Variables aléatoires réelles

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Une variable aléatoire est une fonction définie sur un univers \Omega qui, à une ou plusieurs issues de \Omega, associe un unique nombre réel. Cela permet de :

✔ modéliser des problèmes liés aux probabilités ;
✔ associer à une expérience aléatoire des nombres réels autres que des probabilités.

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La loi de probabilité d'une variable aléatoire est la donnée exhaustive (souvent sous forme de tableau) de toutes les images calculées par cette fonction et les probabilités associées. Cela permet d' :

✔ avoir un rapide aperçu de l'ensemble des issues dont on a associé un réel par cette variable aléatoire ;
✔ étudier les probabilités de certains événements constitués d'une ou plusieurs issues.

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L'espérance d'une variable aléatoire est la valeur moyenne de cette variable aléatoire obtenue sur un très grand nombre d'expériences identiques. On a les formules suivantes :

• \text{E} ( \text{X} ) =\mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p _ i x _ i = p_1 x_ 1 + p_2 x_2 + \ldots + p_r x_r \: ;
• \text{E} ( a \text{X} + b) = a \times \text{E}(\text{X}) + b avec a et b des réels.

Cela permet de :

✔ savoir si un jeu est équitable ou non lorsque la situation est associée à un gain ;
✔ calculer une moyenne théorique lorsqu'une expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois.

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La variance d'une variable aléatoire permet de calculer l'écart-type qui est l'écart moyen quadratique entre chaque valeur et l'espérance. On a les formules suivantes :

• \text {Var} ( \text {X} ) = \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{r} p_i \left( x_i - \text {E} ( \text {X} ) \right) ^ { 2 } \: ;
• \sigma ( \text {X} ) = \sqrt { \text { Var } ( \text {X} ) } \: ;
• \text { Var } ( a \text {X} + b ) = { a } ^ { 2 } \times \text {Var} ( \text {X} ) avec a un réel.

Cela permet de :

✔ déterminer la dispersion des valeurs autour de l'espérance ;
✔ comparer des expériences aléatoires.