Deux variables aléatoires sont dites identiquement distribuées lorsqu'elles ont la même loi de probabilité.

Deux variables aléatoires identiquement distribuées peuvent être ou ne pas être indépendantes (voir exercice 

72 p. 403

).

Toute variable aléatoire suivant une loi binomiale peut s'écrire comme une somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées.

$\text{X}$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ lorsque $\text{X}$ compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

Si $\text{X}$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, alors :
1. $\mathrm{E}(\mathrm{X})=np$ ;
2. $\mathrm{V}(\mathrm{X})=np(1-p)$ ;
3. $\sigma (\mathrm{X})=\sqrt{np(1-p)}$.

1. Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Alors, il existe $n$ variables aléatoires de Bernoulli de paramètre $p$ telles que $\mathrm{X}={\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_n$.
Ainsi, pour tout $k\in \{1;\dots ;n\},\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_k\right)=p\text{ et }\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_k\right)=p(1-p)$ (voir

chapitre 12

).
Or, $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_n\right)=\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_1\right)+\dots +\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_n\right)=p+\dots +p=np$.

2. Les variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$ étant indépendantes, par définition du schéma de Bernoulli, on a :
$\mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1\right)+\dots +\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_n\right)=p(1-p)+\dots +p(1-p)=np(1-p)$.

3. $\sigma (\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}=\sqrt{np(1-p)}$.

Une étude faite dans un restaurant montre que $85$ % des clients consomment un dessert. On interroge dix clients du restaurant. On suppose qu'on peut assimiler cette expérience à un tirage avec remise. On note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au nombre de clients commandant un dessert parmi ceux interrogés.
1. Calculer et interpréter l'espérance de la variable aléatoire $\text{X}$.
2. Calculer la variance et l'écart type (arrondi au millième) de la variable aléatoire $\text{X}$.

• Avant d'appliquer les résultats obtenus dans la propriété, il est tout d'abord essentiel de bien justifier que la variable aléatoire étudiée suit une loi binomiale (voir
  chapitre 12
  ). Les éléments permettant de le justifier sont indiqués en gras dans la solution ci‑contre.
• C'est seulement après avoir justifié que $\text{X}$ suit une loi binomiale que nous pouvons utiliser les égalités suivantes :
  $\mathrm{E}(\mathrm{X})=np,\mathrm{V}(\mathrm{X})=np(1-p)$ et $\sigma (\mathrm{X})=\sqrt{np(1-p)}$.

1. La linéarité de l'espérance donne $\mathrm{E}\left({\mathrm{S}}_n\right)=\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_1\right)+\dots +\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_n\right)$. Or ces variables aléatoires suivent la même loi. Elles ont donc la même espérance. D'où, pour tout $k\in \{1;\dots ;n\},\mathrm{E}\left({\mathrm{S}}_n\right)=n\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_k\right)$.

2. De la même manière, les variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$ étant supposées indépendantes, on obtient, pour tout $k\in \{1;\dots ;n\}$, $\mathrm{V}\left({\mathrm{S}}_n\right)=\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1\right)+\dots +\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_n\right)=n\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_k\right)$.
Enfin, en appliquant la racine carrée (tous les termes sont positifs), on obtient $\sigma \left({\mathbf{S}}_n\right)=\sqrt{n}\sigma \left({\mathbf{X}}_k\right)$.

Cette propriété généralise les résultats obtenus sur la loi binomiale en considérant dans ce cas la variable aléatoire $\text{X}$ comme somme de variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$.

Pour tout $k\in \{1;\dots ;n\}$, on a :
1. $\mathrm{E}\left({\mathrm{M}}_n\right)=\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_k\right)$ ;
2. $\mathrm{V}\left({\mathrm{M}}_n\right)=\frac{\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_k\right)}{n}$ et $\sigma \left({\mathrm{M}}_n\right)=\frac{\sigma \left({\mathrm{X}}_k\right)}{\sqrt{n}}$.

$\mathrm{E}\left({\mathrm{M}}_n\right)$ peut s'interpréter comme ceci : en prenant un grand nombre de fois des échantillons de taille n et en calculant à chaque fois la moyenne de l'échantillon obtenu, la moyenne théorique de ces résultats est égale à $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_k\right)$.