Exercices d'auto‑évaluation

8

Soit (u_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par u_{n}=\frac{3 n+2}{5+2 n}. La suite (u_n) :

a. converge vers \frac{3}{5}.

b. converge vers \frac{3}{2}.

c. converge vers 0.

d. a pour limite +\infty.

9

Soit (v_n) la suite définie par v_0=1 et, pour tout entier naturel n, v_{n+1}=\frac{v_{n}^{2}}{10}-2 v_{n}+1. À l'aide de la calculatrice, on conjecture que la suite (v_n) est :

a. bornée.

b. croissante.

c. décroissante.

d. convergente.

10

Une suite (w_n) est majorée par 4 et converge vers un réel \ell. Alors on peut affirmer que :

a. \ell=4

b. (w_n) est croissante.

c. \ell \leqslant 4

d. la suite (w_n) est constante égale à 4 à partir d'un certain rang.

11

Si \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-\infty, alors :

a. \lim \limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{u_{n}}{v_{n}}=+\infty

b. \lim \limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{u_{n}}{v_{n}}=0

c. \lim \limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{u_{n}}{v_{n}}=-1

d. on ne peut pas conclure dans le cas général.

12

Soit (u_n) une suite qui converge vers 1.

a. La suite est croissante.

b. La suite est bornée à partir d'un certain rang.

c. La suite est positive à partir d'un certain rang.

d. La suite est majorée par 1.

13

Soit (v_n) une suite bornée.

a. La suite n'est pas monotone.

b. La suite est monotone.

c. La suite est convergente.

d. La suite peut diverger.

14

Si \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=+\infty, alors on peut avoir :

a. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{u_{n}}{v_{n}}=+\infty

b. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{u_{n}}{v_{n}}=0

c. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{u_{n}}{v_{n}}=1

d. \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \frac{u_{n}}{v_{n}}=-\infty

15

Soient (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites telles que u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant w_{n} à partir d'un certain rang.

a. Si\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}=+\infty.

b. Si\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=-\infty alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=-\infty.

c. Si\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=+\infty alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=+\infty.

d. Si \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}\lt 0 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} w_{n}>0 alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} v_{n}=0.

A

Vrai ou faux ? Une suite qui diverge vers +\infty est forcément croissante.

a. Vrai

b. Faux

B

Soient (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites telles que u_n\leqslant v_n\leqslant w_n à partir d'un certain rang. Vrai ou faux ? Si \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} v_n=+\infty alors, on a nécessairement \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} u_n=+\infty.

a. Vrai

b. Faux

C

La suite (u_n) définie pour tout n \in \mathbb{N} par u_n = \left( -2 \right)^n est :

a. strictement croissante.

b. convergente.

c. divergente.

d. strictement décroissante.

D

Soient (u_n) et (v_n) deux suites telles que \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} u_n=0, \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} v_n=0 et, pour tout n \in \mathbb{N}, v_n \neq 0. La limite de \dfrac{u_n}{v_n} :

a. peut être +\infty.

b. peut être -\infty.

c. peut être 0.

d. peut être 1.

E

La suite (u_n) définie pour tout n \in \mathbb{N} par u_n =\dfrac{1+2^n}{3^n} est :

a. convergente.

b. divergente.

c. majorée par 1.

d. minorée par 0.

F

Lesquelles de ces suites sont majorées par \dfrac{1}{2} ?

a. (u_n) définie pour tout n \in \mathbb{N} par u_n = \dfrac{2^n + 1}{2^n}.

b. (u_n) définie pour tout entier n> 2 par u_n = \dfrac{1}{n}.

c. (u_n) définie par u_0 = \dfrac{1}{2} et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n^2.

d. (u_n) définie par u_0 = \dfrac{1}{4} et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = 1-u_n.

G

Parmi les suites définies ci-dessous, lesquelles sont des suites arithmétiques ?

a. (u_n) définie par u_0 = 3 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + \text{e}^{6}.

b. (u_n) définie par u_0 = 4, u_1 = 7 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+2} = 2u_{n+1} - u_n.

c. (u_n) définie pour tout n \in \mathbb{N} par u_n = 0{,}1n.

d. (u_n) définie pour tout n \in \mathbb{N} par u_n = 5.

H

Parmi les suites définies ci-dessous, lesquelles sont convergentes ?

a. (u_n) définie pour tout n \in \mathbb{N}^* par u_{n} = \dfrac{(-1)^n}{n^2}.

b. (u_n) définie pour tout n \in \mathbb{N}^* par u_{n} = \dfrac{\sqrt{n} + 1}{n}.

c. (u_n) définie pour tout n \in \mathbb{N} par u_n = \left( \dfrac{14}{13} \right)^n \times \sqrt{n}.

d. (u_n) définie pour tout n \in \mathbb{N}^* par u_n = \dfrac{\dfrac{1}{n^2}+n}{\dfrac{1}{n}+n^2}.