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3. Applications

P.387-389

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COURS 3

3
Applications

A
Applications à la loi binomiale

Dans cette partie,

n

désigne un entier naturel supérieur ou égal à

1

p

désigne un nombre réel appartenant à l’intervalle

[0; 1]

Définition

Deux variables aléatoires sont dites identiquement distribuées lorsqu’elles ont la même loi de probabilité.

Remarque

Deux variables aléatoires identiquement distribuées peuvent être ou ne pas être indépendantes (voir exercice

p. 403).

Propriété (admise)

Toute variable aléatoire suivant une loi binomiale peut s’écrire comme une somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées.

Propriété

Si

X

suit la loi binomiale de paramètres

n

p

, alors :
1.

E (X) = n p

;
2.

V (X) = n p (1 - p)

;
3.

σ (X) = n p (1 - p)

Rappel

X

suit la loi binomiale de paramètres

n

p

lorsque

X

compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres

n

p

DÉMONSTRATION

1. Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres

n

p

.
Alors, il existe

n

variables aléatoires de Bernoulli de paramètre

p

telles que

X = X_{1} + \dots + X_{n}

.
Ainsi, pour tout

k \in {1; \dots; n}, E (X_{k}) = p et V (X_{k}) = p (1 - p)

(voir chapitre 12).
Or,

E (X) = E (X_{1} + \dots + X_{n}) = E (X_{1}) + \dots + E (X_{n}) = p + \dots + p = n p

.

2. Les variables aléatoires

X_{1}; \dots; X_{n}

étant indépendantes, par définition du schéma de Bernoulli, on a :

V (X) = V (X_{1}) + \dots + V (X_{n}) = p (1 - p) + \dots + p (1 - p) = n p (1 - p)

.

3.

σ (X) = V (X) = n p (1 - p)

Exemple

Soit

X

une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres

n = 20

p = 0, 2

.
On a

E (X) = n p = 20 \times 0, 2 = 4

.
De plus,

V (X) = n p (1 - p) = 20 \times 0, 2 \times 0, 8 = 3, 2

.
Donc

σ (X) = V (X) = 3, 2 \approx 1, 789

Application et méthode 4

Énoncé

Une étude faite dans un restaurant montre que

85

% des clients consomment un dessert.
On interroge dix clients du restaurant. On suppose qu’on peut assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
On note

X

la variable aléatoire correspondant au nombre de clients commandant un dessert parmi ceux interrogés.
1. Calculer et interpréter l’espérance de la variable aléatoire

X

.
2. Calculer la variance et l’écart type (arrondi au millième) de la variable aléatoire

X

Solution

On répète 10 fois de manière supposée identique et indépendante l’expérience ayant deux issues :

le succès : « Le client choisi a consommé un dessert » de probabilité $p = 0, 85$ ;
l’échec : « Le client choisi n’a pas consommé de dessert » de probabilité $1 - p = 1 - 0, 85 = 0, 15$ .

X

compte le nombre de succès donc

X

suit la loi binomiale de paramètres

n = 10

p = 0, 85

.

1.

X

suit une loi binomiale donc

E (X) = n p

. D'où

E (X) = 10 \times 0, 85 = 8, 5

.
Cela signifie qu’au bout d’un grand nombre de répétitions de l’expérience, en moyenne sur 10 clients, 8,5 consomment un dessert.
2.

X

suit une loi binomiale donc

V (X) = n p (1 - p) = 10 \times 0, 85 \times 0, 15 = 1, 275

.
Ainsi,

σ (X) = V (X) = 1, 275 \approx 1, 129

Pour s'entraîner : exercices exercices 28 et 29 p. 395

Méthode

Avant d’appliquer les résultats obtenus dans la propriété, il est tout d’abord essentiel de bien justifier que la variable aléatoire étudiée suit une loi binomiale (voir chapitre 12). Les éléments permettant de le justifier sont indiqués en gras dans la solution ci‑contre.
C’est seulement après avoir justifié que $X$ suit une loi binomiale que nous pouvons utiliser les égalités suivantes :
$E (X) = n p, V (X) = n p (1 - p)$ et $σ (X) = n p (1 - p)$ .

B
Échantillons de $n$ variables aléatoires identiques et indépendantes

On considère un entier naturel

n \geq 1

X_{1}; \dots; X_{n}

n

variables aléatoires définies sur

Ω

supposées indépendantes et identiquement distribuées.
On note

S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}

la somme de ces

n

variables aléatoires et

M_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}

la moyenne de ces

n

variables aléatoires.

Propriété

Pour tout

k \in {1; \dots; n}

, on a :
1.

E (S_{n}) = n E (X_{k})

;
2.

V (S_{n}) = n V (X_{k})

σ (S_{n}) = n σ (X_{k})

DÉMONSTRATION

1. La linéarité de l’espérance donne

E (S_{n}) = E (X_{1}) + \dots + E (X_{n})

. Or ces variables aléatoires suivent la même loi. Elles ont donc la même espérance. D’où, pour tout

k \in {1; \dots; n}, E (S_{n}) = n E (X_{k})

.

