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Sommes de variables aléatoires

Dans tout ce chapitre, on considérera une expérience aléatoire dont on notera $\Omega$ l’univers des possibles. On supposera cet univers fini. On notera $\text{P}$ une probabilité sur $\Omega$.

Exemple

On lance une pièce de monnaie. Si on obtient pile, on gagne $5$ € et si on obtient face, on gagne $2$ €.
On peut alors définir une variable aléatoire $\text{X}$ correspondant au gain obtenu en euro.
$\text{X}$ est définie sur l’univers $\Omega =\{\text{ pile };\text{ face }\}$.
On a alors $\text{X}(\text{ pile })=5$ et $\text{X}(\text{ face })=2$.
$\text{X}$ peut donc prendre deux valeurs : $5$ et $2$.

Il peut y avoir plusieurs $\omega$ qui donnent la même valeur de $\mathrm{X}(\omega )$. Autrement dit, $\mathrm{X}(\omega )$ peut avoir plusieurs antécédents.

Exemple

On lance un dé équilibré à six faces et on joue au jeu suivant : le nombre de points obtenus est le résultat du dé multiplié par $5$.
En notant respectivement $\text{X}$ et $\text{Y}$ les variables aléatoires correspondant au résultat du dé et aux points obtenus, on a alors $\text{Y}=5\text{X}$.

Dans le cas où $a=0$, la variable aléatoire $\text{Y = 0X}$ est la variable aléatoire toujours égale à $0$. Son espérance et sa variance sont alors nulles.

On définit de la même manière la somme de $3$, $4$, ou $n$ variables aléatoires.

Exemple

1. On lance cinq dés équilibrés et on compte la somme des nombres obtenus.
Soit $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant à cette somme.
Alors, on peut écrire $\text{X}$ sous la forme $\text{X}={\text{X}}_1+\dots +{\text{X}}_5$ où, pour tout $k\in \{1;2;3;4;5\},{\text{X}}_k$ correspond au résultat du dé numéro $k$.
Attention : $\text{X}\ne 5\times {\text{X}}_1$. L’ensemble des valeurs prises par $\text{X}$ est $\{5;6;7;8;9;\dots ;30\}$ (somme possible des 5 dés) alors que $5\times {\mathrm{X}}_1$ ne peut prendre que les valeurs $5,10,15,20,25,30$.

2. On lance 20 fois une pièce de monnaie et on note $\text{X}$ la variable aléatoire comptant le nombre de pile obtenu. On peut écrire la variable aléatoire $\text{X}$ sous la forme $\mathrm{X}={\mathrm{X}}_1+{\mathrm{X}}_2+\dots +{\mathrm{X}}_{20}$ où, pour tout $k\in \{1;\dots ;20\},{\mathrm{X}}_k=1$ si on a obtenu pile au $k^{\mathrm{e}}$ lancer et ${\mathrm{X}}_k=0$ si on a obtenu face au $k^{\mathrm{e}}$ lancer.

On pourrait de même définir la variable aléatoire $\mathrm{X}-\mathrm{Y}$.

Une boîte contient des jetons rouges et des jetons jaunes indiscernables au toucher. Les jetons rouges correspondent à un gain de $3$ € et les jetons jaunes à un gain de $2$ €. On tire avec remise deux jetons de la boîte.
On note $\text{R}$ l’événement « On a obtenu une boule rouge » et $\text{J}$ l’événement « On a obtenu une boule jaune ».
On travaille avec $\Omega =\{\mathrm{R};\mathrm{J}{\}}^2$.
On note ${\text{X}}_1$ et ${\text{X}}_2$ les variables aléatoires désignant les gains obtenus respectivement au 1^er et au 2^e tirage.

1. Calculer les valeurs de ${\mathrm{X}}_2((\mathrm{R};\mathrm{R}))$, ${\mathrm{X}}_1((\mathrm{R};\mathrm{J}))$, ${\mathrm{X}}_2((\mathrm{R};\mathrm{J}))$, ${\mathrm{X}}_1((\mathrm{J};\mathrm{R}))$ et ${\mathrm{X}}_2((\mathrm{J};\mathrm{J}))$.

2. Soit $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu à l’issue des deux étapes.
Exprimer X en fonction de ${\text{X}}_1$ et ${\text{X}}_2$.