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P.380-381

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A
Étude d’un jeu de dé



Objectif
Découvrir par un exemple les propriétés de linéarité de l’espérance.

des à 6 faces
Un jeu consiste à lancer un dé équilibré à six faces et à regarder le numéro obtenu. Les règles du jeu sont les suivantes :
  • si le nombre obtenu est ou , on gagne  € ;
  • si le nombre obtenu est , ou , on perd  € ;
  • si le nombre obtenu est , on gagne  €.

Partie A : On ne joue qu’une seule fois

Dans cette partie, on note la variable aléatoire correspondant au gain (éventuellement négatif) obtenu.

1
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire .


2
En déduire l’espérance mathématique de et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’activité. Le jeu est‑il favorable au joueur ? Justifier.


AIDE
1
On pourra commencer par déterminer les valeurs prises par .
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Partie B : On triple les gains (et les pertes)

Dans cette partie, le responsable du jeu décide de tripler chacun des gains (remportés ou perdus). On note la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu avec ces nouvelles règles.

1
Déterminer la loi de probabilité de , puis son espérance.


2
À l’aide de l’énoncé, expliquer pourquoi on peut écrire .


3
Quelle relation avons‑nous obtenue entre et  ?


Partie C : On étend le jeu

Le jeu présenté dans la partie A étant trop défavorable au joueur, on demande à celui‑ci, à l’issue du premier jet de dé, de jouer une seconde manche dont la règle est la suivante.
Le joueur relance le dé équilibré : s'il obtient un nombre impair, il gagne  € ; sinon, il perd  €.
On note la variable aléatoire correspondant au gain du second jeu, et la variable aléatoire correspondant au gain total alors obtenu.

1
Déterminer la loi de probabilité de puis justifier que l’on peut écrire .


2
Pour tout , on note l’événement « On remporte euros au cours de la première phase du jeu ». Pour tout , on note l’événement « On remporte euros au cours de la seconde phase du jeu ». Réaliser un arbre pondéré illustrant la situation étudiée. On admettra que, pour tout et pour tout , les événements et sont indépendants.


3
Compléter le tableau suivant résumant la loi de probabilité de .
-14 -9 4 9 13 18



4
Calculer et . Comparer alors avec et déterminer si le jeu est réellement moins désavantageux pour le joueur que lors de la partie A.
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Bilan

Si et sont deux variables aléatoires et un nombre réel, Bilan exprimer et en fonction de et de .
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B
Étude de la variance



Objectif
Étudier la variance du produit d'une variable aléatoire par un réel.


On considère une urne opaque dans laquelle se trouvent cinq boules indiscernables au toucher : trois boules noires et deux boules blanches.
Dans la suite, on notera l’événement « On a tiré une boule noire » et l’événement « On a tiré une boule blanche ».
On utilisera la règle suivante : tirer une boule noire rapporte  € alors que tirer une boule blanche fait perdre  €.

Partie A : Étude de

On tire au hasard une boule de l’urne et on note la variable aléatoire correspondant au gain (algébrique) obtenu.

1
Déterminer la loi de probabilité de puis son espérance mathématique.


2
En déduire la variance de la variable aléatoire .


AIDE
2
Si prend les valeurs ; … ; de probabilités respectives ; … ; , alors ... .
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Partie B : On double les gains (et les pertes)

On modifie légèrement le jeu décrit plus haut : les gains et les pertes sont multipliés par .
On note la variable aléatoire donnant le gain algébrique alors obtenu.

1
Déterminer la loi de probabilité de . Justifier que et en déduire .


2
Calculer la variance de . Quelle relation obtient-on entre et  ?


3
Reprendre les questions précédentes et comparer et lorsque les gains sont triplés.
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Bilan

Soient une variable aléatoire et un nombre réel. Exprimer en fonction de et de .
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C
Tirage sans ou avec remise



Objectif
Étudier la variance de la somme de deux variables aléatoires.


On considère l'urne de l'activité précédente dans laquelle on tire deux boules au hasard sans remettre la première boule tirée dans l’urne.

arbre de probabilité

1
Compléter l’arbre de probabilité ci‑dessus.

2
On note et les variables aléatoires correspondant aux gains (algébriques) respectivement obtenus aux 1er et 2e tirage. On note la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu.
    a) Quelles sont les valeurs prises par  ? Par  ? Par  ?


    b) Déterminer les lois de probabilité de , et .


    AIDE
    2
    b) Pour les lois de probabilité de et de , penser à utiliser l’arbre pondéré.
    c) Calculer l’espér
    ance de chacune de ces variables aléatoires.


    d) Calculer la variance de chacune de ces variables aléatoires.


    e) A‑t‑on l’égalité  ?

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3
Reprendre les questions
1
et
2
dans le cadre d'un tirage avec remise.
arbre de probabilité

1) Compléter l’arbre de probabilité ci‑dessus.

2) On note et les variables aléatoires correspondant aux gains (algébriques) respectivement obtenus aux 1er et 2e tirage. On note la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu.
    a) Quelles sont les valeurs prises par  ? Par  ? Par  ?


    b) Déterminer les lois de probabilité de , et .


    c) Calculer l’espérance de chacune de ces variables aléatoires.


    d) Calculer la variance de chacune de ces variables aléatoires.


    e) A‑t‑on l’égalité  ?

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Bilan

Soient et deux variables aléatoires indépendantes.
Exprimer en fonction de et de .

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