Nos classiques
Sommaire
Mes pages
N° Page
Algèbre
Analyse
Géométrie
Probabilités et statistiques
Annexes
/ 353
Chapitre 11
Cours 1

Probabilités conditionnelles

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Sauf indication contraire, \text{A} et \text{B} sont deux événements d'un univers \Omega tels que \text{P(A)} \neq 0 .
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Probabilité de l'événement \text{B} sachant que \text{A} est réalisé

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
La probabilité conditionnelle que l'événement \text{B} se réalise sachant que l'événement \text{A} est réalisé se note \mathrm{P_{A}(B)} et est définie par :
\mathrm{P_{A}(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
La probabilité \mathrm{P_{A}(B)} vérifie bien 0 \leqslant \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) \leqslant 1 et \mathrm{P_{A}(B)+P_{A}(\overline{B})=1.}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

\mathrm{P_{A}(B)}+\mathrm{P_{A}(\overline{B})}=1 ; dit autrement, \mathrm{P_{A}(\overline{B})}=1-\mathrm{P_{A}(B)}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
  • On sait que \text{A} \cap \text{B} \subset \text{A} donc 0 \leqslant \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \leqslant \mathrm{P}(\mathrm{A}).
    Puisque \mathrm{P(A) > 0,} il vient 0 \leqslant \dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})} \leqslant \dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})} d'où 0 \leqslant \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) \leqslant 1.

  • Pour tous \text{A} et \text{B}, (\text{A} \cap \text{B}) \cup(\text{A} \cap \overline{\text{B}})=\text{A}
    et \mathrm{(A \cap B) \cap(A \cap \overline{B})=\emptyset.}
    Donc \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}})=\mathrm{P}((\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \cup(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}}))=\mathrm{P}(\mathrm{A})
    et, puisque \mathrm{P(A) \neq 0,}
    \dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}+\dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=1,
    soit \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})+\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{B}})=1.

Probabilités conditionnelles
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Si \text{A} et \text{B} sont deux événements de probabilité non nulle, alors \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Par définition, \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})} d'où \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}).

De même, \mathrm{P_{B}(A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}} d'où \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).

On a bien : \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Si \mathrm{P(A) = 0\text{,}7}, \mathrm{P(B) = 0\text{,}6} et \mathrm{P_{A}(B) = \dfrac{4}{7}}, alors
\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0,7 \times \dfrac{4}{7}=0\text{,}4 puis

\mathrm{P_{B}(A)=\dfrac{P(B \cap A)}{P(B)}}=\dfrac{0{,}4}{0{,}6}=\dfrac{2}{3}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

Comme le souligne l'exemple, il ne faut pas confondre \mathrm{P_{A}(B)} et \mathrm{P_{B}(A).}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Dans une classe de première, 55 % des élèves sont des filles et 40 % des élèves sont des filles demi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard dans cette classe. Quelle est la probabilité qu'un élève soit demi-pensionnaire sachant que c'est une fille ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

Pour calculer la probabilité de l'événement \text{D} sachant que l'événement \text{F} est réalisé :
  • on détermine la probabilité de l'événement réalisé \text{P(F) } et on s'assure que \mathrm{P}(\mathrm{F}) \neq 0\,;
  • on détermine (par le calcul ou avec l'énoncé) la probabilité de l'intersection \mathrm{P(F \cap D)}\:;
  • on utilise la formule du cours.
    • Ressource affichée de l'autre côté.
    Faites défiler pour voir la suite.
    Solution
    Soient \text{F} l'événement : « L'élève est une fille » et \text{D} l'événement : « L'élève est demi-pensionnaire ».
    On a \mathrm{P(F) = 0\text{,}55} et \mathrm{P}(\mathrm{F} \cap \mathrm{D})=0\text{,}4.
    On en déduit la probabilité qu'un élève soit demi-pensionnaire sachant que c'est une fille :
    \mathrm{P_{F}(D)=\dfrac{P(F \cap D)}{P(F)}=\dfrac{0\text{,}4}{0\text{,}55}=\dfrac{8}{11} \approx 0\text{,}73.}

    Pour s'entraîner
    exercices
    20
    et
    21
    p. 295
    Ressource affichée de l'autre côté.
    Faites défiler pour voir la suite.

