Toute variable aléatoire suivant une loi binomiale peut s’écrire comme une somme
de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées.
Propriété
Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors :
1. E(X)=np ;
2. V(X)=np(1−p) ;
3. σ(X)=np(1−p).
Rappel
X suit la
loi binomiale de
paramètres n et p
lorsque X compte
le nombre de succès
dans un schéma de
Bernoulli de paramètres
n et p.
DÉMONSTRATION
1. Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p.
Alors, il existe n variables aléatoires de Bernoulli de paramètre p telles que X=X1+…+Xn.
Ainsi, pour tout k∈{1;…;n},E(Xk)=p et V(Xk)=p(1−p) (voir chapitre 12).
Or, E(X)=E(X1+…+Xn)=E(X1)+…+E(Xn)=p+…+p=np.
2. Les variables aléatoires X1;…;Xn étant indépendantes, par définition du schéma
de Bernoulli, on a :
V(X)=V(X1)+…+V(Xn)=p(1−p)+…+p(1−p)=np(1−p).
3. σ(X)=V(X)=np(1−p).
Exemple
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n=20 et p=0,2.
On a E(X)=np=20×0,2=4.
De plus, V(X)=np(1−p)=20×0,2×0,8=3,2.
Donc σ(X)=V(X)=3,2≈1,789.
Application et méthode 4
Énoncé
Une étude faite dans un restaurant montre que 85 % des clients consomment un dessert.
On interroge dix clients du restaurant. On suppose qu’on peut assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de clients commandant un dessert parmi ceux interrogés.
1. Calculer et interpréter l’espérance de la variable aléatoire X.
2. Calculer la variance et l’écart type (arrondi au millième) de la variable aléatoire X.
B
Échantillons de n variables aléatoires identiques et indépendantes
On considère un entier naturel n≥1 et X1;…;Xn, n variables aléatoires définies sur Ω supposées indépendantes et identiquement distribuées.
On note Sn=X1+…+Xn la somme de ces n variables aléatoires et Mn=nX1+…+Xn la moyenne de ces n variables aléatoires.
Propriété
Pour tout k∈{1;…;n}, on a :
1. E(Sn)=nE(Xk) ;
2. V(Sn)=nV(Xk) et σ(Sn)=nσ(Xk).
DÉMONSTRATION
1. La linéarité de l’espérance donne E(Sn)=E(X1)+…+E(Xn). Or ces variables
aléatoires suivent la même loi. Elles ont donc la même espérance. D’où, pour tout k∈{1;…;n},E(Sn)=nE(Xk).
2. De la même manière, les variables aléatoires X1;…;Xn étant supposées
indépendantes, on obtient, pour tout k∈{1;…;n}, V(Sn)=V(X1)+…+V(Xn)=nV(Xk).
Enfin, en appliquant la racine carrée (tous les termes sont positifs), on obtient σ(Sn)=nσ(Xk).
Remarque
Cette
propriété généralise
les résultats obtenus
sur la loi binomiale
en considérant dans
ce cas la variable
aléatoire X comme
somme de variables
de Bernoulli
indépendantes de
paramètre p.
Propriété
Pour tout k∈{1;…;n}, on a :
1. E(Mn)=E(Xk) ;
2. V(Mn)=nV(Xk) et σ(Mn)=nσ(Xk).
DÉMONSTRATION
1. Soit k∈{1;…;n}. La linéarité de l’espérance et la propriété précédente donnent E(Mn)=E(nX1+…+Xn)=E(nSn)=n1E(Sn)=n1×nE(Xk)=E(Xk).
2. Par ailleurs, pour tout a∈R,V(aSn)=a2V(Sn).
En combinant cette égalité au résultat de la propriété précédente, V(Mn)=V(nSn)=n21V(Sn)=n21×nV(Xk)=nV(Xk).
On obtient, par application de la racine carrée, σ(Mn)=nσ(Xk).
Remarque
E(Mn) peut s’interpréter
comme ceci : en
prenant un grand
nombre de fois des
échantillons de taille
n et en calculant
à chaque fois la
moyenne de l’échantillon
obtenu, la
moyenne théorique
de ces résultats est
égale à E(Xk).
Application et méthode 5
Énoncé
On lance cinq dés équilibrés à six faces. On note X la variable aléatoire correspondant à la somme des résultats obtenus. Calculer E(X) et V(X).
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.