Chapitre 7
Colinéarité de vecteurs
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EXCLU. PREMIUM 2023
Retrouvez des exercices sur les notions de collège indispensables à ce chapitre :
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EXCLU. PREMIUM 2023
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Capacités attendues
1. Déterminer les coordonnées d'un point défini vectoriellement.
2. Démontrer que deux vecteurs sont colinéaires.
3. Utiliser la colinéarité de vecteurs pour démontrer un alignement de points ou le parallélisme de droites.
2. Démontrer que deux vecteurs sont colinéaires.
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Lors du décollage d'une fusée, des forces considérables entrent en jeu. De plus, les trajectoires de divers objets stellaires doivent également être prises en compte. Les vecteurs nous permettent, non seulement de représenter ces forces, mais aussi de nous aider dans la modélisation de trajectoires.
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Avant de commencer
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Prérequis
1. Caractériser un vecteur et l'égalité de deux vecteurs.
2. Construire la somme de deux vecteurs.
3. Placer un vecteur et lire ses coordonnées.
4. Calculer les coordonnées d'un vecteur somme.
2. Construire la somme de deux vecteurs.
3. Placer un vecteur et lire ses coordonnées.
4. Calculer les coordonnées d'un vecteur somme.
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Le déterminant de Vandermonde n'apparaît nulle part dans l'œuvre de Vandermonde. Selon Lebesgue (1937), « Le nom de Vandermonde serait ignoré de l'immense majorité des mathématiciens si on ne lui avait attribué ce déterminant que vous connaissez bien, et qui n'est pas de lui ! »
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1
Utiliser une translation
2. Déterminer des vecteurs égaux au vecteur \overrightarrow{\mathrm{FG}}.
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2
Utiliser les propriétés du parallélogramme
\text{ABCD} est un parallélogramme.
1. Citer deux vecteurs égaux puis deux autres.
2. Écrire le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AC}} comme somme de deux vecteurs. Trouver une autre somme de deux vecteurs qui convient également.
3. Donner un vecteur opposé au vecteur \overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}.
4. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}.
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3
Construire une somme de vecteurs
1. Placer 3 points \text{A,} \text{B} et \text{C} non alignés.
2. Construire les points \text{E,} \text{F,} \text{G} et \text{H} tels que :
- \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}
- \overrightarrow{\mathrm{BF}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}
- \overrightarrow{\mathrm{CG}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}
- \overrightarrow{\mathrm{HA}}=\overrightarrow{\mathrm{FG}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}
GeoGebra
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4
Lire des coordonnées de vecteurs
Lire les coordonnées des vecteurs \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{i}, \vec{j}, \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} dans ce repère (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
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5
Tracer un vecteur
Soient \text{A}(3\: ; - 1), \text{B}(-2\: ; 3) et \text{C}(4 \:; 2) trois points dans un repère.
1. Tracer un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}) et placer les points \text{A}, \text{B} et \text{C}.
2. Tracer les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AD}} de coordonnées (-3\:; 2), \overrightarrow{\mathrm{BE}} de coordonnées (4 \:;-2) et \overrightarrow{\mathrm{CF}} de coordonnées (-5 \:;-3).
GeoGebra
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6
Calculer des coordonnées de vecteurs
On considère quatre points \mathrm{F}(4 \:;-2), \mathrm{G}(-2\: ; 5), \mathrm{H}(3\: ;-4) et \mathrm{K}(7\: ;-5) dans un repère (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
1. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{FG}} \overrightarrow{\mathrm{GH}}, \overrightarrow{\mathrm{HK}} et \overrightarrow{\mathrm{KF}}.
2. Déterminer de deux façons différentes les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{FG}}+\overrightarrow{\mathrm{GH}}.
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7
Problème
Soient \mathrm{A}(-3 \:;-1), \mathrm{B}(2\: ;-2) et \mathrm{C}(6\: ; 1) trois points dans un repère (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
1. Calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.
2. Déterminer les coordonnées de \text{D} telles que \overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.
3. Calculer les coordonnées de \text{E} telles que \overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}.
4. Quelle est la nature du quadrilatère \text{AEDC} ? Justifier.
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