Chapitre 11
Cours 3
Indépendance
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Définition
Soient \text{A} et \text{B} deux événements d'un univers \Omega. On dit que \text{A} et \text{B} sont indépendants lorsque \mathrm{P(A \cap B) = P(A) \times P(B)} .
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Attention, il faudra éviter
de confondre événements
indépendants
et événements
incompatibles.
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Propriété
Soient \text{A} et \text{B} deux événements d'un univers \Omega tels que \mathrm{P(A) \neq 0} .
\text{A} et \text{B} sont des événements indépendants si et seulement si \mathrm{P_{A}(B)=P(B). }
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« Si et seulement
si » indique une
équivalence. Il faut
donc démontrer la
propriété dans le
sens direct et le sens
réciproque.
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Démonstration
\mathrm{ P(A) \neq 0} donc \mathrm{P_{A}(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}}.
Sens direct : \text{A} et \text{B} sont des événements indépendants, donc \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), d'où \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=\mathrm{P}(\mathrm{B}).
Réciproque : \mathrm{P_{A}(B)=P(B)} donc \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), d'où \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), ce qui montre \text{A} et \text{B} sont indépendants.
Sens direct : \text{A} et \text{B} sont des événements indépendants, donc \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), d'où \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=\mathrm{P}(\mathrm{B}).
Réciproque : \mathrm{P_{A}(B)=P(B)} donc \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), d'où \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}), ce qui montre \text{A} et \text{B} sont indépendants.
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Exemple
Soient \text{A} et \text{B} deux événements indépendants tels que \mathrm{P(A)= 0\text{,}8} et \mathrm{P(B) = 0\text{,}35}. Alors \mathrm{P(A \cap B)=P(A) \times P(B)}=0{,}8 \times 0{,}35=0{,}28.
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Les événements \text{A} et \overline{\text{B}} sont donc aussi indépendants.
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Propriété
Si \text{A} et \text{B} sont deux événements indépendants, alors \overline{\text{A}} et \text{B} sont aussi deux événements indépendants.
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Démonstration
D'après la formule des probabilités totales,
\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B}) donc \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).
Or, \text{A} et \text{B} sont des événements indépendants, donc \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}) et donc \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=(1-\mathrm{P}(\mathrm{A})) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}).
On en déduit que \overline{\text{A}} et \text{B} sont indépendants.
\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B}) donc \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).
Or, \text{A} et \text{B} sont des événements indépendants, donc \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}) et donc \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=(1-\mathrm{P}(\mathrm{A})) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}).
On en déduit que \overline{\text{A}} et \text{B} sont indépendants.
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Application et méthode
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Énoncé
Soient \text{A} et \text{B} deux événements tels que \mathrm{P(A) = 0\text{,}8 , } \mathrm{P(B) = 0\text{,}35} et \mathrm{P(A \cap B) = 0{,}28} .
1. Montrer que \text{A} et \text{B} sont indépendants.
2. Déterminer \mathrm{P (A \cup B)} puis \mathrm{P(\overline{A} \cup B)}.
2. Déterminer \mathrm{P (A \cup B)} puis \mathrm{P(\overline{A} \cup B)}.
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1. Pour démontrer que des événements
\text{A} et \text{B} sont indépendants, on vérifie que \mathrm{P (A \cap B)} et \mathrm{P(A) \times P(B)} sont égaux.
2.
2.
- On utilise la formule apprise en seconde reliant les événements \text{A} , \text{B} , \mathrm{A \cap B} et \mathrm{A \cup B}.
- On utilise la propriété du cours pour calculer \mathrm{P (A \cap B) }et \mathrm{P(\overline{A} \cap B)}.
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Solution
1. \mathrm{P(A) \times P(B) = 0{,}28 = P(A \cap B)} donc \mathrm{A} et \mathrm{B} sont indépendants.
2. On sait que \mathrm{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)}
donc \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=0\text{,}87.
\text{A} et \text{B} sont indépendants donc \mathrm{\overline{A}} et \text{B} le sont aussi.
De ce fait : \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=(1-0{,}8) \times 0{,}35=0{,}07.
2. On sait que \mathrm{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)}
donc \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=0\text{,}87.
\text{A} et \text{B} sont indépendants donc \mathrm{\overline{A}} et \text{B} le sont aussi.
De ce fait : \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=(1-0{,}8) \times 0{,}35=0{,}07.
Pour s'entraîner
exercices à
p. 295
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