Dans tout ce chapitre, on considérera une expérience aléatoire dont on notera Ω l’univers
des possibles. On supposera cet univers fini. On notera P une probabilité sur Ω.
Rappel
Une variable aléatoire réelleX définie sur l’univers Ω est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R.
On a donc X :
Ω→R ω→X(ω).
Exemple
On lance une pièce de monnaie. Si on obtient pile, on gagne 5 € et si on obtient face,
on gagne 2 €.
On peut alors définir une variable aléatoire X correspondant au gain obtenu en euro.
X est définie sur l’univers Ω={ pile ; face }.
On a alors X( pile )=5 et X( face )=2.
X peut donc prendre deux valeurs : 5 et 2.
Remarque
Il peut y avoir plusieurs ω
qui donnent la même
valeur de X(ω).
Autrement dit, X(ω)
peut avoir plusieurs
antécédents.
Définition
Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers Ω et a un nombre réel.
On peut définir une variable aléatoire Y telle que, pour tout élément ω∈Ω,
Y(ω)=ax(ω). On note Y=aX.
Exemple
On lance un dé équilibré à six faces et on joue au jeu suivant : le nombre de points
obtenus est le résultat du dé multiplié par 5.
En notant respectivement X et Y les variables aléatoires correspondant au résultat du dé et aux points obtenus, on a alors Y=5X.
Remarque
Dans
le cas où a=0,
la variable aléatoire
Y = 0X est la
variable aléatoire
toujours égale à 0.
Son espérance et sa
variance sont alors
nulles.
Définition
Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur l’univers Ω.
On peut définir une variable aléatoire Z sur Ω telle que, pour tout élément ω∈Ω, Z(ω)=X(ω)+Y(ω).
Cette variable aléatoire est appelée somme des variables aléatoires X et Y.
On note Z = X + Y.
Remarque
On
définit de la même
manière la somme de
3, 4, ou n variables
aléatoires.
Exemple
1. On lance cinq dés équilibrés et on compte la somme des nombres obtenus.
Soit X la variable aléatoire correspondant à cette somme.
Alors, on peut écrire X sous la forme X=X1+…+X5 où, pour tout
k∈{1;2;3;4;5},Xk correspond au résultat du dé numéro k.
Attention :X=5×X1. L’ensemble des valeurs prises par X est {5;6;7;8;9;…;30}
(somme possible des 5 dés) alors que 5×X1 ne peut prendre que les valeurs 5,10,15,20,25,30.
2. On lance 20 fois une pièce de monnaie et on note X la variable aléatoire comptant le nombre de pile obtenu. On peut écrire la variable aléatoire X sous la forme X=X1+X2+…+X20 où, pour tout k∈{1;…;20},Xk=1 si on a obtenu pile au ke lancer et Xk=0 si on a obtenu face au ke lancer.
Remarque
On pourrait
de même définir
la variable aléatoire
X−Y.
Application et méthode
Énoncé
Une boîte contient des jetons rouges et des jetons jaunes indiscernables au toucher. Les jetons rouges correspondent à un gain de 3 € et les jetons jaunes à un gain de 2 €. On tire avec remise deux jetons de la boîte.
On note R l’événement « On a obtenu une boule rouge » et J l’événement « On a obtenu une boule jaune ».
On travaille avec Ω={R;J}2.
On note X1 et X2 les variables aléatoires désignant les gains obtenus respectivement au 1er et au 2e tirage.
1. Calculer les valeurs de X2((R;R)), X1((R;J)), X2((R;J)), X1((J;R)) et X2((J;J)).
2. Soit X la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu à l’issue des deux étapes.
Exprimer X en fonction de X1 et X2.
Solution
1. X1 correspond au gain du 1er tirage et X2 à celui du 2e tirage.
Ainsi, X2((R;R))=3,X1((R;J))=3,X2((R;J))=2,X1((J;R))=2 et X2((J;J))=2.
2. Le gain total est la somme des gains obtenus
à chaque étape donc X=X1+X2.
On détermine le lien entre chacune des variables aléatoires
introduites par l’énoncé en utilisant les opérations élémentaires.
Dans ce chapitre, il s’agira de :
sommes de variables aléatoires ;
différences de variables aléatoires ;
produits de variables aléatoires par un réel.
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service. Pour plus d’informations, cliquez ici.