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Fiches de révision
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Chapitre 10 - Configurations géométriques

Cours



Lieu géométrique

  • Un lieu géométrique est un ensemble de points qui satisfont une même condition.

  • Exemple

    L’ensemble des points M\text{M} vérifiant :
    - AM=BM\text{AM} = \text{BM} est la médiatrice du segment [AB][\text{AB}].
    - AM=kAB\overrightarrow{\text{AM}} = k \overrightarrow{\text{AB}} est une droite ou un morceau de droite suivant les valeurs possibles de kk.

Cercles

  • Le cercle de centre Ω\Omega et de rayon r>0r > 0 est l’ensemble des points M\text{M} vérifiants ΩM=r\Omega M = r.

  • Dans un repère orthonormé, une équation du cercle de centre Ω(a;b)\Omega \left(a;b\right) et de rayon rr est donc (xa)2+(yb)2=r2\left(x−a\right)^2 + \left(y−b\right)^2 = r^2.

  • Exemple

    (x1)2+(y+2)2=9\left(x−1\right)^2 + \left(y+2\right)^2 = 9 est une équation du cercle de centre Ω(1;2)\Omega \left(1;−2\right) et de rayon r=3r = 3.
    Le cercle de diamètre [AB][\text{AB}] est l’ensemble des points M\text{M} vérifiants MAMB=0\overrightarrow{\text{MA}} \cdot \overrightarrow{\text{MB}} = 0.
    Cercle géométrique

    Propriété : Un cercle et une droite peuvent avoir 00, 11 ou 22 points d’intersections.

Triangles et centre de gravité

  • Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé.

  • Les trois médianes d’un triangle sont concourantes et se coupent en G\text{G}, le centre de gravité du triangle.
  • Médianes et centre de gravité

    Propriétés :
    - Le centre de gravité est l’unique point G\text{G} vérifiant GA+GB+GC=0\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}} = \overrightarrow{0}.
    - Le centre de gravité est situé aux deux tiers d’une médiane en partant du sommet dont elle est issue.


    Théorème de la médiane :
    Soit ABC\text{ABC} un triangle. On note A\text{A}' le milieu du segment [BC][\text{BC}]. Alors :
    - ABAC=AA’2BC24\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = \text{AA'}\,^2 − \dfrac{ \text{BC}^2}{4} ;
    - 2 AA’CB=AB2AC22 \ \overrightarrow{\text{AA'}} \cdot \overrightarrow{\text{CB}} = \text{AB}^2 − \text{AC}^2 ;
    -AB2+AC2=2 AA’2+BC22\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = 2\ \text{AA'}\,^2 + \dfrac{ \text{BC}^2}{2}.
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