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1. Sommes de variables aléatoires
P.382

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COURS 1


1
Sommes de variables aléatoires





Dans tout ce chapitre, on considérera une expérience aléatoire dont on notera l’univers des possibles. On supposera cet univers fini. On notera une probabilité sur .

Rappel

Une variable aléatoire réelle définie sur l’univers est une fonction définie sur à valeurs dans .
On a donc  :

    .

Exemple

On lance une pièce de monnaie. Si on obtient pile, on gagne  € et si on obtient face, on gagne  €.
On peut alors définir une variable aléatoire correspondant au gain obtenu en euro.
est définie sur l’univers .
On a alors et .
peut donc prendre deux valeurs : et .

Remarque

Il peut y avoir plusieurs qui donnent la même valeur de . Autrement dit, peut avoir plusieurs antécédents.

Définition

Soit une variable aléatoire définie sur l’univers et un nombre réel.
On peut définir une variable aléatoire telle que, pour tout élément , . On note .

Exemple

On lance un dé équilibré à six faces et on joue au jeu suivant : le nombre de points obtenus est le résultat du dé multiplié par .
En notant respectivement et les variables aléatoires correspondant au résultat du dé et aux points obtenus, on a alors .

Remarque

Dans le cas où , la variable aléatoire est la variable aléatoire toujours égale à . Son espérance et sa variance sont alors nulles.

Définition

Soient et deux variables aléatoires définies sur l’univers . On peut définir une variable aléatoire sur telle que, pour tout élément , .
Cette variable aléatoire est appelée somme des variables aléatoires et .
On note .

Remarque

On définit de la même manière la somme de , , ou variables aléatoires.

Exemple

1. On lance cinq dés équilibrés et on compte la somme des nombres obtenus.
Soit la variable aléatoire correspondant à cette somme.
Alors, on peut écrire sous la forme où, pour tout correspond au résultat du dé numéro .
Attention : . L’ensemble des valeurs prises par est (somme possible des 5 dés) alors que ne peut prendre que les valeurs .

2. On lance 20 fois une pièce de monnaie et on note la variable aléatoire comptant le nombre de pile obtenu. On peut écrire la variable aléatoire sous la forme où, pour tout si on a obtenu pile au lancer et si on a obtenu face au lancer.

Remarque

On pourrait de même définir la variable aléatoire .

Application et méthode

Énoncé

Une boîte contient des jetons rouges et des jetons jaunes indiscernables au toucher. Les jetons rouges correspondent à un gain de  € et les jetons jaunes à un gain de  €. On tire avec remise deux jetons de la boîte.
On note l’événement « On a obtenu une boule rouge » et l’événement « On a obtenu une boule jaune ».
On travaille avec .
On note et les variables aléatoires désignant les gains obtenus respectivement au 1er et au 2e tirage.

1. Calculer les valeurs de , , , et .

2. Soit la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu à l’issue des deux étapes.
Exprimer X en fonction de et .

Solution


1. correspond au gain du 1er tirage et à celui du 2e tirage.
Ainsi, .

2. Le gain total est la somme des gains obtenus à chaque étape donc .


Pour s'entraîner : exercices 21 et 22 p. 394

Méthode

On détermine le lien entre chacune des variables aléatoires introduites par l’énoncé en utilisant les opérations élémentaires.
Dans ce chapitre, il s’agira de :
  • sommes de variables aléatoires ;
  • différences de variables aléatoires ;
  • produits de variables aléatoires par un réel.


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