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2. Espérance et variance d’une somme de variables aléatoires

P.383-386

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COURS 2

2
Espérance et variance d’une somme de variables aléatoires

Dans cette partie, on considère une variable aléatoire

X

définie sur

Ω = {ω_{1}; ω_{2}; \dots; ω_{r}}

et on note

{x_{1}; x_{2}; \dots; x_{s}}

l’ensemble des valeurs prises par

X

où

r

s

sont des entiers naturels non nuls.

Rappel

On a

E(X) = i = 1 \sum s x_{i} \times P (X = x_{i})

A
Espérance d’une somme de variables aléatoires

Lemme (admis)

En reprenant les notations précédentes, on a

E (X) = j = 1 \sum r X (ω_{j}) P ({ω_{j}})

Exemple

Dans le cadre d’un lancer de dé cubique équilibré, on gagne

2

€ si on obtient un nombre pair et on perd

6

€ si on obtient un nombre impair.
L’espérance de la variable aléatoire

X

correspondant au gain remporté s’élève à

E (X) = X (1) \times P ({1}) + \dots + X (6) \times P ({6}) = (- 6) \times \frac{1}{6} + \dots + 2 \times \frac{1}{6} = - 2 €

Remarque

Dans le lemme, l’espérance s’écrit en fonction des issues

ω_{j}

de l’expérience aléatoire et non en fonction des valeurs

x_{i}

Propriété

Soient

X

Y

deux variables aléatoires définies sur le même univers

Ω

. Alors :

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

DÉMONSTRATION

Soient

X

Y

deux variables aléatoires définies sur

Ω

. Soit

Z

la variable aléatoire définie sur

Ω

par

Z = X + Y

.

On a alors

E (X + Y) = E (Z) = j = 1 \sum r Z (ω_{j}) P ({ω_{j}})

(lemme précédent appliqué à

Z

) et donc

E (X + Y) = j = 1 \sum r (X + Y) (ω_{j}) P ({ω_{j}})

en utilisant

Z = X + Y

.

On a par ailleurs

X + Y (ω_{j}) = X (ω_{j}) + Y (ω_{j})

(somme de fonctions).

Donc

E (X + Y) = j = 1 \sum r X (ω_{j}) P ({ω_{j}}) + j = 1 \sum r Y (ω_{j}) P ({ω_{j}})

.

D’où

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

en identifiant les deux sommes précédentes à

E(X)

E(Y)

Remarque

Cette propriété permet de déterminer l’espérance de

X + Y

simplement à l’aide de celles de

X

Y

(donc sans la connaissance de la loi de probabilité de

X + Y

Remarque

On a également

E (X - Y) = E (X) - E (Y)

Propriété

Soient

X

Y

deux variables aléatoires définies sur un même univers

Ω

a

un nombre réel.
Alors

E (a X) = a E (X) et E (a X + Y) = a E (X) + E (Y)

DÉMONSTRATION

a = 0

, la propriété est évidente car

E (0 X) = 0 et 0 E (X) = 0

.
On suppose que

a \neq = 0

En notant $x_{1}; \dots; x_{s}$ , les valeurs prises par $X$ , alors $a X$ prend les valeurs $a x_{1}; \dots; a x_{s}$ .
Par définition, $E (a X) = i = 1 \sum s a x_{i} P (a X = α x_{i})$ .
Ainsi, $E (a X) = i = 1 \sum s a x_{i} P (X = x_{i}) = a \times i = 1 \sum s x_{i} P (X = x_{i}) = a E (X)$ .
La deuxième égalité est démontrée dans l’exercice
50
p. 397.

Remarque

Cette propriété est appelée linéarité de l’espérance.

Application et méthode 2

Énoncé

On joue à un jeu se déroulant en deux étapes.

Dans la phase $1$ , on lance un dé équilibré à six faces.
Si le résultat obtenu est $1$ ou $6$ , on gagne $9$ points. Sinon, on perd $6$ points.
Dans la phase $2$ , on lance une pièce équilibrée.
Si on obtient face, on gagne $6$ points. Sinon, on perd $2$ points.

