On a \text{E(X)}=\displaystyle\sum_{i=1}^{s} x_{i} \times \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right).

Dans le lemme, l'espérance s'écrit en fonction des issues \omega_{j} de l'expérience aléatoire et non en fonction des valeurs x_{i}.

Soient \text{X} et \text{Y} deux variables aléatoires définies sur le même univers \Omega. Alors : \mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\mathrm{E}(\mathrm{X})+\mathrm{E}(\mathrm{Y}).

Cette propriété permet de déterminer l'espérance de \text{X + Y} simplement à l'aide de celles de \text{X} et \text{Y} (donc sans la connaissance de la loi de probabilité de \text{X + Y}).

Cette propriété est appelée linéarité de l'espérance.

On joue à un jeu se déroulant en deux étapes.

• Dans la phase 1, on lance un dé équilibré à six faces.
  Si le résultat obtenu est 1 ou 6, on gagne 9 points. Sinon, on perd 6 points.
• Dans la phase 2, on lance une pièce équilibrée.
  Si on obtient face, on gagne 6 points. Sinon, on perd 2 points.

Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au nombre total de points obtenus. Calculer \mathrm{E}(\mathrm{X}).

• Lorsque l'énoncé fait état d'une variable aléatoire \text{X} correspondant à une somme, à une différence ou à un produit par un réel, il est souvent préférable de décomposer cette variable aléatoire en variables aléatoires « plus simples ».
  On commence donc par écrire cette variable aléatoire en somme/différence de variables aléatoires \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2}, plus faciles à étudier.
• On étudie la loi de probabilité de chacune de ces variables aléatoires.
• On en déduit alors \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right) et \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{2}\right).
• On conclut grâce à la linéarité de l'espérance.

Soit \text{X} une variable aléatoire définie sur \Omega dont on note \mathrm{V}(\mathrm{X}) la variance.
Soit a \in \mathbb{R}. Alors \mathrm{V}(a \mathrm{X})=a^{2} \mathrm{V}(\mathrm{X}).

En reprenant les notations précédentes, on a \mathrm{V}(\mathrm{X})=\displaystyle\sum_{i=1}^{s}\left(x_{i}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right)^{2}\times \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right).

L'écart type \sigma(a \mathrm{X}) vérifie \sigma(a \mathrm{X})=|a| \sigma(\mathrm{X}).

Si \text{X} est une variable aléatoire vérifiant \mathrm{V}(\mathrm{X})=5, alors \mathrm{V}(2 \mathrm{X})=2^{2} \mathrm{V}(\mathrm{X})=4 \times \mathrm{V}(\mathrm{X})=4 \times 5=20.
De plus, \sigma(2 \mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(2 \mathrm{X})}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5}=2 \sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}=2 \sigma(\mathrm{X}).

Soient \mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2}, \ldots, \mathrm{X}_{n}, n variables aléatoires à valeurs respectivement dans E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}.
On dit que \mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2}, \ldots, \mathrm{X}_{n} sont indépendantes lorsque, pour tous x_{1} \in \mathrm{E}_{1}, x_{2} \in \mathrm{E}_{2}, \ldots, x_{n} \in \mathrm{E}_{n} :
\mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{1}=x_{1} \cap \mathrm{X}_{2}=x_{2} \cap \ldots \cap \mathrm{X}_{n}=x_{n}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{1}=x_{1}\right) \times \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{2}=x_{2}\right) \times \ldots \times \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{n}=x_{n}\right).

On dit aussi que les variables aléatoires \mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{n} sont mutuellement indépendantes.

Attention : Si les variables \mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{n} sont deux à deux indépendantes, on ne peut pas en conclure que \mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{n} sont mutuellement indépendantes.
En effet, si on considère deux lancers de dés équilibrés indépendants et si on note :

• \mathrm{X}_{1} (respectivement \mathrm{X}_{2}) la variable aléatoire valant 1 si le résultat du premier (second) dé est pair ;
• \text{Y} la variable aléatoire valant 1 si la somme des résultats des deux dés est paire et 0 sinon.

On vérifie que \mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2} et \text{Y} sont deux à deux indépendantes mais pas mutuellement indépendantes.

Connaître la parité de la somme n'aide pas à deviner celle d'un dé. De même, connaître la parité d'un dé n'aide pas à déterminer celle de la somme, ni de l'autre dé. Mais, si l'on sait la parité des deux dés, alors on connaît celle de la somme.

Si \text{X} et \text{Y} sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur \Omega, alors :
\mathrm{V}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\mathrm{V}(\mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y})

Si \mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{n} sont n variables aléatoires indépendantes définies sur \Omega, alors \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n}\right)=\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+\ldots+\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{n}\right).

Voir exercice

77 p. 405

.

• Lorsqu'une variable aléatoire \text{X} correspond à une somme (différence) de variables aléatoires ou à un simple produit par un réel, il est souvent préférable de décomposer cette variable aléatoire en variables aléatoires « plus simples ».
• Ici, on commence donc par écrire \text{X} comme la somme de \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2}.
• On précise que \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2} sont indépendantes.
• On étudie la loi de probabilité de chacune de ces variables aléatoires \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2}.
• On en déduit alors \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right) et \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{2}\right).
• On obtient alors \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right) et \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{2}\right).
• On conclut enfin grâce aux propriétés de la variance dans le cas de variables aléatoires indépendantes : on a \mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{2}\right).

On avait obtenu les lois de probabilité suivantes.

• Dans un premier temps, on calcule \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right).
  On avait obtenu \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right)=-1 donc
  \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)=\frac{2}{3}(-6-(-1))^{2}+\frac{1}{3}(9-(-1))^{2} \text { soit } \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)=\frac{150}{3}=50.
• On calcule ensuite \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{2}\right)
  On avait obtenu \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{2}\right)=2 donc
  \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{2}\right)=\frac{1}{2}(-2-2)^{2}+\frac{1}{2}(6-2)^{2} \text { soit } \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{2}\right)=16.

Les variables aléatoires \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2} sont indépendantes.
On a donc \mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{2}\right)=50+16=66.

Exercices

26 et 27 p. 395