2. Espérance et variance d’une somme de variables aléatoires
P.383-386
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COURS 2
2
Espérance et variance d’une somme de
variables aléatoires
Dans cette partie, on considère une variable aléatoire X définie sur Ω={ω1;ω2;…;ωr}
et on note {x1;x2;…;xs} l’ensemble des valeurs prises par X où r et s sont des entiers
naturels non nuls.
Rappel
On a E(X)=i=1∑sxi×P(X=xi).
A
Espérance d’une somme de variables aléatoires
Lemme (admis)
En reprenant les notations précédentes, on a E(X)=j=1∑rX(ωj)P({ωj}).
Exemple
Dans le cadre d’un lancer de dé cubique équilibré, on gagne 2 € si on obtient un
nombre pair et on perd 6 € si on obtient un nombre impair.
L’espérance de la variable aléatoire X correspondant au gain remporté s’élève à E(X)=X(1)×P({1})+…+X(6)×P({6})=(−6)×61+…+2×61=−2€.
Remarque
Dans le
lemme, l’espérance
s’écrit en fonction
des issues ωjde
l’expérience aléatoire
et non en fonction
des valeurs xi.
Propriété
Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur le même univers Ω. Alors : E(X+Y)=E(X)+E(Y).
DÉMONSTRATION
Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur Ω. Soit Z la variable aléatoire
définie sur Ω par Z = X + Y.
On a alors E(X+Y)=E(Z)=j=1∑rZ(ωj)P({ωj}) (lemme précédent appliqué à Z) et donc E(X+Y)=j=1∑r(X+Y)(ωj)P({ωj}) en utilisant Z = X + Y.
On a par ailleurs X+Y(ωj)=X(ωj)+Y(ωj) (somme de fonctions).
Donc E(X+Y)=j=1∑rX(ωj)P({ωj})+j=1∑rY(ωj)P({ωj}).
D’où E(X + Y) = E(X) + E(Y) en identifiant les deux sommes précédentes à E(X) et E(Y).
Remarque
Cette
propriété permet
de déterminer
l’espérance de
X + Y simplement
à l’aide de celles de
X et Y (donc sans la
connaissance de la
loi de probabilité de
X + Y).
Remarque
On a également
E(X−Y)=E(X)−E(Y).
Propriété
Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un même univers Ω et a un nombre réel.
Alors E(aX)=aE(X) et E(aX+Y)=aE(X)+E(Y).
DÉMONSTRATION
Si a=0, la propriété est évidente car E(0X)=0 et 0E(X)=0.
On suppose que a=0.
En notant x1;…;xs, les valeurs prises par X, alors aX prend les valeurs ax1;…;axs.
Par définition, E(aX)=i=1∑saxiP(aX=αxi).
Ainsi, E(aX)=i=1∑saxiP(X=xi)=a×i=1∑sxiP(X=xi)=aE(X).
Cette
propriété est
appelée linéarité de
l’espérance.
Application et méthode 2
Énoncé
On joue à un jeu se déroulant en deux étapes.
Dans la phase 1, on lance un dé équilibré à six faces.
Si le résultat obtenu est 1 ou 6, on gagne 9 points. Sinon, on perd 6 points.
Dans la phase 2, on lance une pièce équilibrée.
Si on obtient face, on gagne 6 points. Sinon, on perd 2 points.
Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre total de points obtenus.
Calculer E(X).
Solution
Soient X1 la variable aléatoire correspondant au gain obtenu à la première étape et X2 la variable aléatoire correspondant au gain obtenu à
la seconde étape.
Dans ces conditions, on a X=X1+X2.
On étudie ensuite les lois de probabilité de X1 et X2.
Loi de probabilité de X1 X1 correspond au gain obtenu à la seconde étape qui ne prend que
deux valeurs : 6 et −2. Il s'agit aussi d'une situation d’équiprobabilité,
donc on obtient P(X2=−2)=21 et P(X2=6)=21.
On peut maintenant calculer les espérances de ces deux variables
aléatoires : E(X1)=−6×32+9×31=−1 et E(X2)=−2×21+6×21=2.
Lorsque l’énoncé fait état d’une
variable aléatoire X correspondant à
une somme, à une différence ou à un
produit par un réel, il est souvent préférable
de décomposer cette variable
aléatoire en variables aléatoires « plus
simples ».
On commence donc par écrire cette
variable aléatoire en somme/différence
de variables aléatoires X1 et X2, plus
faciles à étudier.
On étudie la loi de probabilité de chacune
de ces variables aléatoires.
On en déduit alors E(X1) et E(X2).