Soit

X

la variable aléatoire correspondant au nombre total de points obtenus. Calculer

E (X)

Solution

Soient $X_{1}$ la variable aléatoire correspondant au gain obtenu à la première étape et $X_{2}$ la variable aléatoire correspondant au gain obtenu à la seconde étape.
Dans ces conditions, on a $X = X_{1} + X_{2}$ .
On étudie ensuite les lois de probabilité de $X_{1}$ et $X_{2}$ .
Loi de probabilité de $X_{1}$
$X_{1}$ correspond au gain obtenu à la seconde étape qui ne prend que deux valeurs : $6$ et $- 2$ . Il s'agit aussi d'une situation d’équiprobabilité, donc on obtient $P (X_{2} = - 2) = \frac{1}{2} et P (X_{2} = 6) = \frac{1}{2}$ .
On peut maintenant calculer les espérances de ces deux variables aléatoires : $E (X_{1}) = - 6 \times \frac{2}{3} + 9 \times \frac{1}{3} = - 1 et E (X_{2}) = - 2 \times \frac{1}{2} + 6 \times \frac{1}{2} = 2$ .
En conclusion, on a $E (X) = E (X_{1}) + E (X_{2}) = - 1 + 2 = 1$ .

Pour s'entraîner : exercices exercices 23 et 24 p. 394

Méthode

Lorsque l’énoncé fait état d’une variable aléatoire $X$ correspondant à une somme, à une différence ou à un produit par un réel, il est souvent préférable de décomposer cette variable aléatoire en variables aléatoires « plus simples ».
On commence donc par écrire cette variable aléatoire en somme/différence de variables aléatoires $X_{1}$ et $X_{2}$ , plus faciles à étudier.
On étudie la loi de probabilité de chacune de ces variables aléatoires.
On en déduit alors $E (X_{1})$ et $E (X_{2})$ .
On conclut grâce à la linéarité de l’espérance.

B
Variance d’une somme de variables aléatoires indépendantes

Propriété

Soit

X

une variable aléatoire définie sur

Ω

dont on note

V (X)

la variance.
Soit

a \in R

. Alors

V (a X) = a^{2} V (X)

DÉMONSTRATION

Si

a = 0

, la propriété est évidente car

V (0 X) = 0

0^{2} \times V (X) = 0

.
On suppose que

a \neq = 0

.

En notant

x_{1}; \dots; x_{s}

les valeurs prises par

X

, alors

a X

prend les valeurs

a x_{1}; \dots; a x_{s}

.
Par définition,

V (a X) = i = 1 \sum s (a x_{i} - E (a X))^{2} P (a X = a x_{i})

.

Donc

V (a X) = i = 1 \sum s (a x_{i} - a E (X))^{2} P (a X = a x_{i})

par propriété de l’espérance.

D’où,

V (a X) = i = 1 \sum s a^{2} (x_{i} - E (X))^{2} P (X = x_{i})

car

a X = a x_{i}

si, et seulement si,

X = x_{i}

.

Ainsi,

V (a X) = a^{2} i = 1 \sum 5 (x_{i} - E (X))^{2} P (X = x_{i}) = a^{2} V (X)

Exemple

Si

X

est une variable aléatoire vérifiant

V (X) = 5

, alors

V (2 X) = 2^{2} V (X) = 4 \times V (X) = 4 \times 5 = 20

.
De plus,

σ (2 X) = V (2 X) = 20 = 25 = 2 V (X) = 2 σ (X)

Rappel

En reprenant les notations précédentes, on a

V (X) = i = 1 \sum s (x_{i} - E (X))^{2} \times P (X = x_{i})

Remarque

L'écart type

σ (a X)

vérifie

σ (a X) = ∣ a ∣ σ (X)

Définition

Soient

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

n

variables aléatoires à valeurs respectivement dans

E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}

.
On dit que

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

sont indépendantes lorsque, pour tous

x_{1} \in E_{1}, x_{2} \in E_{2}, \dots, x_{n} \in E_{n}

P (X_{1} = x_{1} \cap X_{2} = x_{2} \cap \dots \cap X_{n} = x_{n}) = P (X_{1} = x_{1}) \times P (X_{2} = x_{2}) \times \dots \times P (X_{n} = x_{n})

Attention : Si les variables

X_{1}; \dots; X_{n}

sont deux à deux indépendantes, on ne peut pas en conclure que

X_{1}; \dots; X_{n}

sont mutuellement indépendantes.
En effet, si on considère deux lancers de dés équilibrés indépendants et si on note :

$X_{1}$ (respectivement $X_{2}$ ) la variable aléatoire valant 1 si le résultat du premier (second) dé est pair ;
$Y$ la variable aléatoire valant $1$ si la somme des résultats des deux dés est paire et $0$ sinon.

