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2. Espérance et variance d’une somme de variables aléatoires
P.383-386

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COURS 2


2
Espérance et variance d’une somme de variables aléatoires





Dans cette partie, on considère une variable aléatoire définie sur et on note l’ensemble des valeurs prises par et sont des entiers naturels non nuls.

Rappel

On a .

A
Espérance d’une somme de variables aléatoires


Lemme (admis)

En reprenant les notations précédentes, on a .

Exemple

Dans le cadre d’un lancer de dé cubique équilibré, on gagne  € si on obtient un nombre pair et on perd  € si on obtient un nombre impair.
L’espérance de la variable aléatoire correspondant au gain remporté s’élève à .

Remarque

Dans le lemme, l’espérance s’écrit en fonction des issues de l’expérience aléatoire et non en fonction des valeurs .

Propriété

Soient et deux variables aléatoires définies sur le même univers . Alors : .

DÉMONSTRATION

Soient et deux variables aléatoires définies sur . Soit la variable aléatoire définie sur par .

On a alors (lemme précédent appliqué à ) et donc en utilisant .

On a par ailleurs (somme de fonctions).

Donc .

D’où en identifiant les deux sommes précédentes à et .

Remarque

Cette propriété permet de déterminer l’espérance de simplement à l’aide de celles de et (donc sans la connaissance de la loi de probabilité de ).

Remarque

On a également .

Propriété

Soient et deux variables aléatoires définies sur un même univers et un nombre réel.
Alors .

DÉMONSTRATION

Si , la propriété est évidente car .
On suppose que .
  • En notant , les valeurs prises par , alors prend les valeurs .
    Par définition, .
    Ainsi, .
  • La deuxième égalité est démontrée dans l’exercice
    50
    p. 397
    .

Remarque

Cette propriété est appelée linéarité de l’espérance.

Application et méthode 2

Énoncé

On joue à un jeu se déroulant en deux étapes.
  • Dans la phase , on lance un dé équilibré à six faces.
    Si le résultat obtenu est ou , on gagne points. Sinon, on perd points.
  • Dans la phase , on lance une pièce équilibrée.
    Si on obtient face, on gagne points. Sinon, on perd points.

Soit la variable aléatoire correspondant au nombre total de points obtenus. Calculer .

Solution

  • Soient la variable aléatoire correspondant au gain obtenu à la première étape et la variable aléatoire correspondant au gain obtenu à la seconde étape.
    Dans ces conditions, on a .
  • On étudie ensuite les lois de probabilité de et .
    Loi de probabilité de
    correspond au gain obtenu à la seconde étape qui ne prend que deux valeurs : et . Il s'agit aussi d'une situation d’équiprobabilité, donc on obtient .
  • On peut maintenant calculer les espérances de ces deux variables aléatoires : .
  • En conclusion, on a .


Pour s'entraîner : exercices exercices 23 et 24 p. 394

Méthode

  • Lorsque l’énoncé fait état d’une variable aléatoire correspondant à une somme, à une différence ou à un produit par un réel, il est souvent préférable de décomposer cette variable aléatoire en variables aléatoires « plus simples ».
    On commence donc par écrire cette variable aléatoire en somme/différence de variables aléatoires et , plus faciles à étudier.
  • On étudie la loi de probabilité de chacune de ces variables aléatoires.
  • On en déduit alors et .
  • On conclut grâce à la linéarité de l’espérance.


B
Variance d’une somme de variables aléatoires indépendantes


Propriété

Soit une variable aléatoire définie sur dont on note la variance.
Soit . Alors .

DÉMONSTRATION

Si , la propriété est évidente car et .
On suppose que .

En notant les valeurs prises par , alors prend les valeurs .
Par définition, .

Donc par propriété de l’espérance.

D’où, car si, et seulement si, .

Ainsi, .

Exemple

Si est une variable aléatoire vérifiant , alors .
De plus, .

Rappel

En reprenant les notations précédentes, on a .

Remarque

L'écart type vérifie .

Définition

Soient , variables aléatoires à valeurs respectivement dans .
On dit que sont indépendantes lorsque, pour tous  :
.

Attention : Si les variables sont deux à deux indépendantes, on ne peut pas en conclure que sont mutuellement indépendantes.
En effet, si on considère deux lancers de dés équilibrés indépendants et si on note :
  • (respectivement ) la variable aléatoire valant 1 si le résultat du premier (second) dé est pair ;
  • la variable aléatoire valant si la somme des résultats des deux dés est paire et sinon.

On vérifie que et sont deux à deux indépendantes mais pas mutuellement indépendantes.

Propriété

Si et sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur , alors :

DÉMONSTRATION

Voir exercice
77
p. 405
.

Remarque

On dit aussi que les variables aléatoires sont mutuellement indépendantes.

Remarque

Connaître la parité de la somme n’aide pas à deviner celle d’un dé. De même, connaître la parité d’un dé n’aide pas à déterminer celle de la somme, ni de l’autre dé. Mais, si l’on sait la parité des deux dés, alors on connaît celle de la somme.

Remarque

Si sont variables aléatoires indépendantes définies sur , alors .

Application et méthode 3

Énoncé

On reprend le jeu et la variable aléatoire de l’application précédente (partie A). Calculer .

Solution

On avait obtenu les lois de probabilité suivantes.



  • Dans un premier temps, on calcule .
    On avait obtenu donc
    .
  • On calcule ensuite
    On avait obtenu donc
    .

Les variables aléatoires et sont indépendantes.
On a donc .

Pour s'entraîner : exercices exercices 26 et 27 p. 395

Méthode

  • Lorsqu’une variable aléatoire correspond à une somme (différence) de variables aléatoires ou à un simple produit par un réel, il est souvent préférable de décomposer cette variable aléatoire en variables aléatoires « plus simples ».
  • Ici, on commence donc par écrire comme la somme de et .
  • On précise que et sont indépendantes.
  • On étudie la loi de probabilité de chacune de ces variables aléatoires et .
  • On en déduit alors et .
  • On obtient alors et .
  • On conclut enfin grâce aux propriétés de la variance dans le cas de variables aléatoires indépendantes : on a .


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