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Mathématiques Terminale Spécialité

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Algèbre et géométrie
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Vecteurs, droites et plans de l’espace
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Orthogonalité et distances dans l’espace
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Ch. 4
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Ch. 5
Limites de fonctions
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Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Sommes de variables aléatoires
Ouverturep. 378-379
Activités
Activitép. 380-381
1. Sommes de variables aléatoires
Coursp. 382
2. Espérance et variance d’une somme de variables aléatoires
Coursp. 383-386
3. Applications
Coursp. 387-389
L'essentiel
Fiches de révision - Exclusivité numériquep. 390
Auto-évaluation
Auto-évaluationp. 391
Le « problème des tiroirs »
TP / TICEp. 392
Le paradoxe du duc de Toscane
TP / TICEp. 393
Travailler les automatismes
Exercicesp. 394-395
1. Sommes de variables aléatoires
Exercicesp. 396
2. Espérance et variance d’une somme de variables aléatoires
Exercicesp. 397-398
3. Applications
Exercicesp. 399-401
Synthèse
Synthèsep. 402-405
Exercices de révision
Exercices de révision - Exclusivité numérique
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 13
Activité

Sommes de variables aléatoires

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A
Étude d'un jeu de dé

Objectif : Découvrir par un exemple les propriétés de linéarité de l'espérance.
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Un jeu consiste à lancer un dé équilibré à six faces et à regarder le numéro obtenu. Les règles du jeu sont les suivantes :
  • si le nombre obtenu est 5 ou 6, on gagne 6 € ;
  • si le nombre obtenu est 1, 2 ou 4, on perd 12 € ;
  • si le nombre obtenu est 3, on gagne 15 €.
Placeholder pour Rendu 3D : dé blanc à six faces, trois points visibles.Rendu 3D : dé blanc à six faces, trois points visibles.
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Partie A : On ne joue qu'une seule fois

Dans cette partie, on note \text{X} la variable aléatoire correspondant au gain (éventuellement négatif) obtenu.

1
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \text{X}.

2
En déduire l'espérance mathématique de \text{X} et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'activité. Le jeu est‑il favorable au joueur ? Justifier.
Aide
On pourra commencer par déterminer les valeurs prises par \text{X}.

Partie B : On triple les gains (et les pertes)

Dans cette partie, le responsable du jeu décide de tripler chacun des gains (remportés ou perdus). On note \text{T} la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu avec ces nouvelles règles.

1
Déterminer la loi de probabilité de \text{T}, puis son espérance.

2
À l'aide de l'énoncé, expliquer pourquoi on peut écrire \mathrm{T}=3 \mathrm{X}.

3
Quelle relation avons‑nous obtenue entre \mathrm{E}(\mathrm{T}) et \mathrm{E}(\mathrm{X}) ?


Partie C : On étend le jeu

Le jeu présenté dans la partie A étant trop défavorable au joueur, on demande à celui‑ci, à l'issue du premier jet de dé, de jouer une seconde manche dont la règle est la suivante.
Le joueur relance le dé équilibré : s'il obtient un nombre impair, il gagne 3 € ; sinon, il perd 2 €.
On note \text{Y} la variable aléatoire correspondant au gain du second jeu, et \text{Z} la variable aléatoire correspondant au gain total alors obtenu.

1
Déterminer la loi de probabilité de \text{Y} puis justifier que l'on peut écrire \mathrm{Z}=\mathrm{X}+\mathrm{Y}.

2
Pour tout i \in\{6 ;-12 ; 15\}, on note \text{A}_{i} l'événement « On remporte i euros au cours de la première phase du jeu ». Pour tout j \in\{-2 ;3\}, on note \text{B}_{j} l'événement « On remporte j euros au cours de la seconde phase du jeu ». Réaliser un arbre pondéré illustrant la situation étudiée. On admettra que, pour tout i \in\{6 ;-12 ; 15\} et pour tout j \in\{-2 ;3\}, les événements \text{A}_{i} et \text{B}_{j} sont indépendants.

