Espérance et variance d'une somme de variables aléatoires

On a $\text{E(X)}=\sum _{i=1}^s{x}_i\times \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)$.

Dans le lemme, l'espérance s'écrit en fonction des issues ${\omega }_j$de l'expérience aléatoire et non en fonction des valeurs $x_i$.

Soient $\text{X}$ et $\text{Y}$ deux variables aléatoires définies sur le même univers $\Omega$. Alors : $\mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\mathrm{E}(\mathrm{X})+\mathrm{E}(\mathrm{Y})$.

Cette propriété permet de déterminer l'espérance de $\text{X + Y}$ simplement à l'aide de celles de $\text{X}$ et $\text{Y}$ (donc sans la connaissance de la loi de probabilité de $\text{X + Y}$).

Cette propriété est appelée linéarité de l'espérance.

On joue à un jeu se déroulant en deux étapes.

• Dans la phase $1$, on lance un dé équilibré à six faces.
  Si le résultat obtenu est $1$ ou $6$, on gagne $9$ points. Sinon, on perd $6$ points.
• Dans la phase $2$, on lance une pièce équilibrée.
  Si on obtient face, on gagne $6$ points. Sinon, on perd $2$ points.

Soit $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au nombre total de points obtenus. Calculer $\mathrm{E}(\mathrm{X})$.

• Lorsque l'énoncé fait état d'une variable aléatoire $\text{X}$ correspondant à une somme, à une différence ou à un produit par un réel, il est souvent préférable de décomposer cette variable aléatoire en variables aléatoires « plus simples ».
  On commence donc par écrire cette variable aléatoire en somme/différence de variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1$ et ${\mathrm{X}}_2$, plus faciles à étudier.
• On étudie la loi de probabilité de chacune de ces variables aléatoires.
• On en déduit alors $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_1\right)$ et $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_2\right)$.
• On conclut grâce à la linéarité de l'espérance.

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire définie sur $\Omega$ dont on note $\mathrm{V}(\mathrm{X})$ la variance.
Soit $a\in \mathbb{R}$. Alors $\mathrm{V}(a\mathrm{X})=a^2\mathrm{V}(\mathrm{X})$.

En reprenant les notations précédentes, on a $\mathrm{V}(\mathrm{X})=\sum _{i=1}^s{\left(x_i-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right)}^2\times \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)$.

L'écart type $\sigma (a\mathrm{X})$ vérifie $\sigma (a\mathrm{X})=|a|\sigma (\mathrm{X})$.

Si $\text{X}$ est une variable aléatoire vérifiant $\mathrm{V}(\mathrm{X})=5$, alors $\mathrm{V}(2\mathrm{X})=2^2\mathrm{V}(\mathrm{X})=4\times \mathrm{V}(\mathrm{X})=4\times 5=20$.
De plus, $\sigma (2\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(2\mathrm{X})}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}=2\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}=2\sigma (\mathrm{X})$.

Soient ${\mathrm{X}}_1,{\mathrm{X}}_2,\dots ,{\mathrm{X}}_n$, $n$ variables aléatoires à valeurs respectivement dans $E_1,E_2,\dots ,E_n$.
On dit que ${\mathrm{X}}_1,{\mathrm{X}}_2,\dots ,{\mathrm{X}}_n$ sont indépendantes lorsque, pour tous $x_1\in {\mathrm{E}}_1,x_2\in {\mathrm{E}}_2,\dots ,x_n\in {\mathrm{E}}_n$ :
$\mathrm{P}\left({\mathrm{X}}_1=x_1\cap {\mathrm{X}}_2=x_2\cap \dots \cap {\mathrm{X}}_n=x_n\right)=\mathrm{P}\left({\mathrm{X}}_1=x_1\right)\times \mathrm{P}\left({\mathrm{X}}_2=x_2\right)\times \dots \times \mathrm{P}\left({\mathrm{X}}_n=x_n\right)$.

On dit aussi que les variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$ sont mutuellement indépendantes.

Attention : Si les variables ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$ sont deux à deux indépendantes, on ne peut pas en conclure que ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$ sont mutuellement indépendantes.
En effet, si on considère deux lancers de dés équilibrés indépendants et si on note :

• ${\mathrm{X}}_1$ (respectivement ${\mathrm{X}}_2$) la variable aléatoire valant 1 si le résultat du premier (second) dé est pair ;
• $\text{Y}$ la variable aléatoire valant $1$ si la somme des résultats des deux dés est paire et $0$ sinon.

On vérifie que ${\mathrm{X}}_1,{\mathrm{X}}_2$ et $\text{Y}$ sont deux à deux indépendantes mais pas mutuellement indépendantes.

Connaître la parité de la somme n'aide pas à deviner celle d'un dé. De même, connaître la parité d'un dé n'aide pas à déterminer celle de la somme, ni de l'autre dé. Mais, si l'on sait la parité des deux dés, alors on connaît celle de la somme.

Si $\text{X}$ et $\text{Y}$ sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur $\Omega$, alors :
$\mathrm{V}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\mathrm{V}(\mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y})$

Si ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$ sont $n$ variables aléatoires indépendantes définies sur $\Omega$, alors $\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_n\right)=\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1\right)+\dots +\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_n\right)$.

Voir exercice

77 p. 405

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• Lorsqu'une variable aléatoire $\text{X}$ correspond à une somme (différence) de variables aléatoires ou à un simple produit par un réel, il est souvent préférable de décomposer cette variable aléatoire en variables aléatoires « plus simples ».
• Ici, on commence donc par écrire $\text{X}$ comme la somme de ${\mathrm{X}}_1$ et ${\mathrm{X}}_2$.
• On précise que ${\mathrm{X}}_1$ et ${\mathrm{X}}_2$ sont indépendantes.
• On étudie la loi de probabilité de chacune de ces variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1$ et ${\mathrm{X}}_2$.
• On en déduit alors $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_1\right)$ et $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_2\right)$.
• On obtient alors $\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1\right)$ et $\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_2\right)$.
• On conclut enfin grâce aux propriétés de la variance dans le cas de variables aléatoires indépendantes : on a $\mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1\right)+\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_2\right)$.

On avait obtenu les lois de probabilité suivantes.

• Dans un premier temps, on calcule $\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1\right)$.
  On avait obtenu $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_1\right)=-1$ donc
  $\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1\right)=\frac{2}{3}(-6-(-1){)}^2+\frac{1}{3}(9-(-1){)}^2\text{ soit }\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1\right)=\frac{150}{3}=50$.
• On calcule ensuite $\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_2\right)$
  On avait obtenu $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_2\right)=2$ donc
  $\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_2\right)=\frac{1}{2}(-2-2{)}^2+\frac{1}{2}(6-2{)}^2\text{ soit }\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_2\right)=16$.

Les variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1$ et ${\mathrm{X}}_2$ sont indépendantes.
On a donc $\mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1\right)+\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_2\right)=50+16=66$.

Exercices

26 et 27 p. 395