On vérifie que

X_{1}, X_{2}

Y

sont deux à deux indépendantes mais pas mutuellement indépendantes.

Propriété

Si

X

Y

sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur

Ω

, alors :

V (X + Y) = V (X) + V (Y)

DÉMONSTRATION

Voir exercice

p. 405.

Remarque

On dit aussi que les variables aléatoires

X_{1}; \dots; X_{n}

sont mutuellement indépendantes.

Remarque

Connaître la parité de la somme n’aide pas à deviner celle d’un dé. De même, connaître la parité d’un dé n’aide pas à déterminer celle de la somme, ni de l’autre dé. Mais, si l’on sait la parité des deux dés, alors on connaît celle de la somme.

Remarque

X_{1}; \dots; X_{n}

sont

n

variables aléatoires indépendantes définies sur

Ω

, alors

V (X_{1} + \dots + X_{n}) = V (X_{1}) + \dots + V (X_{n})

Application et méthode 3

Énoncé

On reprend le jeu et la variable aléatoire de l’application précédente (partie A). Calculer

V(X)

Solution

On avait obtenu les lois de probabilité suivantes.

$x_{i}$	$- 6$	$9$
$P (X_{1} = x_{i})$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$

$y_{i}$	$- 2$	$6$
$P (X_{2} = y_{i})$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

Dans un premier temps, on calcule $V (X_{1})$ .
On avait obtenu $E (X_{1}) = - 1$ donc
$V (X_{1}) = \frac{2}{3} (- 6 - (- 1))^{2} + \frac{1}{3} (9 - (- 1))^{2} soit V (X_{1}) = \frac{1 5 0}{3} = 50$ .
On calcule ensuite $V (X_{2})$
On avait obtenu $E (X_{2}) = 2$ donc
$V (X_{2}) = \frac{1}{2} (- 2 - 2)^{2} + \frac{1}{2} (6 - 2)^{2} soit V (X_{2}) = 16$ .

Les variables aléatoires

X_{1}

X_{2}

sont indépendantes.
On a donc

V (X) = V (X_{1}) + V (X_{2}) = 50 + 16 = 66

Pour s'entraîner : exercices exercices 26 et 27 p. 395

Méthode

Lorsqu’une variable aléatoire $X$ correspond à une somme (différence) de variables aléatoires ou à un simple produit par un réel, il est souvent préférable de décomposer cette variable aléatoire en variables aléatoires « plus simples ».
Ici, on commence donc par écrire $X$ comme la somme de $X_{1}$ et $X_{2}$ .
On précise que $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes.
On étudie la loi de probabilité de chacune de ces variables aléatoires $X_{1}$ et $X_{2}$ .
On en déduit alors $E (X_{1})$ et $E (X_{2})$ .
On obtient alors $V (X_{1})$ et $V (X_{2})$ .
On conclut enfin grâce aux propriétés de la variance dans le cas de variables aléatoires indépendantes : on a $V (X) = V (X_{1}) + V (X_{2})$ .

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2Espérance et variance d’une somme de variables aléatoires

Rappel

AEspérance d’une somme de variables aléatoires

Remarque

DÉMONSTRATION

Remarque

Remarque

DÉMONSTRATION

Remarque

Application et méthode 2

Énoncé

Solution

Méthode

BVariance d’une somme de variables aléatoires indépendantes

Rappel

Remarque

Remarque

Remarque

Remarque

Application et méthode 3

Énoncé

Solution

Méthode

2
Espérance et variance d’une somme de variables aléatoires

A
Espérance d’une somme de variables aléatoires

B
Variance d’une somme de variables aléatoires indépendantes