3
Compléter le tableau suivant résumant la loi de probabilité de \text{Z}.
\mathbf{z}_{\mathbf{i}}-14-9491318
\mathbf{P}\left(\mathbf{Z}=\mathbf{z}_{i}\right)

4
Calculer \text{E(Y)} et \text{E(Z)}. Comparer alors \text{E(Z)} avec \mathrm{E}(\mathrm{X})+\mathrm{E}(\mathrm{Y}) et déterminer si le jeu est réellement moins désavantageux pour le joueur que lors de la partie A.
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Bilan
Si \text{X} et \text{Y} sont deux variables aléatoires et \boldsymbol{a} un nombre réel, exprimer \mathbf{E}( \boldsymbol{a}\mathbf{X}) et \mathbf{E}(\mathbf{X}+\mathbf{Y}) en fonction de \mathbf{E}(\mathbf{X}) et de \mathbf{E}(\mathbf{Y}).
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B
Étude de la variance

Objectif : Étudier la variance du produit d'une variable aléatoire par un réel.
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On considère une urne opaque dans laquelle se trouvent cinq boules indiscernables au toucher : trois boules noires et deux boules blanches.
Dans la suite, on notera \text{N} l'événement « On a tiré une boule noire » et \text{B} l'événement « On a tiré une boule blanche ».
On utilisera la règle suivante : tirer une boule noire rapporte 2 € alors que tirer une boule blanche fait perdre 1 €.
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Partie A : Étude de \mathbf{T}

On tire au hasard une boule de l'urne et on note \text{T} la variable aléatoire correspondant au gain (algébrique) obtenu.

1
Déterminer la loi de probabilité de \text{T} puis son espérance mathématique.

2
En déduire la variance de la variable aléatoire \text{T}.
Aide
Si \text{T} prend les valeurs t_{1} ; … ; t_{n} de probabilités respectives p_{1} ; … ; p_{n}, alors \mathrm{V}(\mathrm{T})=p_{1}\left(t_{1}-\mathrm{E}(\mathrm{T})\right)^{2}+... + p_{n}\left(t_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{T})\right)^{2}.


Partie B : On double les gains (et les pertes)

On modifie légèrement le jeu décrit plus haut : les gains et les pertes sont multipliés par 2.
On note \text{U} la variable aléatoire donnant le gain algébrique alors obtenu.

1
Déterminer la loi de probabilité de \text{U}. Justifier que \mathrm{U}=2 \mathrm{T} et en déduire \text{E(U)}.

2
Calculer la variance de \text{U}. Quelle relation obtient-on entre \text{V(U)} et \text{V(T)} ?

3
Reprendre les questions précédentes et comparer \text{V(T)} et \text{V(U)} lorsque les gains sont triplés.
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Bilan
Soient \text{X} une variable aléatoire et \boldsymbol{a} un nombre réel. Exprimer \mathbf{V}(\boldsymbol{a} \mathbf{X}) en fonction de \mathbf{V}(\mathbf{X}) et de \boldsymbol{a}.
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C
Tirage sans ou avec remise

Objectif : Étudier la variance de la somme de deux variables aléatoires.
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On considère l'urne de l'activité précédente dans laquelle on tire deux boules au hasard sans remettre la première boule tirée dans l'urne.

arbre de probabilité
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1
Compléter l'arbre de probabilité ci‑dessus.
2
On note \text{X} et \text{Y} les variables aléatoires correspondant aux gains (algébriques) respectivement obtenus aux 1er et 2e tirage. On note \mathrm{Z}=\mathrm{X}+\mathrm{Y} la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu.
    a) Quelles sont les valeurs prises par \text{X} ? Par \text{Y} ? Par \text{Z} ?

    b) Déterminer les lois de probabilité de \text{X}, \text{Y} et \text{Z}.
    Aide
    Pour les lois de probabilité de \text{Y} et de \text{Z}, penser à utiliser l'arbre pondéré.
    c) Calculer l'espérance de chacune de ces variables aléatoires.

    d) Calculer la variance de chacune de ces variables aléatoires.

    e) A‑t‑on l'égalité \mathrm{V}(\mathrm{Z})=\mathrm{V}(\mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y}) ?

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3
Reprendre les questions
1
et
2
dans le cadre d'un tirage avec remise.

1) Compléter l'arbre de probabilité ci‑dessus.

2) On note \text{X} et \text{Y} les variables aléatoires correspondant aux gains (algébriques) respectivement obtenus aux 1er et 2e tirage. On note \mathrm{Z}=\mathrm{X}+\mathrm{Y} la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu.
    a) Quelles sont les valeurs prises par \text{X} ? Par \text{Y} ? Par \text{Z} ?


    b) Déterminer les lois de probabilité de \text{X}, \text{Y} et \text{Z}.


    c) Calculer l'espérance de chacune de ces variables aléatoires.


    d) Calculer la variance de chacune de ces variables aléatoires.


    e) A‑t‑on l'égalité \mathrm{V}(\mathrm{Z})=\mathrm{V}(\mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y}) ?

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Bilan
Soient \mathbf{X} et \mathbf{Y} deux variables aléatoires indépendantes.
Exprimer \mathbf{V}(\mathbf{X}+\mathbf{Y}) en fonction de \mathbf{V}(\mathbf{X}) et de \mathbf{V}(\mathbf{Y}).
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