Partie B : On triple les gains (et les pertes)
Dans cette partie, le responsable du jeu décide de tripler chacun des gains (remportés ou perdus).
On note
T la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu avec ces nouvelles règles.
Déterminer la loi de probabilité de
T, puis son espérance.
À l’aide de l’énoncé, expliquer pourquoi on peut écrire
T=3X.
Quelle relation avons‑nous obtenue entre
E(T) et
E(X) ?
Partie C : On étend le jeu
Le jeu présenté dans la partie A étant trop défavorable au joueur, on demande à celui‑ci, à l’issue du premier jet de dé, de jouer une seconde manche dont la règle est la suivante.
Le joueur relance le dé équilibré : s'il obtient un nombre impair, il gagne
3 € ; sinon, il perd
2 €.
On note
Y la variable aléatoire correspondant au gain du second jeu, et
Z la variable aléatoire correspondant au gain
total alors obtenu.
Déterminer la loi de probabilité de
Y puis justifier que l’on peut écrire
Z=X+Y.
Pour tout
i∈{6;−12;15}, on note
Ai l’événement « On remporte
i euros au cours de la première phase du jeu ».
Pour tout
j∈{−2;3}, on note
Bj l’événement « On remporte
j euros au cours de la seconde phase du jeu ».
Réaliser un arbre pondéré illustrant la situation étudiée. On admettra que, pour tout
i∈{6;−12;15} et pour tout
j∈{−2;3}, les événements
Ai et
Bj sont indépendants.
Compléter le tableau suivant résumant la loi de probabilité de
Z.
zi |
-14 |
-9 |
4 |
9 |
13 |
18 |
P(Z=zi)
|
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Calculer
E(Y) et
E(Z). Comparer alors
E(Z) avec
E(X)+E(Y) et déterminer si le jeu est réellement moins
désavantageux pour le joueur que lors de la partie A.