Mathématiques Terminale Spécialité
Mes Pages
Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 13
Cours 1
Sommes de variables aléatoires
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Dans tout ce chapitre, on considérera une expérience aléatoire dont on notera \Omega l'univers
des possibles. On supposera cet univers fini. On notera \text{P} une probabilité sur \Omega.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Rappel
Une variable aléatoire réelle \text{X} définie sur l'univers \Omega est une fonction définie sur \Omega à valeurs dans \mathbb{R}.
On a donc \text{X} :
On a donc \text{X} :
-
\Omega \rightarrow \R
\omega \rightarrow \text{X}(\omega).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Il peut y avoir plusieurs \omega
qui donnent la même
valeur de \mathrm{X}(\omega).
Autrement dit, \mathrm{X}(\omega)
peut avoir plusieurs
antécédents.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
On lance une pièce de monnaie. Si on obtient pile, on gagne 5 € et si on obtient face,
on gagne 2 €.
On peut alors définir une variable aléatoire \text{X} correspondant au gain obtenu en euro.
\text{X} est définie sur l'univers \Omega=\{\text { pile } ; \text { face }\}.
On a alors \text{X}(\text { pile })=5 et \text{X}(\text { face })=2.
\text{X} peut donc prendre deux valeurs : 5 et 2.
On peut alors définir une variable aléatoire \text{X} correspondant au gain obtenu en euro.
\text{X} est définie sur l'univers \Omega=\{\text { pile } ; \text { face }\}.
On a alors \text{X}(\text { pile })=5 et \text{X}(\text { face })=2.
\text{X} peut donc prendre deux valeurs : 5 et 2.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Soit \text{X} une variable aléatoire définie sur l'univers \Omega et a un nombre réel.
On peut définir une variable aléatoire \text{Y} telle que, pour tout élément \omega \in \Omega, \mathrm{Y}(\omega)=a \text{X}(\omega). On note \text{Y=}a \text{X}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Dans
le cas où a = 0,
la variable aléatoire
\text{Y = 0X} est la
variable aléatoire
toujours égale à 0.
Son espérance et sa
variance sont alors
nulles.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
On lance un dé équilibré à six faces et on joue au jeu suivant : le nombre de points
obtenus est le résultat du dé multiplié par 5.
En notant respectivement \text{X} et \text{Y} les variables aléatoires correspondant au résultat du dé et aux points obtenus, on a alors \text{Y}=5 \text{X}.
En notant respectivement \text{X} et \text{Y} les variables aléatoires correspondant au résultat du dé et aux points obtenus, on a alors \text{Y}=5 \text{X}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Soient \text{X} et \text{Y} deux variables aléatoires définies sur l'univers \Omega.
On peut définir une variable aléatoire \text{Z} sur \Omega telle que, pour tout élément \omega \in \Omega, Z(\omega)=\text{X}(\omega)+\text{Y}(\omega).
Cette variable aléatoire est appelée somme des variables aléatoires \textbf{X} et \textbf{Y}.
On note \text{Z = X + Y}.
Cette variable aléatoire est appelée somme des variables aléatoires \textbf{X} et \textbf{Y}.
On note \text{Z = X + Y}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
On
définit de la même
manière la somme de
3, 4, ou n variables
aléatoires.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemples
1. On lance cinq dés équilibrés et on compte la somme des nombres obtenus.
Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant à cette somme.
Alors, on peut écrire \text{X} sous la forme \text{X}=\text{X}_{1}+\ldots+\text{X}_{5} où, pour tout k \in\{1\:; 2\:; 3\:; 4\:; 5\}, \text{X}_{k} correspond au résultat du dé numéro k.
Attention : \text{X} \neq 5 \times \text{X}_{1}. L'ensemble des valeurs prises par \text{X} est \{5\:; 6\:; 7\:; 8\:; 9\:; \ldots ; 30\} (somme possible des 5 dés) alors que 5 \times \mathrm{X}_{1} ne peut prendre que les valeurs 5, 10, 15, 20, 25, 30.
2. On lance 20 fois une pièce de monnaie et on note \text{X} la variable aléatoire comptant le nombre de pile obtenu. On peut écrire la variable aléatoire \text{X} sous la forme \mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\ldots+\mathrm{X}_{20} où, pour tout k \in\{1\:; \ldots ; 20\}, \mathrm{X}_{k}=1 si on a obtenu pile au k^{\mathrm{e}} lancer et \mathrm{X}_{k}=0 si on a obtenu face au k^{\mathrm{e}} lancer.
Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant à cette somme.
Alors, on peut écrire \text{X} sous la forme \text{X}=\text{X}_{1}+\ldots+\text{X}_{5} où, pour tout k \in\{1\:; 2\:; 3\:; 4\:; 5\}, \text{X}_{k} correspond au résultat du dé numéro k.
Attention : \text{X} \neq 5 \times \text{X}_{1}. L'ensemble des valeurs prises par \text{X} est \{5\:; 6\:; 7\:; 8\:; 9\:; \ldots ; 30\} (somme possible des 5 dés) alors que 5 \times \mathrm{X}_{1} ne peut prendre que les valeurs 5, 10, 15, 20, 25, 30.
2. On lance 20 fois une pièce de monnaie et on note \text{X} la variable aléatoire comptant le nombre de pile obtenu. On peut écrire la variable aléatoire \text{X} sous la forme \mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\ldots+\mathrm{X}_{20} où, pour tout k \in\{1\:; \ldots ; 20\}, \mathrm{X}_{k}=1 si on a obtenu pile au k^{\mathrm{e}} lancer et \mathrm{X}_{k}=0 si on a obtenu face au k^{\mathrm{e}} lancer.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
On pourrait
de même définir
la variable aléatoire
\mathrm{X}-\mathrm{Y}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 1
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Une boîte contient des jetons rouges et des jetons jaunes indiscernables au toucher. Les jetons rouges correspondent à un gain de 3 € et les jetons jaunes à un gain de 2 €. On tire avec remise deux jetons de la boîte.
On note \text{R} l'événement « On a obtenu une boule rouge » et \text{J} l'événement « On a obtenu une boule jaune ».
On travaille avec \Omega=\{\mathrm{R}\:; \mathrm{J}\}^{2}.
On note \text{X}_{1} et \text{X}_{2} les variables aléatoires désignant les gains obtenus respectivement au 1er et au 2e tirage.
1. Calculer les valeurs de \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{R})), \mathrm{X}_{1}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J})), \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J})), \mathrm{X}_{1}((\mathrm{J}\:; \mathrm{R})) et \mathrm{X}_{2}((\mathrm{J}\:; \mathrm{J})).
2. Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu à l'issue des deux étapes.
Exprimer X en fonction de \text{X}_{1} et \text{X}_{2}.
On travaille avec \Omega=\{\mathrm{R}\:; \mathrm{J}\}^{2}.
On note \text{X}_{1} et \text{X}_{2} les variables aléatoires désignant les gains obtenus respectivement au 1er et au 2e tirage.
1. Calculer les valeurs de \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{R})), \mathrm{X}_{1}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J})), \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J})), \mathrm{X}_{1}((\mathrm{J}\:; \mathrm{R})) et \mathrm{X}_{2}((\mathrm{J}\:; \mathrm{J})).
2. Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu à l'issue des deux étapes.
Exprimer X en fonction de \text{X}_{1} et \text{X}_{2}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
On détermine le lien entre chacune des variables aléatoires
introduites par l'énoncé en utilisant les opérations élémentaires.
Dans ce chapitre, il s'agira de :
Dans ce chapitre, il s'agira de :
- sommes de variables aléatoires ;
- différences de variables aléatoires ;
- produits de variables aléatoires par un réel.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
1. \text{X}_{1} correspond au gain du 1er tirage et \text{X}_{2} à celui du 2e tirage.
Ainsi, \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{R}))=3, \mathrm{X}_{1}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J}))=3, \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J}))=2, \mathrm{X}_{1}((\mathrm{J}\:; \mathrm{R}))=2 \text { et } \mathrm{X}_{2}((\mathrm{J}\:; \mathrm{J}))=2.
2. Le gain total est la somme des gains obtenus à chaque étape donc \text{X}=\text{X}_{1}+\text{X}_{2}.
Ainsi, \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{R}))=3, \mathrm{X}_{1}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J}))=3, \mathrm{X}_{2}((\mathrm{R}\:; \mathrm{J}))=2, \mathrm{X}_{1}((\mathrm{J}\:; \mathrm{R}))=2 \text { et } \mathrm{X}_{2}((\mathrm{J}\:; \mathrm{J}))=2.
2. Le gain total est la somme des gains obtenus à chaque étape donc \text{X}=\text{X}_{1}+\text{X}_{2}.
Pour s'entraîner
Exercices
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
