Dans cette partie, $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $1$ et $p$ désigne un nombre réel appartenant à l’intervalle $[0;1]$.

Deux variables aléatoires identiquement distribuées peuvent être ou ne pas être indépendantes (voir exercice

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p. 403).

$\text{X}$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ lorsque $\text{X}$ compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

DÉMONSTRATION

1. Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
Alors, il existe $n$ variables aléatoires de Bernoulli de paramètre $p$ telles que $\mathrm{X}={\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_n$.
Ainsi, pour tout $k\in \{1;\dots ;n\},\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_k\right)=p\text{ et }\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_k\right)=p(1-p)$ (voir chapitre 12).
Or, $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_n\right)=\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_1\right)+\dots +\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_n\right)=p+\dots +p=np$.

2. Les variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$ étant indépendantes, par définition du schéma de Bernoulli, on a :
$\mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1\right)+\dots +\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_n\right)=p(1-p)+\dots +p(1-p)=np(1-p)$.

3. $\sigma (\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}=\sqrt{np(1-p)}$.

Exemple

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,2$.
On a $\mathrm{E}(\mathrm{X})=np=20\times 0,2=4$.
De plus, $\mathrm{V}(\mathrm{X})=np(1-p)=20\times 0,2\times 0,8=3,2$.
Donc $\sigma (\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}=\sqrt{3,2}\approx 1,789$.

Une étude faite dans un restaurant montre que $85$ % des clients consomment un dessert.
On interroge dix clients du restaurant. On suppose qu’on peut assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
On note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au nombre de clients commandant un dessert parmi ceux interrogés.
1. Calculer et interpréter l’espérance de la variable aléatoire $\text{X}$.
2. Calculer la variance et l’écart type (arrondi au millième) de la variable aléatoire $\text{X}$.

On considère un entier naturel $n\ge 1$ et ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$, $n$ variables aléatoires définies sur $\Omega$ supposées indépendantes et identiquement distribuées.
On note ${\mathrm{S}}_n={\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_n$ la somme de ces $n$ variables aléatoires et ${\mathrm{M}}_n=\frac{{\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_n}{n}$ la moyenne de ces $n$ variables aléatoires.

DÉMONSTRATION

1. La linéarité de l’espérance donne $\mathrm{E}\left({\mathrm{S}}_n\right)=\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_1\right)+\dots +\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_n\right)$. Or ces variables aléatoires suivent la même loi. Elles ont donc la même espérance. D’où, pour tout $k\in \{1;\dots ;n\},\mathrm{E}\left({\mathrm{S}}_n\right)=n\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_k\right)$.

2. De la même manière, les variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$ étant supposées indépendantes, on obtient, pour tout $k\in \{1;\dots ;n\}$, $\mathrm{V}\left({\mathrm{S}}_n\right)=\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1\right)+\dots +\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_n\right)=n\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_k\right)$.
Enfin, en appliquant la racine carrée (tous les termes sont positifs), on obtient $\sigma \left({\mathbf{S}}_n\right)=\sqrt{n}\sigma \left({\mathbf{X}}_k\right)$.

Cette propriété généralise les résultats obtenus sur la loi binomiale en considérant dans ce cas la variable aléatoire $\text{X}$ comme somme de variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$.

DÉMONSTRATION

1. Soit $k\in \{1;\dots ;n\}$. La linéarité de l’espérance et la propriété précédente donnent $\mathrm{E}\left({\mathrm{M}}_n\right)=\mathrm{E}\left(\frac{{\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_n}{n}\right)=\mathrm{E}\left(\frac{{\mathrm{S}}_n}{n}\right)=\frac{1}{n}\mathrm{E}\left({\mathrm{S}}_n\right)=\frac{1}{n}\times n\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_k\right)=\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_k\right)$.
2. Par ailleurs, pour tout $a\in \mathbb{R},\mathrm{V}\left(a{\mathrm{S}}_n\right)=a^2\mathrm{V}\left({\mathrm{S}}_n\right)$.
En combinant cette égalité au résultat de la propriété précédente, $\mathrm{V}\left({\mathrm{M}}_n\right)=\mathrm{V}\left(\frac{{\mathrm{S}}_n}{n}\right)=\frac{1}{n^2}\mathrm{V}\left({\mathrm{S}}_n\right)=\frac{1}{n^2}\times n\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_k\right)=\frac{\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_k\right)}{n}$.
On obtient, par application de la racine carrée, $\sigma \left({\mathrm{M}}_n\right)=\frac{\sigma \left({\mathrm{X}}_k\right)}{\sqrt{n}}$.

$\mathrm{E}\left({\mathrm{M}}_n\right)$ peut s’interpréter comme ceci : en prenant un grand nombre de fois des échantillons de taille n et en calculant à chaque fois la moyenne de l’échantillon obtenu, la moyenne théorique de ces résultats est égale à $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_k\right)$.

On lance cinq dés équilibrés à six faces. On note X la variable aléatoire correspondant à la somme des résultats obtenus. Calculer $\mathrm{E}(\mathrm{X})$ et $\mathrm{V}(\mathrm{X})$.