Dans tout ce chapitre, on considérera une expérience aléatoire dont on notera Ω l’univers
des possibles. On supposera cet univers fini. On notera P une probabilité sur Ω.
Rappel
Une variable aléatoire réelleX définie sur l’univers Ω est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R.
On a donc X :
Ω→R ω→X(ω).
Exemple
On lance une pièce de monnaie. Si on obtient pile, on gagne 5 € et si on obtient face,
on gagne 2 €.
On peut alors définir une variable aléatoire X correspondant au gain obtenu en euro.
X est définie sur l’univers Ω={ pile ; face }.
On a alors X( pile )=5 et X( face )=2.
X peut donc prendre deux valeurs : 5 et 2.
Remarque
Il peut y avoir plusieurs ω
qui donnent la même
valeur de X(ω).
Autrement dit, X(ω)
peut avoir plusieurs
antécédents.
Définition
Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers Ω et a un nombre réel.
On peut définir une variable aléatoire Y telle que, pour tout élément ω∈Ω,
Y(ω)=aX(ω). On note Y=aX.
Exemple
On lance un dé équilibré à six faces et on joue au jeu suivant : le nombre de points
obtenus est le résultat du dé multiplié par 5.
En notant respectivement X et Y les variables aléatoires correspondant au résultat du dé et aux points obtenus, on a alors Y=5X.
Remarque
Dans
le cas où a=0,
la variable aléatoire
Y = 0X est la
variable aléatoire
toujours égale à 0.
Son espérance et sa
variance sont alors
nulles.
Définition
Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur l’univers Ω.
On peut définir une variable aléatoire Z sur Ω telle que, pour tout élément ω∈Ω, Z(ω)=X(ω)+Y(ω).
Cette variable aléatoire est appelée somme des variables aléatoires X et Y.
On note Z = X + Y.
Remarque
On
définit de la même
manière la somme de
3, 4, ou n variables
aléatoires.
Exemple
1. On lance cinq dés équilibrés et on compte la somme des nombres obtenus.
Soit X la variable aléatoire correspondant à cette somme.
Alors, on peut écrire X sous la forme X=X1+…+X5 où, pour tout
k∈{1;2;3;4;5},Xk correspond au résultat du dé numéro k.
Attention :X=5×X1. L’ensemble des valeurs prises par X est {5;6;7;8;9;…;30}
(somme possible des 5 dés) alors que 5×X1 ne peut prendre que les valeurs 5,10,15,20,25,30.
2. On lance 20 fois une pièce de monnaie et on note X la variable aléatoire comptant le nombre de pile obtenu. On peut écrire la variable aléatoire X sous la forme X=X1+X2+…+X20 où, pour tout k∈{1;…;20},Xk=1 si on a obtenu pile au ke lancer et Xk=0 si on a obtenu face au ke lancer.
Remarque
On pourrait
de même définir
la variable aléatoire
X−Y.
Application et méthode
Énoncé
Une boîte contient des jetons rouges et des jetons jaunes indiscernables au toucher. Les jetons rouges correspondent à un gain de 3 € et les jetons jaunes à un gain de 2 €. On tire avec remise deux jetons de la boîte.
On note R l’événement « On a obtenu une boule rouge » et J l’événement « On a obtenu une boule jaune ».
On travaille avec Ω={R;J}2.
On note X1 et X2 les variables aléatoires désignant les gains obtenus respectivement au 1er et au 2e tirage.
1. Calculer les valeurs de X2((R;R)), X1((R;J)), X2((R;J)), X1((J;R)) et X2((J;J)).
2. Soit X la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu à l’issue des deux étapes.
Exprimer X en fonction de X1 et X2.
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