Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Activités
P.380-381

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer




Activités




A
Étude d’un jeu de dé



Objectif
Découvrir par un exemple les propriétés de linéarité de l’espérance.

des à 6 faces
Un jeu consiste à lancer un dé équilibré à six faces et à regarder le numéro obtenu. Les règles du jeu sont les suivantes :
  • si le nombre obtenu est 55 ou 66, on gagne 66 € ;
  • si le nombre obtenu est 11, 22 ou 44, on perd 1212 € ;
  • si le nombre obtenu est 33, on gagne 1515 €.

Partie A : On ne joue qu’une seule fois

Dans cette partie, on note X\text{X} la variable aléatoire correspondant au gain (éventuellement négatif) obtenu.

1
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X\text{X}.


2
En déduire l’espérance mathématique de X\text{X} et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’activité. Le jeu est‑il favorable au joueur ? Justifier.


AIDE
1
On pourra commencer par déterminer les valeurs prises par X\text{X}.
Voir les réponses
Voir les réponses

Partie B : On triple les gains (et les pertes)

Dans cette partie, le responsable du jeu décide de tripler chacun des gains (remportés ou perdus). On note T\text{T} la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu avec ces nouvelles règles.

1
Déterminer la loi de probabilité de T\text{T}, puis son espérance.


2
À l’aide de l’énoncé, expliquer pourquoi on peut écrire T=3X\mathrm{T}=3 \mathrm{X}.


3
Quelle relation avons‑nous obtenue entre E(T)\mathrm{E}(\mathrm{T}) et E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}) ?


Partie C : On étend le jeu

Le jeu présenté dans la partie A étant trop défavorable au joueur, on demande à celui‑ci, à l’issue du premier jet de dé, de jouer une seconde manche dont la règle est la suivante.
Le joueur relance le dé équilibré : s'il obtient un nombre impair, il gagne 33 € ; sinon, il perd 22 €.
On note Y\text{Y} la variable aléatoire correspondant au gain du second jeu, et Z\text{Z} la variable aléatoire correspondant au gain total alors obtenu.

1
Déterminer la loi de probabilité de Y\text{Y} puis justifier que l’on peut écrire Z=X+Y\mathrm{Z}=\mathrm{X}+\mathrm{Y}.


2
Pour tout i{6;12;15}i \in\{6 ;-12 ; 15\}, on note Ai\text{A}_{i} l’événement « On remporte ii euros au cours de la première phase du jeu ». Pour tout j{2;3}j \in\{-2 ;3\}, on note Bj\text{B}_{j} l’événement « On remporte jj euros au cours de la seconde phase du jeu ». Réaliser un arbre pondéré illustrant la situation étudiée. On admettra que, pour tout i{6;12;15}i \in\{6 ;-12 ; 15\} et pour tout j{2;3}j \in\{-2 ;3\}, les événements Ai\text{A}_{i} et Bj\text{B}_{j} sont indépendants.


3
Compléter le tableau suivant résumant la loi de probabilité de Z\text{Z}.
zi\mathbf{z}_{\mathbf{i}} -14 -9 4 9 13 18
P(Z=zi)\mathbf{P}\left(\mathbf{Z}=\mathbf{z}_{i}\right)


4
Calculer E(Y)\text{E(Y)} et E(Z)\text{E(Z)}. Comparer alors E(Z)\text{E(Z)} avec E(X)+E(Y)\mathrm{E}(\mathrm{X})+\mathrm{E}(\mathrm{Y}) et déterminer si le jeu est réellement moins désavantageux pour le joueur que lors de la partie A.
Voir les réponses
Voir les réponses
Voir les réponses


Bilan

Si X\text{X} et Y\text{Y} sont deux variables aléatoires et a\boldsymbol{a} un nombre réel, Bilan exprimer E(aX)\mathbf{E}( \boldsymbol{a}\mathbf{X}) et E(X+Y)\mathbf{E}(\mathbf{X}+\mathbf{Y}) en fonction de E(X)\mathbf{E}(\mathbf{X}) et de E(Y)\mathbf{E}(\mathbf{Y}).
Voir les réponses

B
Étude de la variance



Objectif
Étudier la variance du produit d'une variable aléatoire par un réel.