2. De la même manière, les variables aléatoires

X_{1}; \dots; X_{n}

étant supposées indépendantes, on obtient, pour tout

k \in {1; \dots; n}

V (S_{n}) = V (X_{1}) + \dots + V (X_{n}) = n V (X_{k})

.
Enfin, en appliquant la racine carrée (tous les termes sont positifs), on obtient

σ (S_{n}) = n σ (X_{k})

Remarque

Cette propriété généralise les résultats obtenus sur la loi binomiale en considérant dans ce cas la variable aléatoire

X

comme somme de variables de Bernoulli indépendantes de paramètre

p

Propriété

Pour tout

k \in {1; \dots; n}

, on a :
1.

E (M_{n}) = E (X_{k})

;
2.

V (M_{n}) = \frac{V ( X _{k} )}{n}

σ (M_{n}) = \frac{σ ( X _{k} )}{n}

DÉMONSTRATION

1. Soit

k \in {1; \dots; n}

. La linéarité de l’espérance et la propriété précédente donnent

E (M_{n}) = E (\frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}) = E (\frac{S _{n}}{n}) = \frac{1}{n} E (S_{n}) = \frac{1}{n} \times n E (X_{k}) = E (X_{k})

.
2. Par ailleurs, pour tout

a \in R, V (a S_{n}) = a^{2} V (S_{n})

.
En combinant cette égalité au résultat de la propriété précédente,

V (M_{n}) = V (\frac{S _{n}}{n}) = \frac{1}{n ^{2}} V (S_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} \times n V (X_{k}) = \frac{V ( X _{k} )}{n}

.
On obtient, par application de la racine carrée,

σ (M_{n}) = \frac{σ ( X _{k} )}{n}

Remarque

E (M_{n})

peut s’interpréter comme ceci : en prenant un grand nombre de fois des échantillons de taille n et en calculant à chaque fois la moyenne de l’échantillon obtenu, la moyenne théorique de ces résultats est égale à

E (X_{k})

Application et méthode 5

Énoncé

On lance cinq dés équilibrés à six faces. On note X la variable aléatoire correspondant à la somme des résultats obtenus. Calculer

E (X)

V (X)

Solution

Pour tout

k \in {1; \dots; 5}

, on note

X_{k}

la variable aléatoire correspondant au résultat du dé numéro k.
On a alors

X = X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} + X_{5}

.
Chaque dé étant équilibré, toutes ces variables aléatoires suivent la même loi de probabilité.

Détermination de $E (X)$ :
On a donc $E (X) = 5 E (X_{1}) (ou 5 E (X_{2}))$ .
Or la loi de probabilité de $X_{1}$ est :

$x_{i}$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$

$P (X_{1} = x_{i})$
$\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$

On a alors $E (X_{1}) = 1 \times \frac{1}{6} + \dots + 6 \times \frac{1}{6} = 3, 5$ .
D’où $E (X) = 5 E (X_{1}) = 5 \times 3, 5 = 17, 5$ .
Détermination de $V (X)$ :
Les variables aléatoires $X_{1}; \dots; X_{n}$ étant indépendantes et identiquement distribuées, on a $V (X) = 5 V (X_{1})$ .
Or $V (X_{1}) = \frac{1}{6} \times (1 - 3, 5)^{2} + \dots + \frac{1}{6} \times (6 - 3, 5)^{2} = \frac{3 5}{1 2}$ (en appliquant la formule usuelle de la variance).
D’où $V (X) = 5 \times \frac{3 5}{1 2} = \frac{1 7 5}{1 2}$ .

Pour s'entraîner : exercices exercices 32 et 33 p. 395

Méthode

Lorsque la variable aléatoire $X$ s’écrit comme somme de variables aléatoires de même loi de probabilité et indépendantes $X_{1}; \dots; X_{n}$ alors $X = S_{n}$ en reprenant les notations ci-dessus.
Pour déterminer l’espérance de $X$ , la propriété ci‑dessus donne, pour tout $k \in {1; \dots; n}, E (X) = n E (X_{k})$ .
En particulier, $E (X) = n E (X_{1})$ .
Il suffit alors de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X_{1}$ pour déterminer celle de $X$ .
Pour déterminer la variance de $X$ , la propriété vue ci‑dessus, valable grâce à l’indépendance des variables $X_{1}; \dots; X_{n}$ , donne $V (X) = n V (X_{1})$ .
Enfin, pour déterminer l’écart type de $X$ , on utilise $σ (X) = n σ (X_{1})$ ou $σ (X) = V (X)$ .

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$x_{i}$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P (X_{1} = x_{i})$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

3Applications

AApplications à la loi binomiale

Remarque

Rappel

DÉMONSTRATION

Application et méthode 4

Énoncé

Solution

Méthode

BÉchantillons de n variables aléatoires identiques et indépendantes

Remarque

Remarque

Application et méthode 5

Énoncé

Solution

Méthode

3
Applications

A
Applications à la loi binomiale

B
Échantillons de $n$ variables aléatoires identiques et indépendantes