Mathématiques 1re Spécialité
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Équations et inéquations du second degré
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Ch. 5
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Ch. 6
Fonction exponentielle
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Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
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Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
2. Équation de tangente
Chapitre 4
Entrainement 2
Équation de tangente
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On se place dans le plan muni d'un repère (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j})
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56
[Chercher.]
On a tracé ci-dessous la courbe d'une fonction f définie et dérivable sur \R et les tangentes \mathrm{T}_{\mathrm{A}} , \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et \mathrm{T}_{\mathrm{C}} à la courbe de f respectivement aux points \text{A,} \text{B} et \text{C.}
2. Sachant que la droite \mathrm{T}_{\mathrm{B}} passe par le point de coordonnées \left(-2 \:; \dfrac{29}{4}\right), déterminer son équation réduite.
3. On donne f^{\prime}(3)=\dfrac{-101}{12}. Les tangentes \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et \mathrm{T}_{\mathrm{C}} sont-elles parallèles ? Justifier.
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57
[Chercher.] On a tracé la courbe d'une fonction f définie et dérivable sur \R . Les droites d_1 , d_2 , d_3 et d_4 sont les tangentes à la courbe de f respectivement aux points \text{A, B, C} et \text{D .}
Par lecture graphique, déterminer l'équation réduite de chacune des tangentes à la courbe de f .
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58
[Calculer.] On considère la fonction f définie sur \R^+ par f(x)=3 \sqrt{x}.
On admet que f est dérivable sur ] 0\: ;+\infty[ et on donne f^{\prime}(1)=\dfrac{3}{2} et f^{\prime}(2)=\dfrac{3 \sqrt{2}}{4}.
Déterminer l'équation réduite de chacune des tangentes à la courbe de f aux points d'abscisses 1 et 2 .
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60
[Chercher.]
Soit une fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} . Sa courbe représentative \mathcal{C}_f passe par les points \mathrm{A}(-2 \:;-3), \mathrm{B}(0\: ; 15) et \mathrm{C}(10\: ; 1).
Les nombres dérivés de f en -2 , en 0 et en 10 sont respectivement égaux à 2, -5 et \dfrac{-1}{2}. On appelle \mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et \mathrm{T}_{\mathrm{C}}. les tangentes à \mathcal{C}_f respectivement en \text{A ,} en \text{B} et en \text{C.} 1. Déterminer l'équation réduite de chacune des tangentes \mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et \mathrm{T}_{\mathrm{C}}.
2. Démontrer que les tangentes \mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et \mathrm{T}_{\mathrm{C}}. sont concourantes et déterminer les coordonnées de leur point de concours.
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59
[Chercher.] Soit une fonction f définie et dérivable sur \R .
Sa courbe représentative \mathcal{C}_{f} passe par les points \mathrm{A}(-4 ; 11), \mathrm{B}(2 ; 4) et \mathrm{C}(6 ; 2)
Les nombres dérivés de f en -4 , en 2 et en 6 sont respectivement égaux à \dfrac{-1}{5}, \dfrac{1}{5} et \dfrac{1}{2}. On appelle \mathrm{T}_{\mathrm{A}} , \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et \mathrm{T}_{\mathrm{C}} les tangentes à \mathcal{C}_{f} respectivement en \text{A }, en \text{B} et en \text{C.}
2. Les tangentes \mathrm{T}_{\mathrm{A}} , \mathrm{T}_{\mathrm{B}} et \mathrm{T}_{\mathrm{C}} sont-elles concourantes ? Justifier.
Aide
On peut commencer par déterminer le point d'intersection
de \mathrm{T}_{\mathrm{A}} et \mathrm{T}_{\mathrm{B}}.
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61
[Calculer.]
On considère la courbe représentative \mathcal{C}_f de la fonction f définie par f(x)=-x^{2}+2 x+8 et dérivable sur \R. Soient \text{D} le point de \mathcal{C}_f d'abscisse 4 et d la tangente en \text{D} à la courbe \mathcal{C}_f.
1. Déterminer l'équation réduite de la tangente d .
2. Étudier la position relative de la courbe \mathcal{C}_f par rapport à sa tangente d . On pourra éventuellement utiliser la calculatrice pour déterminer le signe d'un trinôme.