    B
    Utilisation de tableaux

    Ressource affichée de l'autre côté.
    Faites défiler pour voir la suite.
    Les tableaux à double entrée permettent une présentation claire de certaines expériences aléatoires et facilitent le calcul des probabilités conditionnelles.
    Ressource affichée de l'autre côté.
    Faites défiler pour voir la suite.
    Les tableaux à double entrée permettent une présentation claire de certaines expériences aléatoires et facilitent le calcul des probabilités conditionnelles.
    \text{B}\overline{\text{B}}Total
    \text{A}\mathrm{P(A \cap B)}\mathrm{P(A \cap \overline{B})}\text{P(A)}
    \overline{\text{A}}\mathrm{P(\overline{A} \cap B)}\mathrm{P(\overline{A} \cap \overline{B})}\mathrm{P(\overline{A})}
    Total \text{P(B)}\mathrm{P(\overline{B})}1
    Ressource affichée de l'autre côté.
    Faites défiler pour voir la suite.

    Remarque

    \mathrm{P(B) + P(\overline{B})} \mathrm{= P(A) + P(\overline{A})} = 1
    Ainsi, il y a toujours 1 dans la case en bas à droite du tableau.
    Ressource affichée de l'autre côté.
    Faites défiler pour voir la suite.
    Conventions
  • \mathrm{P (A \cap B)} se lit à l'intersection de la ligne \text{A} et de la colonne \text{B}.
  • \text{P(A)} (respectivement \mathrm{P(B)}) se lit sur la dernière colonne (respectivement la dernière ligne).
  • \mathrm{P_{A}(B)} (ou \mathrm{P_{B}(A))} s'obtient en calculant le quotient des deux probabilités adéquates :
    \mathrm{P_{A}(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}} et \mathrm{P_{B}(A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}.}
    • Ressource affichée de l'autre côté.
    Faites défiler pour voir la suite.
    Exemple
    Si \mathrm{P(A) = 0\text{,}7} , \mathrm{P(B) = 0\text{,}6} et \mathrm{P(A \cap B)} = 0\text{,}4 , on a alors le tableau suivant.

    \text{B}\overline{\text{B}}Total
    \text{A}0,40,30,7
    \overline{\text{A}}0,20,10,3
    Total 0,60,41

    Et ainsi :
  • \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \overline{\mathrm{B}})=0{,}1\, ;
  • \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\overline{\mathrm{A}})=\dfrac{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}=\dfrac{0{,}2}{0{,}6}=\dfrac{1}{3}\, ;
  • \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B})=\dfrac{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})}=\dfrac{0{,}2}{0{,}3}=\dfrac{2}{3}.
    • Ressource affichée de l'autre côté.
    Faites défiler pour voir la suite.
    Application et méthode
    Ressource affichée de l'autre côté.
    Faites défiler pour voir la suite.
    Énoncé
    Un club sportif rassemble 180 membres répartis en juniors et seniors. On compte 135 seniors dont 81 hommes. Il y a 27 garçons parmi les juniors.
    En choisissant une femme au hasard, calculer la probabilité d'avoir une juniore.
    Ressource affichée de l'autre côté.
    Faites défiler pour voir la suite.

    Méthode

  • On définit les événements \text{H} pour Homme et \text{J} pour Junior.
  • On construit un tableau à double entrée que l'on complète à l'aide des informations de l'énoncé et en réalisant des soustractions.
  • On détermine \mathrm{P_{\overline{H}}(J)} en calculant \dfrac{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{H}} \cap \mathrm{J})}{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{H}})}.


    • Ressource affichée de l'autre côté.
    Faites défiler pour voir la suite.
    Solution
    \text{J}\overline{\text{J}}Total
    \text{H}\dfrac{27}{180}=0\text{,}15\dfrac{81}{180}=0\text{,}450\text{,}15+0\text{,}45=0\text{,}6
    \overline{\text{H}}0\text{,}10\text{,}30\text{,}4
    Total 0{,}25\dfrac{135}{180}=0\text{,}751


    \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{H}}}(\mathrm{J})=\dfrac{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{H}} \cap \mathrm{J})}{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{H}})}=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25
    Pour s'entraîner
    exercices
    19
     p.295 et
    35
     p.296
    Fermer
    Page précédente
    Page suivante

    Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

    Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

    j'ai une idée !

    Oups, une coquille

    Utilisation des cookies
    Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.