Algèbre et géométrie

→

Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles

On considère deux vecteurs de l'espace \overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1\\z_1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}.

1. Rappeler le critère de colinéarité de ces deux vecteurs.

On considère la fonction ci-après permettant tester la colinéarité de deux vecteurs donnés en paramètre sous forme de listes.

2. Sous quelles conditions cette fonction ne fonctionne-t-elle pas ?

3. Proposer un autre test à la ligne 2 pour que la fonction fonctionne dans tous les cas. On pourra s'inspirer du critère de colinéarité par le produit en croix pour les vecteurs du plan.

def colineaire(u1, u2):
  if u1[0]/u2[0] == u1[1]/u2[1] and u1[0]/u2[0] == u1[2]/u2[2]:
    return True
  else:
    return False

→

Voir fiche n° 1 : Algorithme en langage naturel

→

Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles

→

Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées

On se place dans un repère orthonormé de l'espace. On rappelle que le volume d'une sphère de rayon \text{R} est donné par \dfrac{4}{3} \pi \text{R}^3.

1. Donner la valeur exacte et une valeur approchée du volume d'une sphère de rayon 1.

2. Dans le programme suivant on cherche à estimer le volume de la sphère de rayon 1 dont le centre est l'origine \text{O} du repère. En étudiant le programme en détail, expliquer son fonctionnement.

3. Après avoir testé le programme pour différentes valeurs de n, que peut-on conclure sur la vitesse de convergence de cette méthode de calcul ?

from random import random
 
def monte_carlo(n):
nb_points_dans_sphère = 0
for point in range(n):
  x = 2*random() - 1
  y = 2*random() - 1
  z = 2*random() - 1
  if x**2 + y**2 + z**2 < =1:
    nb_points_dans_sphère = nb_points_dans_sphère + 1
return nb_points_dans_sphère/n*8

→

Voir fiche n° 2 bis : Les listes

→

Voir fiche n° 3 : Les fonctions

1. Compléter la fonction orthogonaux prenant en paramètres deux listes représentant deux vecteurs de l'espace pour qu'elle renvoie True si les deux vecteurs sont orthogonaux et False s'ils ne le sont pas.

2. Compléter la fonction repere prenant en paramètres trois listes représentant trois vecteurs de l'espace pour qu'elle renvoie True si les trois vecteurs sont orthogonaux deux à deux et False s'ils ne le sont pas.

def orthogonaux(u1, u2):
    ...
    
def repere(u1, u2, u3):
    ...

→

Voir fiche n° 2 bis : Les listes

→

Voir fiche n° 3 : Les fonctions

Écrire une fonction sphere qui prend en argument :

• une liste représentant les coordonnées d'un point \text{A} de l'espace ;
• une liste de 3 listes représentant chacune les coordonnées d'un point de l'espace.

Cette fonction doit renvoyer True si les trois points données dans le deuxième paramètre sont sur une même sphère de centre \text{A}. Elle doit renvoyer False dans le cas contraire. On pourra écrire une fonction distance qui prend en paramètres deux listes de trois nombres représentant chacune les coordonnées d'un point de l'espace et qui renvoie la distance entre ces deux points dans un repère orthonormé.

On dit qu'un tétraèdre est régulier si, et seulement si, toutes ses faces sont des triangles équilatéraux.

1. Écrire une fonction distance qui prend en paramètres deux listes de trois nombres représentant chacune les coordonnées d'un point de l'espace et qui renvoie la distance entre ces deux points dans un repère orthonormé (ou reprendre celle créée dans l'exercice précédent).

2. Écrire une fonction regulier qui prend en paramètres quatre listes de trois nombres représentant les coordonnées de quatre points de l'espace et qui renvoie True si le tétraèdre formé par les quatre points est régulier. Cette fonction renvoie False dans le cas contraire.

2. En calculant u_{100} et u_{1000}, conjecturer si la suite est convergente dans les cas suivants :

• a = 1, b = 1, c= 1, d = 3 et u_0 = 1 ;
  
• a = 4, b = 2, c= 1, d = 5 et u_0 = 3 ;
  
• a = 7, b = 12, c= 3, d = -5 et u_0 = 2 ;
  
• a = 0, b = 1, c= -3, d = 1 et u_0 = 2.
  

def u_n(u_0, a, b, c, d, n):
  u_n = ...
  for i in range(n):
    u_n = ...
  return u_n