Partie C : On étend le jeu

Le jeu présenté dans la partie A étant trop défavorable au joueur, on demande à celui‑ci, à l'issue du premier jet de dé, de jouer une seconde manche dont la règle est la suivante.
Le joueur relance le dé équilibré : s'il obtient un nombre impair, il gagne $3$ € ; sinon, il perd $2$ €.
On note $\text{Y}$ la variable aléatoire correspondant au gain du second jeu, et $\text{Z}$ la variable aléatoire correspondant au gain total alors obtenu.

1

Déterminer la loi de probabilité de $\text{Y}$ puis justifier que l'on peut écrire $\mathrm{Z}=\mathrm{X}+\mathrm{Y}$.

2

Pour tout $i\in \{6;-12;15\}$, on note ${\text{A}}_i$ l'événement « On remporte $i$ euros au cours de la première phase du jeu ». Pour tout $j\in \{-2;3\}$, on note ${\text{B}}_j$ l'événement « On remporte $j$ euros au cours de la seconde phase du jeu ». Réaliser un arbre pondéré illustrant la situation étudiée. On admettra que, pour tout $i\in \{6;-12;15\}$ et pour tout $j\in \{-2;3\}$, les événements ${\text{A}}_i$ et ${\text{B}}_j$ sont indépendants.

Compléter le tableau suivant résumant la loi de probabilité de $\text{Z}$.

4

Calculer $\text{E(Y)}$ et $\text{E(Z)}$. Comparer alors $\text{E(Z)}$ avec $\mathrm{E}(\mathrm{X})+\mathrm{E}(\mathrm{Y})$ et déterminer si le jeu est réellement moins désavantageux pour le joueur que lors de la partie A.

Si $\text{X}$ et $\text{Y}$ sont deux variables aléatoires et $\mathbf{a}$ un nombre réel, Bilan exprimer $\mathbf{E}(\mathbf{a}\mathbf{X})$ et $\mathbf{E}(\mathbf{X}+\mathbf{Y})$ en fonction de $\mathbf{E}(\mathbf{X})$ et de $\mathbf{E}(\mathbf{Y})$.

On considère une urne opaque dans laquelle se trouvent cinq boules indiscernables au toucher : trois boules noires et deux boules blanches.
Dans la suite, on notera $\text{N}$ l'événement « On a tiré une boule noire » et $\text{B}$ l'événement « On a tiré une boule blanche ».
On utilisera la règle suivante : tirer une boule noire rapporte $2$ € alors que tirer une boule blanche fait perdre $1$ €.

Partie A : Étude de $\mathbf{T}$

On tire au hasard une boule de l'urne et on note $\text{T}$ la variable aléatoire correspondant au gain (algébrique) obtenu.

1

Déterminer la loi de probabilité de $\text{T}$ puis son espérance mathématique.

2

En déduire la variance de la variable aléatoire $\text{T}$.

Partie B : On double les gains (et les pertes)

On modifie légèrement le jeu décrit plus haut : les gains et les pertes sont multipliés par $2$.
On note $\text{U}$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique alors obtenu.

1

Déterminer la loi de probabilité de $\text{U}$. Justifier que $\mathrm{U}=2\mathrm{T}$ et en déduire $\text{E(U)}$.

2

Calculer la variance de $\text{U}$. Quelle relation obtient-on entre $\text{V(U)}$ et $\text{V(T)}$ ?

3

Reprendre les questions précédentes et comparer $\text{V(T)}$ et $\text{V(U)}$ lorsque les gains sont triplés.

Soient $\text{X}$ une variable aléatoire et $\mathbf{a}$ un nombre réel. Exprimer $\mathbf{V}(\mathbf{a}\mathbf{X})$ en fonction de $\mathbf{V}(\mathbf{X})$ et de $\mathbf{a}$.

Soient $\mathbf{X}$ et $\mathbf{Y}$ deux variables aléatoires indépendantes.
Exprimer $\mathbf{V}(\mathbf{X}+\mathbf{Y})$ en fonction de $\mathbf{V}(\mathbf{X})$ et de $\mathbf{V}(\mathbf{Y})$.