
 1. Calculer (1+\sqrt{6})^{2}.


2. Calculer (1+\sqrt{6})^{4}.


3. Calculer (1+\sqrt{6})^{6}.
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7
 1. a. Développer et réduire l'expression suivante : (3-5 \sqrt{7})^{2}.

b. Résoudre dans \R l'équation : x^{2}=184-30 \sqrt{7}.


2. Résoudre dans \R l'équation : x^{2}=37-20 \sqrt{3}.
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8
 Soit n \in \N . Simplifier le plus possible les nombres suivants.1. 3 \times 2^{n}-6 \times 2^{n}


2. 5 \times 5^{n}-5^{n}


3. 2 \times(-1)^{n}-3 \times(-1)^{n}


4. \dfrac{1-3^{n}}{1-3}


5. 5 \times \dfrac{1-0{,}5^{n}}{1-0{,}5}


6. \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}}{1-\dfrac{1}{5}}
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9
 On considère un réel x tel que -3 \lt x \leqslant 5 .
Déterminer un encadrement de 5 - 2x .
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10
 Résoudre les équations suivantes dans \R .1. (3 x-2)(2-5 x)=0


2. (2 x+6)(x+3)=2


3. (7 x-1)+(3 x-1)=0
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11
 x et y sont deux réels non nuls distincts.
Comparer les nombres \mathrm{A}=\dfrac{-2 x y}{x-y} et \mathrm{B}=\dfrac{x-y}{2}.
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12
 Déterminer le signe de \dfrac{-5}{(x-2)^{2}} en fonction des valeurs du réel x .
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13
 On considère l'équation (\mathrm{E}) : 3 \sqrt{\left|1-x^{2}\right|}-1=0.
À l'aide de tableaux de valeurs obtenus avec une calculatrice, donner : 1. un encadrement des solutions de l'équation (\mathrm{E}) d'amplitude :
a. 1

b. 10^{-2}


2. une valeur approchée à 10^{-3} près de chacune des solutions.
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14
 L'objectif de cet exercice est de déterminer l'ensemble des entiers naturels x vérifiant l'équation
(\mathrm{E}) : x(x+5)=36. 1. Donner l'ensemble des diviseurs positifs de 36.


2. En déduire les solutions de (\mathrm{E})
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15
 En utilisant la même méthode que dans l'exercice précédent, résoudre dans \N\,: 1. x(x+5)=24


2. x(x+1)=42
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16
 On considère un entier naturel n . 1. Démontrer que si n est pair, alors n(n + 1) est pair.


2. Démontrer que si n est impair, alors n(n + 1) est pair.


3. Que peut-on conclure sur n(n + 1) ?
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17
 Démontrer les propositions suivantes. 1. Le carré d'un nombre pair est divisible par 4.


2. Le carré d'un nombre impair est impair.
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18
 Soit n \in \N . Démontrer que 3n - 1 divise 6n^2 - 2n .


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19
 Soit \N un entier naturel, impair non premier. On suppose que N = a^2 - b^2 où a et b sont deux entiers naturels. 1. Montrer que a et b n'ont pas la même parité.


2. Montrer que N peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels p et q .


3. Quelle est la parité de p et de q ?
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20
 On considère un entier naturel n non nul. 1. On pose \mathrm{S}_{n}=1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)+n.
a. En remarquant que \mathrm{S}_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\ldots+3+2+1 déterminer une expression de 2\mathrm{S}_n en fonction de n .

b. En déduire une expression de \mathrm{S}_n en fonction de n .

c. Calculer 1+2+3+\dots+1\,031.


2. Déduire des questions précédentes que n(n + 1) est un nombre pair pour tout entier naturel n non nul.
Histoire des maths

Placeholder pour Portrait peint de Carl Friedrich Gauss, mathématicien allemand, au regard sérieux.Portrait peint de Carl Friedrich Gauss, mathématicien allemand, au regard sérieux.

Selon une légende, pendant un cours, l'instituteur de Carl Friedrich Gauss (célèbre mathématicien, 1777-1855) voulant obtenir le calme dans sa classe, demanda à ses élèves de calculer la somme 1+2+\dots+100. C'est en utilisant la technique précédente que Carl Friedrich trouva rapidement la réponse.
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21
 Soient q un réel différent de 1 et n \in \N^* . 1. On pose \mathrm{G}_{n}=1+q+q^{2}+\ldots+q^{n}
a. Déterminer une expression simple de (1 -q) \text{G}_n en fonction de q et n .

b. En déduire une expression de \text{G}_n en fonction de q et n .


2. Melvin décide d'acheter une nouvelle console de jeux. Pour cela, il a besoin de 299 €. Ses parents lui donne 5 euros le premier mois et augmentent ensuite son argent de poche de 10 % tous les mois. Cela signifie que, tous les mois, le montant est multiplié par 1{,}1.
En utilisant la question précédente et une calculatrice, déterminer le nombre de mois nécessaires pour que Melvin puisse acheter la console.

Placeholder pour Photo : trois piles de pièces croissantes devant une tirelire rose floue. Épargne et croissance financière.Photo : trois piles de pièces croissantes devant une tirelire rose floue. Épargne et croissance financière.
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22
 1. Justifier que pour tous réels a et b, on a :

a. a^{2}+2 a b=(a+b)^{2}-b^{2}


b. a^{2}-2 a b=(a-b)^{2}-b^{2}


2. Pour tout réel x , écrire les expressions suivantes sous la forme a(x-\alpha)^{2}+\beta, où a , \alpha et \beta sont des réels tels que a \ne 0 .

a. x^{2}+2 x-5


b. x^{2}-3 x+2


c. x^{2}+7 x

d. 5 x^{2}-15 x+10

e. 2 x^{2}+6 x+8
Remarque

La forme a(x-\alpha)^{2}+\beta est appelée forme canonique d'une fonction polynôme du second degré.
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23
 Résoudre les équations suivantes dans \R . On pourra, si besoin, utiliser la technique de l'exercice précédent.1. x^{2}+2 x+1=0


2. x^{2}+2 x-5=0


3. x^{2}+7 x+3=3


4. 3 x^{2}+18 x-6=0


5. -2 x^{2}-8 x=10

Histoire des maths

Placeholder pour Timbre représentant Al-Khawarizmi, mathématicien perse, père de l'algèbre.Timbre représentant Al-Khawarizmi, mathématicien perse, père de l'algèbre.

Muhammad Al-Khwârizmî est un célèbre mathématicien du VIIIe siècle. Il est l'un des fondateurs de l'algèbre, la branche des mathématiques qui traite entre autres de la résolution d'équations. Il a été un des premiers à mettre en forme et à résoudre des équations du second degré.
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