Activités

Un jeu consiste à lancer un dé équilibré à six faces et à regarder le numéro obtenu. Les règles du jeu sont les suivantes :

• si le nombre obtenu est $5$ ou $6$, on gagne $6$ € ;
• si le nombre obtenu est $1$, $2$ ou $4$, on perd $12$ € ;
• si le nombre obtenu est $3$, on gagne $15$ €.

Partie A : On ne joue qu’une seule fois

Dans cette partie, on note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au gain (éventuellement négatif) obtenu.

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $\text{X}$.


En déduire l’espérance mathématique de $\text{X}$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’activité. Le jeu est‑il favorable au joueur ? Justifier.

Partie B : On triple les gains (et les pertes)

Dans cette partie, le responsable du jeu décide de tripler chacun des gains (remportés ou perdus). On note $\text{T}$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu avec ces nouvelles règles.

Déterminer la loi de probabilité de $\text{T}$, puis son espérance.


À l’aide de l’énoncé, expliquer pourquoi on peut écrire $\mathrm{T}=3 \mathrm{X}$.


Quelle relation avons‑nous obtenue entre $\mathrm{E}(\mathrm{T})$ et $\mathrm{E}(\mathrm{X})$ ?


Partie C : On étend le jeu

Le jeu présenté dans la partie A étant trop défavorable au joueur, on demande à celui‑ci, à l’issue du premier jet de dé, de jouer une seconde manche dont la règle est la suivante.
Le joueur relance le dé équilibré : s'il obtient un nombre impair, il gagne $3$ € ; sinon, il perd $2$ €.
On note $\text{Y}$ la variable aléatoire correspondant au gain du second jeu, et $\text{Z}$ la variable aléatoire correspondant au gain total alors obtenu.

Déterminer la loi de probabilité de $\text{Y}$ puis justifier que l’on peut écrire $\mathrm{Z}=\mathrm{X}+\mathrm{Y}$.


Pour tout $i \in\{6 ;-12 ; 15\}$, on note $\text{A}_{i}$ l’événement « On remporte $i$ euros au cours de la première phase du jeu ». Pour tout $j \in\{-2 ;3\}$, on note $\text{B}_{j}$ l’événement « On remporte $j$ euros au cours de la seconde phase du jeu ». Réaliser un arbre pondéré illustrant la situation étudiée. On admettra que, pour tout $i \in\{6 ;-12 ; 15\}$ et pour tout $j \in\{-2 ;3\}$, les événements $\text{A}_{i}$ et $\text{B}_{j}$ sont indépendants.


Compléter le tableau suivant résumant la loi de probabilité de $\text{Z}$.


Calculer $\text{E(Y)}$ et $\text{E(Z)}$. Comparer alors $\text{E(Z)}$ avec $\mathrm{E}(\mathrm{X})+\mathrm{E}(\mathrm{Y})$ et déterminer si le jeu est réellement moins désavantageux pour le joueur que lors de la partie A.

On considère une urne opaque dans laquelle se trouvent cinq boules indiscernables au toucher : trois boules noires et deux boules blanches.
Dans la suite, on notera $\text{N}$ l’événement « On a tiré une boule noire » et $\text{B}$ l’événement « On a tiré une boule blanche ».
On utilisera la règle suivante : tirer une boule noire rapporte $2$ € alors que tirer une boule blanche fait perdre $1$ €.

Partie A : Étude de $\mathbf{T}$

On tire au hasard une boule de l’urne et on note $\text{T}$ la variable aléatoire correspondant au gain (algébrique) obtenu.

Déterminer la loi de probabilité de $\text{T}$ puis son espérance mathématique.


En déduire la variance de la variable aléatoire $\text{T}$.

Partie B : On double les gains (et les pertes)

On modifie légèrement le jeu décrit plus haut : les gains et les pertes sont multipliés par $2$.
On note $\text{U}$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique alors obtenu.

Déterminer la loi de probabilité de $\text{U}$. Justifier que $\mathrm{U}=2 \mathrm{T}$ et en déduire $\text{E(U)}$.


Calculer la variance de $\text{U}$. Quelle relation obtient-on entre $\text{V(U)}$ et $\text{V(T)}$ ?


Reprendre les questions précédentes et comparer $\text{V(T)}$ et $\text{V(U)}$ lorsque les gains sont triplés.

On considère l'urne de l'activité précédente dans laquelle on tire deux boules au hasard sans remettre la première boule tirée dans l’urne.

Compléter l’arbre de probabilité ci‑dessus.

On note $\text{X}$ et $\text{Y}$ les variables aléatoires correspondant aux gains (algébriques) respectivement obtenus aux 1^er et 2^e tirage. On note $\mathrm{Z}=\mathrm{X}+\mathrm{Y}$ la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu.

a) Quelles sont les valeurs prises par $\text{X}$ ? Par $\text{Y}$ ? Par $\text{Z}$ ?



b) Déterminer les lois de probabilité de $\text{X}$, $\text{Y}$ et $\text{Z}$.




AIDE
2
b) Pour les lois de probabilité de $\text{Y}$ et de $\text{Z}$, penser à utiliser l’arbre pondéré.
c) Calculer l’espér
ance de chacune de ces variables aléatoires.



d) Calculer la variance de chacune de ces variables aléatoires.



e) A‑t‑on l’égalité $\mathrm{V}(\mathrm{Z})=\mathrm{V}(\mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y})$ ?

Reprendre les questions et dans le cadre d'un tirage avec remise.

1) Compléter l’arbre de probabilité ci‑dessus.

2) On note $\text{X}$ et $\text{Y}$ les variables aléatoires correspondant aux gains (algébriques) respectivement obtenus aux 1^er et 2^e tirage. On note $\mathrm{Z}=\mathrm{X}+\mathrm{Y}$ la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu.

a) Quelles sont les valeurs prises par $\text{X}$ ? Par $\text{Y}$ ? Par $\text{Z}$ ?



b) Déterminer les lois de probabilité de $\text{X}$, $\text{Y}$ et $\text{Z}$.



c) Calculer l’espérance de chacune de ces variables aléatoires.



d) Calculer la variance de chacune de ces variables aléatoires.



e) A‑t‑on l’égalité $\mathrm{V}(\mathrm{Z})=\mathrm{V}(\mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y})$ ?