2. Étudier la position relative de la courbe \mathcal{C}_f par rapport à sa tangente d . On pourra éventuellement utiliser la calculatrice pour déterminer le signe d'un trinôme.
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[Raisonner.]
On considère la fonction f définie pour tout x \neq 0 par f(x)=\dfrac{1}{x}. On appelle \mathcal{C}_f sa courbe représentative. 1. a. Déterminer f^{\prime}(-2) et f^{\prime}(2) en utilisant un taux de variation.
b. En déduire l'équation réduite de la tangente à \mathcal{C}_f aux points d'abscisses -2 et 2 .
c. Que remarque-t-on ?
2. Soit a un réel non nul. On appelle \text{A} le point de \mathcal{C}_f d'abscisse a et \text{A}' son symétrique par rapport à \text{O.}
Démontrer que les tangentes à \mathcal{C}_f en \text{A} et en \text{A}' sont parallèles.
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63
[Raisonner.]
On considère la fonction f définie par f(x)=x^{3} et dérivable sur \R . Soient \text{T} et \text{T}' les tangentes à la courbe représentative de f respectivement aux points d'abscisses -1 et 1. 1. a. Déterminer l'équation réduite des tangentes \text{T} et \text{T}'.
b. Quelle est la position relative des deux tangentes \text{T} et \text{T}' ? Justifier.
2. Ce résultat est-il encore valable pour les tangentes à la courbe de f respectivement aux points d'abscisses -a et a où a est un réel strictement positif ? Justifier.
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[Raisonner.] On considère la fonction f définie par f(x)=x^{2}+2 x-8 et dérivable sur \R . Soit a un réel. 1. Déterminer, en fonction de a, l'équation réduite de la tangente \mathrm{T}_{\mathrm{A}} au point d'abscisse a de la courbe de f.
2. Existe-t-il des valeurs de a pour lesquelles la tangente \mathrm{T}_{\mathrm{A}} est en dessous de la courbe de f ? Si oui, lesquelles ? Justifier la réponse.
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65
[Raisonner.]
On considère la fonction f définie pour tout x \neq 0 par f(x)=\dfrac{1}{x}. Soit a un réel non nul. f est dérivable pour tout x \neq 0. 1. Déterminer, en fonction de a , l'équation réduite de la tangente \mathrm{T}_{\mathrm{A}} au point d'abscisse a de la courbe de f .
2. Déterminer la position relative de la courbe de f par rapport à sa tangente \mathrm{T}_{\mathrm{A}}.
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66
[Chercher.]
On considère les fonctions f et g définies par f(x)=-x^{2}+4 et g(x)=x^{2}-4 x+6 et dérivables sur \mathbb{R} . On note leur courbe représentative \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g . On appelle \text{A} le point de coordonnées (1\: ; 3).
2. Donner l'équation réduite de la tangente \text{T} et la tracer après avoir reproduit le repère.
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Vrai / Faux
[Chercher.] La fonction f est définie et dérivable sur \R . On note C_f sa courbe représentative. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1. « Si f(1)=2 et f^{\prime}(1)=0, alors la tangente à C_f au point \mathrm{A}(1 ; 2) est parallèle à l'axe des abscisses. »
2. « Si la droite d'équation y = 2x + 3 est tangente à C_f au point \mathrm{A}(0 ; 3), alors f^{\prime}(0)=3. »
3. « Si f(2)=1 et f^{\prime}(2)=1, alors la tangente à C_f au point \mathrm{A}(2 ; 1) a pour équation y = x - 1 . »
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68
[Chercher.]
On considère les fonctions f et g définies par f(x)=x^{3}-x et g(x)=-x^{2}+3 x-4 et dérivables sur \R .
On note leur courbe représentative \mathcal{C}_f et C_g. Soit d la tangente à la courbe \mathcal{C}_f en \text{O.}
1. Déterminer l'équation réduite de la droite d .
On note leur courbe représentative \mathcal{C}_f et C_g. Soit d la tangente à la courbe \mathcal{C}_f en \text{O.}
2. Démontrer que d est aussi la tangente à la courbe \mathcal{C}_g en un point \text{A} dont on déterminera les coordonnées.