On conclut grâce à la linéarité de
l’espérance.
B
Variance d’une somme de variables aléatoires indépendantes
Propriété
Soit X une variable aléatoire définie sur Ω dont on note V(X) la variance.
Soit a∈R. Alors V(aX)=a2V(X).
DÉMONSTRATION
Si a=0, la propriété est évidente car V(0X)=0 et 02×V(X)=0.
On suppose que a=0.
En notant x1;…;xs les valeurs prises par X, alors aX prend les valeurs ax1;…;axs.
Par définition, V(aX)=i=1∑s(axi−E(aX))2P(aX=axi).
Donc V(aX)=i=1∑s(axi−aE(X))2P(aX=axi) par propriété de l’espérance.
D’où, V(aX)=i=1∑sa2(xi−E(X))2P(X=xi) car aX=axi si, et seulement si, X=xi.
Ainsi, V(aX)=a2i=1∑5(xi−E(X))2P(X=xi)=a2V(X).
Exemple
Si X est une variable aléatoire vérifiant V(X)=5, alors V(2X)=22V(X)=4×V(X)=4×5=20.
De plus, σ(2X)=V(2X)=20=25=2V(X)=2σ(X).
Rappel
En reprenant
les notations
précédentes, on a V(X)=i=1∑s(xi−E(X))2×P(X=xi).
Remarque
L'écart type σ(aX) vérifie σ(aX)=∣a∣σ(X).
Définition
Soient X1,X2,…,Xn, n variables aléatoires à valeurs respectivement dans E1,E2,…,En.
On dit que X1,X2,…,Xn sont indépendantes lorsque, pour tous x1∈E1,x2∈E2,…,xn∈En :
P(X1=x1∩X2=x2∩…∩Xn=xn)=P(X1=x1)×P(X2=x2)×…×P(Xn=xn).
Attention : Si les variables X1;…;Xn sont deux à deux indépendantes, on ne peut pas en
conclure que X1;…;Xn sont mutuellement indépendantes.
En effet, si on considère deux lancers de dés équilibrés indépendants et si on note :
X1 (respectivement X2) la variable aléatoire valant 1 si le résultat du premier (second) dé est pair ;
Y la variable aléatoire valant 1 si la somme des résultats des deux dés est paire et 0 sinon.
On vérifie que X1,X2 et Y sont deux à deux indépendantes mais pas mutuellement
indépendantes.
Propriété
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur Ω, alors :
V(X+Y)=V(X)+V(Y)
On
dit aussi que les
variables aléatoires
X1;…;Xn sont
mutuellement
indépendantes.
Remarque
Connaître
la parité de la somme
n’aide pas à deviner
celle d’un dé. De
même, connaître la
parité d’un dé n’aide
pas à déterminer celle
de la somme, ni de
l’autre dé. Mais, si l’on
sait la parité des deux
dés, alors on connaît
celle de la somme.
Remarque
Si X1;…;Xn sont n
variables aléatoires
indépendantes définies
sur Ω, alors V(X1+…+Xn)=V(X1)+…+V(Xn).
Application et méthode 3
Énoncé
On reprend le jeu et la variable aléatoire de l’application précédente (partie A).
Calculer V(X).
Solution
On avait obtenu les lois de probabilité suivantes.
xi
−6
9
P(X1=xi)
32
31
yi
−2
6
P(X2=yi)
21
21
Dans un premier temps, on calcule V(X1).
On avait obtenu E(X1)=−1 donc V(X1)=32(−6−(−1))2+31(9−(−1))2 soit V(X1)=3150=50.
On calcule ensuite V(X2)
On avait obtenu E(X2)=2 donc V(X2)=21(−2−2)2+21(6−2)2 soit V(X2)=16.
Les variables aléatoires X1 et X2 sont indépendantes.
On a donc V(X)=V(X1)+V(X2)=50+16=66.
Lorsqu’une variable aléatoire X correspond à une
somme (différence) de variables aléatoires ou à un
simple produit par un réel, il est souvent préférable
de décomposer cette variable aléatoire en variables
aléatoires « plus simples ».
Ici, on commence donc par écrire X comme la
somme de X1 et X2.
On précise que X1 et X2 sont indépendantes.
On étudie la loi de probabilité de chacune de ces
variables aléatoires X1 et X2.
On en déduit alors E(X1) et E(X2).
On obtient alors V(X1) et V(X2).
On conclut enfin grâce aux propriétés de la variance
dans le cas de variables aléatoires indépendantes :
on a V(X)=V(X1)+V(X2).
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