Rechercher une situation d'orthogonalité

1. À l'aide de l'outil Polygone régulier, tracer le carré \text{ABCD} de façon à ce que les points \text{A} et \text{B} aient pour coordonnées respectives (0\, ; 0) et (14\, ; 0).
Tracer de la même manière le carré \text{BEFG} de façon à ce que \text{E} ait pour coordonnées (16\, ; 0).

2. Avec l'outil Droite, tracer la droite (\text{CE}) et ajouter un point mobile \text{M} sur cette droite.

3. Tracer la droite (\text{AM}).

4. Dans la barre de saisie, afficher la valeur du produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ME}} avec la commande :

5. Trouver l'emplacement du point \text{M} tel que \overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ME}}=0. Il est possible de zoomer sur la figure pour effectuer des déplacements plus précis.

6. Conjecturer l'emplacement du point \text{G} par rapport à la droite (\text{AM}) .

7. Changer les dimensions des carrés \text{ABCD} et \text{BEFG} et reprendre les questions 5. et 6..

On se place dans le repère orthonormé (\mathrm{A}\, ; \vec{i}, \vec{j}) tel que \vec{i} est colinéaire à \overrightarrow{\text{AB}} et \vec{j} est colinéaire à \overrightarrow{\text{AD.}} On se place dans le cas où b > e .

1. Exprimer les coordonnées des points \text{A}, \text{C} et \text{E} en fonction de b et e .

2. On pose \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}+\overrightarrow{k \mathrm{EC}} avec k \in[0\, ; 1] Que peut-on dire du point \text{M} par rapport à la droite (\text{CE}) ?
Exprimer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}} en fonction de b , e et k .

3. On considère le cas où b = 14 et e = 2 . Dans une feuille de calcul, lister dans la première colonne les valeurs de k avec un pas de 0{,}01 et dans la deuxième colonne les valeurs de \overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}} correspondantes. Quelle est la valeur de k pour laquelle \overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}=0 ?

4. Que peut-on dire des droites (\text{AM}) et (\text{CE}) pour cette valeur de k ?

5. Exprimer à l'aide de la question 2. les coordonnées du point \text{M} ainsi que les distances \text{AG}, \text{AM} et \text{GM} en fonction de b , e et k . Calculer ces valeurs pour la valeur de k trouvée à la question 3. .

6. Que vaut la valeur \text{AG} + \text{GM}- \text{AM} ? Que peut-on en déduire pour les points \text{A}, \text{G} et \text{M} ?