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1. Sommes de variables aléatoires
P.382

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COURS 1


1
Sommes de variables aléatoires





Dans tout ce chapitre, on considérera une expérience aléatoire dont on notera Ω\Omega l’univers des possibles. On supposera cet univers fini. On notera P\text{P} une probabilité sur Ω\Omega.

Rappel

Une variable aléatoire réelle X\text{X} définie sur l’univers Ω\Omega est une fonction définie sur Ω\Omega à valeurs dans R\mathbb{R}.
On a donc X\text{X} :
    ΩR\Omega \rightarrow \R
    ωX(ω)\omega \rightarrow X(\omega).

Exemple

On lance une pièce de monnaie. Si on obtient pile, on gagne 55 € et si on obtient face, on gagne 22 €.
On peut alors définir une variable aléatoire X\text{X} correspondant au gain obtenu en euro.
X\text{X} est définie sur l’univers Ω={ pile ; face }\Omega=\{\text { pile } ; \text { face }\}.
On a alors X( pile )=5\text{X}(\text { pile })=5 et X( face )=2\text{X}(\text { face })=2.
X\text{X} peut donc prendre deux valeurs : 55 et 22.

Remarque

Il peut y avoir plusieurs ω\omega qui donnent la même valeur de X(ω)\mathrm{X}(\omega). Autrement dit, X(ω)\mathrm{X}(\omega) peut avoir plusieurs antécédents.

Définition

Soit X\text{X} une variable aléatoire définie sur l’univers Ω\Omega et aa un nombre réel.
On peut définir une variable aléatoire Y\text{Y} telle que, pour tout élément ωΩ\omega \in \Omega, Y(ω)=ax(ω)\mathrm{Y}(\omega)=a \mathrm{x}(\omega). On note Y=aX\text{Y=}a \text{X}.

Exemple

On lance un dé équilibré à six faces et on joue au jeu suivant : le nombre de points obtenus est le résultat du dé multiplié par 55.
En notant respectivement X\text{X} et Y\text{Y} les variables aléatoires correspondant au résultat du dé et aux points obtenus, on a alors Y=5X\text{Y}=5 \text{X}.

Remarque

Dans le cas où a=0a = 0, la variable aléatoire Y = 0X\text{Y = 0X} est la variable aléatoire toujours égale à 00. Son espérance et sa variance sont alors nulles.

Définition

Soient X\text{X} et Y\text{Y} deux variables aléatoires définies sur l’univers Ω\Omega. On peut définir une variable aléatoire Z\text{Z} sur Ω\Omega telle que, pour tout élément ωΩ\omega \in \Omega, Z(ω)=X(ω)+Y(ω)Z(\omega)=X(\omega)+Y(\omega).
Cette variable aléatoire est appelée somme des variables aléatoires X\textbf{X} et Y\textbf{Y}.
On note Z = X + Y\text{Z = X + Y}.

Remarque

On définit de la même manière la somme de 33, 44, ou nn variables aléatoires.

Exemple

1. On lance cinq dés équilibrés et on compte la somme des nombres obtenus.
Soit X\text{X} la variable aléatoire correspondant à cette somme.
Alors, on peut écrire X\text{X} sous la forme X=X1++X5\text{X}=\text{X}_{1}+\ldots+\text{X}_{5} où, pour tout k{1;2;3;4;5},Xkk \in\{1\:; 2\:; 3\:; 4\:; 5\}, \text{X}_{k} correspond au résultat du dé numéro kk.
Attention : X5×X1\text{X} \neq 5 \times \text{X}_{1}. L’ensemble des valeurs prises par X\text{X} est {5;6;7;8;9;;30}\{5\:; 6\:; 7\:; 8\:; 9\:; \ldots ; 30\} (somme possible des 5 dés) alors que 5×X15 \times \mathrm{X}_{1} ne peut prendre que les valeurs 5,10,15,20,25,305, 10, 15, 20, 25, 30.

2. On lance 20 fois une pièce de monnaie et on note X\text{X} la variable aléatoire comptant le nombre de pile obtenu. On peut écrire la variable aléatoire X\text{X} sous la forme X=X1+X2++X20\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\ldots+\mathrm{X}_{20} où, pour tout k{1;;20},Xk=1k \in\{1\:; \ldots ; 20\}, \mathrm{X}_{k}=1 si on a obtenu pile au kek^{\mathrm{e}} lancer et Xk=0\mathrm{X}_{k}=0 si on a obtenu face au kek^{\mathrm{e}} lancer.

Remarque

On pourrait de même définir la variable aléatoire XY\mathrm{X}-\mathrm{Y}.

Application et méthode

Énoncé

Une boîte contient des jetons rouges et des jetons jaunes indiscernables au toucher. Les jetons rouges correspondent à un gain de 33 € et les jetons jaunes à un gain de 22 €. On tire avec remise deux jetons de la boîte.
On note R\text{R} l’événement « On a obtenu une boule rouge » et J\text{J} l’événement « On a obtenu une boule jaune ».
On travaille avec Ω={R;J}2\Omega=\{\mathrm{R}\:; \mathrm{J}\}^{2}.
On note X1\text{X}_{1} et X2\text{X}_{2} les variables aléatoires désignant les gains obtenus respectivement au 1er et au 2e tirage.

1. Calculer les valeurs de X2((R;R))\mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{R})), X1((R;J))\mathrm{X}_{1}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J})), X2((R;J))\mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J})), X1((J;R))\mathrm{X}_{1}((\mathrm{J}\:; \mathrm{R})) et X2((J;J))\mathrm{X}_{2}((\mathrm{J}\:; \mathrm{J})).

2. Soit X\text{X} la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu à l’issue des deux étapes.
Exprimer X en fonction de X1\text{X}_{1} et X2\text{X}_{2}.

Solution


1. X1\text{X}_{1} correspond au gain du 1er tirage et X2\text{X}_{2} à celui du 2e tirage.
Ainsi, X2((R;R))=3,X1((R;J))=3,X2((R;J))=2,X1((J;R))=2 et X2((J;J))=2\mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{R}))=3, \mathrm{X}_{1}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J}))=3, \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J}))=2, \mathrm{X}_{1}((\mathrm{J}\:; \mathrm{R}))=2 \text { et } \mathrm{X}_{2}((\mathrm{J}\:; \mathrm{J}))=2.

2. Le gain total est la somme des gains obtenus à chaque étape donc X=X1+X2\text{X}=\text{X}_{1}+\text{X}_{2}.


Pour s'entraîner : exercices 21 et 22 p. 394

Méthode

On détermine le lien entre chacune des variables aléatoires introduites par l’énoncé en utilisant les opérations élémentaires.
Dans ce chapitre, il s’agira de :
  • sommes de variables aléatoires ;
  • différences de variables aléatoires ;
  • produits de variables aléatoires par un réel.


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