Chapitre 4
TP INFO 1
Étude de la convergence des séries de Riemann
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Énoncé
Soit \alpha un nombre réel strictement positif. On considère la suite \text{S}_n définie, pour tout entier n \geqslant 1 par :
\text{S}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \frac{1}{k^{\alpha}}=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}+\ldots+\frac{1}{n^{\alpha}}.
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Objectif
Discuter, suivant les valeurs de \alpha, la convergence de la suite (\text{S}_n) en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1Python
1.
Compléter le programme ci-dessous pour qu'il affiche les 500 premiers termes de la suite (\text{S}_n) pour une valeur de \alpha donnée en argument.
def Somme(alpha): S = 1 for p in range(2, 501): S = ... print(S)
2. Dans chaque cas, appliquer la fonction Somme puis conjecturer la convergence de la suite (\text{S}_n).
a. \alpha=1
b. \alpha=1,1
c. \alpha=0,5
d. \alpha=2
e. \alpha=0,8
a. \alpha=1
b. \alpha=1,1
c. \alpha=0,5
d. \alpha=2
e. \alpha=0,8
f. \alpha=20
g. \alpha=10
h. \alpha=0,1
3. Discuter, suivant les valeurs de \alpha, la convergence de la suite (\text{S}_n).
g. \alpha=10
h. \alpha=0,1
3. Discuter, suivant les valeurs de \alpha, la convergence de la suite (\text{S}_n).
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Méthode 2Tableur
1. En cellule A1, saisir la valeur de \alpha. On commence par étudier le cas \alpha=4.
2. Dans la colonne C, saisir les valeurs entières de n de 1 à 10.
3. a. Saisir la valeur de \text{S}_1 dans la cellule D1.
b. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule D2 pour calculer \text{S}_2 ?
4. Étendre les cellules C2 et D2 pour obtenir les 500 premiers termes de la suite (\text{S}_n).
5. Modifier la valeur de \alpha dans la cellule A1 pour conjecturer la convergence de la suite (\text{S}_n) pour les différentes valeurs de \alpha suivantes.
a. \alpha=1
2. Dans la colonne C, saisir les valeurs entières de n de 1 à 10.
3. a. Saisir la valeur de \text{S}_1 dans la cellule D1.
b. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule D2 pour calculer \text{S}_2 ?
4. Étendre les cellules C2 et D2 pour obtenir les 500 premiers termes de la suite (\text{S}_n).
5. Modifier la valeur de \alpha dans la cellule A1 pour conjecturer la convergence de la suite (\text{S}_n) pour les différentes valeurs de \alpha suivantes.
a. \alpha=1
b. \alpha=1,1
c. \alpha=0,5
d. \alpha=2
e. \alpha=0,8
f. \alpha=20
g. \alpha=10
h. \alpha=0,1
6. Discuter, suivant les valeurs de \alpha, la convergence de la suite (\text{S}_n).
c. \alpha=0,5
d. \alpha=2
e. \alpha=0,8
f. \alpha=20
g. \alpha=10
h. \alpha=0,1
6. Discuter, suivant les valeurs de \alpha, la convergence de la suite (\text{S}_n).
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1. Dans les méthodes précédentes, pourquoi suppose‑t‑on que \alpha est un nombre strictement positif ?
2. On considère la suite (u_n) définie, pour tout entier n \geqslant 2, par u_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=2}\limits^{n} \frac{1}{\sqrt{k^{2}-1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{8}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}-1}}.
a. Démontrer que, pour tout entier 2 \leqslant k \leqslant n, on a \frac{1}{\sqrt{k^{2}-1}} \geqslant \frac{1}{k}.
b. On considère la suite (v_n) définie, pour tout entier 2 \leqslant k \leqslant n, par v_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=2}\limits^{n} \frac{1}{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}.
En utilisant le programme Python de la méthode n°1, conjecturer la limite de (v_n).
2. On considère la suite (u_n) définie, pour tout entier n \geqslant 2, par u_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=2}\limits^{n} \frac{1}{\sqrt{k^{2}-1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{8}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}-1}}.
a. Démontrer que, pour tout entier 2 \leqslant k \leqslant n, on a \frac{1}{\sqrt{k^{2}-1}} \geqslant \frac{1}{k}.
b. On considère la suite (v_n) définie, pour tout entier 2 \leqslant k \leqslant n, par v_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=2}\limits^{n} \frac{1}{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}.
En utilisant le programme Python de la méthode n°1, conjecturer la limite de (v_n).
c. Quelle conjecture peut‑on émettre pour la limite de la suite (u_n) ?
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Lorsque n tend vers +\infty, on peut définir la fonction zêta par : \zeta(\alpha)=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha}} où \alpha est un réel.
La fonction zêta trouve de nombreuses applications en mathématiques, notamment en lien avec les nombres premiers.
Cette première définition revient à Leonhard Euler.
La fonction zêta trouve de nombreuses applications en mathématiques, notamment en lien avec les nombres premiers.
Cette première définition revient à Leonhard Euler.
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