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Espérance et variance d’une somme de variables aléatoires

Exemple

Dans le cadre d’un lancer de dé cubique équilibré, on gagne $2$ € si on obtient un nombre pair et on perd $6$ € si on obtient un nombre impair.
L’espérance de la variable aléatoire $\text{X}$ correspondant au gain remporté s’élève à $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\mathrm{X}(1)\times \mathrm{P}(\{1\})+\dots +\mathrm{X}(6)\times \mathrm{P}(\{6\})=(-6)\times \frac{1}{6}+\dots +2\times \frac{1}{6}=-2€$.

Dans le lemme, l’espérance s’écrit en fonction des issues ${\omega }_j$de l’expérience aléatoire et non en fonction des valeurs $x_i$.

DÉMONSTRATION

Soient $\text{X}$ et $\text{Y}$ deux variables aléatoires définies sur $\Omega$. Soit $\text{Z}$ la variable aléatoire définie sur $\Omega$ par $\text{Z = X + Y}$.

On a alors $\mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\mathrm{E}(\mathrm{Z})=\sum _{j=1}^r\mathrm{Z}\left({\omega }_j\right)\mathrm{P}\left(\left\{{\omega }_j\right\}\right)$ (lemme précédent appliqué à $\text{Z}$) et donc $\mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\sum _{j=1}^r(\mathrm{X}+\mathrm{Y})\left({\omega }_j\right)\mathrm{P}\left(\left\{{\omega }_j\right\}\right)$ en utilisant $\text{Z = X + Y}$.

On a par ailleurs $X+Y\left({\omega }_j\right)=X\left({\omega }_j\right)+Y\left({\omega }_j\right)$ (somme de fonctions).

Donc $\mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\sum _{j=1}^r\mathrm{X}\left({\omega }_j\right)\mathrm{P}\left(\left\{{\omega }_j\right\}\right)+\sum _{j=1}^r\mathrm{Y}\left({\omega }_j\right)\mathrm{P}\left(\left\{{\omega }_j\right\}\right)$.

D’où $\text{E(X + Y) = E(X) + E(Y)}$ en identifiant les deux sommes précédentes à $\text{E(X)}$ et $\text{E(Y)}$.

Cette propriété permet de déterminer l’espérance de $\text{X + Y}$ simplement à l’aide de celles de $\text{X}$ et $\text{Y}$ (donc sans la connaissance de la loi de probabilité de $\text{X + Y}$).

On a également $\mathrm{E}(\mathrm{X}-\mathrm{Y})=\mathrm{E}(\mathrm{X})-\mathrm{E}(\mathrm{Y})$.

DÉMONSTRATION

Si $a=0$, la propriété est évidente car $\mathrm{E}(0\mathrm{X})=0\text{ et }0\mathrm{E}(\mathrm{X})=0$.
On suppose que $a\ne 0$.

• En notant $x_1;\dots ;x_s$, les valeurs prises par $\text{X}$, alors $a\text{X}$ prend les valeurs $a{x}_1;\dots ;a{x}_s$.
  Par définition, $\mathrm{E}(a\mathrm{X})=\sum _{i=1}^{s}a{x}_i\mathrm{P}\left(a\mathrm{X}=\alpha x_i\right)$.
  Ainsi, $\mathrm{E}(a\mathrm{X})=\sum _{i=1}^{s}a{x}_i\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)=a\times \sum _{i=1}^s{x}_i\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)=a\mathrm{E}(\mathrm{X})$.
• La deuxième égalité est démontrée dans l’exercice
  50
  p. 397.

Cette propriété est appelée linéarité de l’espérance.

On joue à un jeu se déroulant en deux étapes.

• Dans la phase $1$, on lance un dé équilibré à six faces.
  Si le résultat obtenu est $1$ ou $6$, on gagne $9$ points. Sinon, on perd $6$ points.
• Dans la phase $2$, on lance une pièce équilibrée.
  Si on obtient face, on gagne $6$ points. Sinon, on perd $2$ points.

Soit $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au nombre total de points obtenus. Calculer $\mathrm{E}(\mathrm{X})$.

DÉMONSTRATION

Si $a=0$, la propriété est évidente car $\mathrm{V}(0\mathrm{X})=0$ et $0^2\times V(X)=0$.
On suppose que $a\ne 0$.

En notant $x_1;\dots ;x_s$ les valeurs prises par $\text{X}$, alors $a\text{X}$ prend les valeurs $a{x}_1;\dots ;a{x}_s$.
Par définition, $\mathrm{V}(a\mathrm{X})=\sum _{i=1}^s{\left(a{x}_i-\mathrm{E}(a\mathrm{X})\right)}^2\mathrm{P}\left(a\mathrm{X}=a{x}_i\right)$.

Donc $\mathrm{V}(a\mathrm{X})=\sum _{i=1}^s{\left(a{x}_i-a\mathrm{E}(\mathrm{X})\right)}^2\mathrm{P}\left(a\mathrm{X}=a{x}_i\right)$ par propriété de l’espérance.

D’où, $V(aX)=\sum _{i=1}^s{a}^2{\left(x_i-E(X)\right)}^{2}P\left(X=x_i\right)$ car $a\mathrm{X}=a{x}_i$ si, et seulement si, $X=x_i$.

Ainsi, $\mathrm{V}(a\mathrm{X})=a^2\sum _{i=1}^5{\left(x_i-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right)}^2\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)=a^2\mathrm{V}(\mathrm{X})$.

Exemple

Si $\text{X}$ est une variable aléatoire vérifiant $\mathrm{V}(\mathrm{X})=5$, alors $\mathrm{V}(2\mathrm{X})=2^2\mathrm{V}(\mathrm{X})=4\times \mathrm{V}(\mathrm{X})=4\times 5=20$.
De plus, $\sigma (2\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(2\mathrm{X})}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}=2\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}=2\sigma (\mathrm{X})$.

En reprenant les notations précédentes, on a $\mathrm{V}(\mathrm{X})=\sum _{i=1}^s{\left(x_i-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right)}^2\times \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)$.

L'écart type $\sigma (a\mathrm{X})$ vérifie $\sigma (a\mathrm{X})=|a|\sigma (\mathrm{X})$.

Attention : Si les variables ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$ sont deux à deux indépendantes, on ne peut pas en conclure que ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$ sont mutuellement indépendantes.
En effet, si on considère deux lancers de dés équilibrés indépendants et si on note :

• ${\mathrm{X}}_1$ (respectivement ${\mathrm{X}}_2$) la variable aléatoire valant 1 si le résultat du premier (second) dé est pair ;
• $\text{Y}$ la variable aléatoire valant $1$ si la somme des résultats des deux dés est paire et $0$ sinon.

On vérifie que ${\mathrm{X}}_1,{\mathrm{X}}_2$ et $\text{Y}$ sont deux à deux indépendantes mais pas mutuellement indépendantes.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

77

p. 405.

On dit aussi que les variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$ sont mutuellement indépendantes.

Connaître la parité de la somme n’aide pas à deviner celle d’un dé. De même, connaître la parité d’un dé n’aide pas à déterminer celle de la somme, ni de l’autre dé. Mais, si l’on sait la parité des deux dés, alors on connaît celle de la somme.

Si ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$ sont $n$ variables aléatoires indépendantes définies sur $\Omega$, alors $\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_n\right)=\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1\right)+\dots +\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_n\right)$.

On reprend le jeu et la variable aléatoire de l’application précédente (partie A). Calculer $\text{V(X)}$.