Les astronomes utilisent les tangentes pour modéliser le mouvement des objets célestes. Un objet céleste se déplace sur une orbite elliptique en étant soumis à la gravitation et à une force d'inertie qui dépend de la vitesse linéaire ou tangentielle. On peut ainsi étudier les tangentes communes à deux trajectoires pour prévoir une collision ou programmer l'arrivée d'une sonde sur une comète.
Dans la vie professionnelle
Les astronomes utilisent les tangentes pour modéliser le mouvement des objets célestes. Un objet céleste se déplace sur une orbite elliptique en étant soumis à la gravitation et à une force d'inertie qui dépend de la vitesse linéaire ou tangentielle. On peut ainsi étudier les tangentes communes à deux trajectoires pour prévoir une collision ou programmer l'arrivée d'une sonde sur une comète.
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69
[Communiquer.]
On considère la fonction f définie par f(x)=x^{2}-x-20 et dérivable sur \R et la droite d d'équation y = 3x + 1.
La courbe représentative de f admet-elle des tangentes parallèles à la droite d\:? Si oui, préciser en quel(s) point(s).
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70
[Communiquer.] On considère la fonction f définie par f(x)=x^{3}-4 x et dérivable sur \R et la droite d d'équation y = -x + 1 .
Démontrer que la courbe représentative de f admet exactement deux tangentes parallèles à la droite d en des points que l'on déterminera.
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71
QCM
[Chercher.]
On considère la fonction f définie et dérivable sur \R de courbe représentative \mathcal{C}_f. On donne f(1)=3 et f^{\prime}(1)=3. La tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse -1 a pour équation y = -x - 2 . Pour chacune des lignes du tableau suivant, choisir la bonne réponse en la justifiant.
| A | B | C | D | |
| 1. La tangente à \mathcal{C}_f au point \mathrm{A}(1\:; 3) a pour équation : | y = 3x + 3 | y = 3x + 1 | y = 3x | y = 3 |
| 2. Le nombre dérivé de f en -1 est égal à : | -2 | -1 | 0 | 3 |
| 3. f(-1) est égal à : | -1 | 3 | 0 | 1 |
1. La tangente à \mathcal{C}_f au point \mathrm{A}(1\:; 3) a pour équation :
2. Le nombre dérivé de f en -1 est égal à :
3. f(-1) est égal à :
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[Raisonner.]
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On dit que la fonction carré f est convexe, car sa courbe représentative \mathcal{C}_f est au-dessus de toutes ses tangentes.
1. Illustrer cette propriété à l'aide d'une figure.
GeoGebra
2. Soit \text{A} un point de \mathcal{C}_f d'abscisse a . On note \mathrm{T}_{a} la
tangente à \mathcal{C}_f au point \text{A.}
a. Démontrer, à l'aide du taux de variation, que f^{\prime}(a)=2 a.
b. Donner l'équation réduite de \mathrm{T}_{a} en fonction de a .
c. À l'aide d'une étude de signe, déterminer la position relative de \mathcal{C}_{f} et \mathrm{T}_{a} sur \R.
a. Démontrer, à l'aide du taux de variation, que f^{\prime}(a)=2 a.
b. Donner l'équation réduite de \mathrm{T}_{a} en fonction de a .
c. À l'aide d'une étude de signe, déterminer la position relative de \mathcal{C}_{f} et \mathrm{T}_{a} sur \R.
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En physique
[Chercher.]
On lance un projectile verticalement vers le haut. Il monte puis descend selon la même droite verticale, soit une trajectoire à une dimension. La hauteur atteinte par le projectile, en fonction du temps t en seconde, est décrite dans un repère (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}) ci-dessous par une fonction h .
On a tracé les tangentes à \mathcal{C}_h aux points d'abscisses respectifs 0 ; 2 et 4 .
On a tracé les tangentes à \mathcal{C}_h aux points d'abscisses respectifs 0 ; 2 et 4 .
La vitesse du projectile à l'instant t est donnée, en m·s–1, par la dérivée h^{\prime}(t).
Déterminer la vitesse atteinte par le projectile à chacun des instants suivants, en m·s–1, puis en km·h–1 : 1. à t = 0 ;
2. à t = 2 ;
3. à t = 4 .
Déterminer la vitesse atteinte par le projectile à chacun des instants suivants, en m·s–1, puis en km·h–1 : 1. à t = 0 ;
2. à t = 2 ;
3. à t = 4 .
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