On considère une urne opaque dans laquelle se trouvent cinq boules indiscernables au toucher : trois boules noires et deux boules blanches.
Dans la suite, on notera N\text{N} l’événement « On a tiré une boule noire » et B\text{B} l’événement « On a tiré une boule blanche ».
On utilisera la règle suivante : tirer une boule noire rapporte 22 € alors que tirer une boule blanche fait perdre 11 €.

Partie A : Étude de T\mathbf{T}

On tire au hasard une boule de l’urne et on note T\text{T} la variable aléatoire correspondant au gain (algébrique) obtenu.

1
Déterminer la loi de probabilité de T\text{T} puis son espérance mathématique.


2
En déduire la variance de la variable aléatoire T\text{T}.


AIDE
2
Si T\text{T} prend les valeurs t1t_{1} ; … ; tnt_{n} de probabilités respectives p1p_{1} ; … ; pnp_{n}, alors V(T)=p1(t1E(T))2+\mathrm{V}(\mathrm{T})=p_{1}\left(t_{1}-\mathrm{E}(\mathrm{T})\right)^{2}+... ++ pn(tnE(T))2p_{n}\left(t_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{T})\right)^{2}.
Voir les réponses
Voir les réponses

Partie B : On double les gains (et les pertes)

On modifie légèrement le jeu décrit plus haut : les gains et les pertes sont multipliés par 22.
On note U\text{U} la variable aléatoire donnant le gain algébrique alors obtenu.

1
Déterminer la loi de probabilité de U\text{U}. Justifier que U=2T\mathrm{U}=2 \mathrm{T} et en déduire E(U)\text{E(U)}.


2
Calculer la variance de U\text{U}. Quelle relation obtient-on entre V(U)\text{V(U)} et V(T)\text{V(T)} ?


3
Reprendre les questions précédentes et comparer V(T)\text{V(T)} et V(U)\text{V(U)} lorsque les gains sont triplés.
Voir les réponses
Voir les réponses
Voir les réponses


Bilan

Soient X\text{X} une variable aléatoire et a\boldsymbol{a} un nombre réel. Exprimer V(aX)\mathbf{V}(\boldsymbol{a} \mathbf{X}) en fonction de V(X)\mathbf{V}(\mathbf{X}) et de a\boldsymbol{a}.
Voir les réponses

C
Tirage sans ou avec remise



Objectif
Étudier la variance de la somme de deux variables aléatoires.


On considère l'urne de l'activité précédente dans laquelle on tire deux boules au hasard sans remettre la première boule tirée dans l’urne.

arbre de probabilité

1
Compléter l’arbre de probabilité ci‑dessus.

2
On note X\text{X} et Y\text{Y} les variables aléatoires correspondant aux gains (algébriques) respectivement obtenus aux 1er et 2e tirage. On note Z=X+Y\mathrm{Z}=\mathrm{X}+\mathrm{Y} la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu.
    a) Quelles sont les valeurs prises par X\text{X} ? Par Y\text{Y} ? Par Z\text{Z} ?


    b) Déterminer les lois de probabilité de X\text{X}, Y\text{Y} et Z\text{Z}.


    AIDE
    2
    b) Pour les lois de probabilité de Y\text{Y} et de Z\text{Z}, penser à utiliser l’arbre pondéré.
    c) Calculer l’espér
    ance de chacune de ces variables aléatoires.


    d) Calculer la variance de chacune de ces variables aléatoires.


    e) A‑t‑on l’égalité V(Z)=V(X)+V(Y)\mathrm{V}(\mathrm{Z})=\mathrm{V}(\mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y}) ?

Voir les réponses
Voir les réponses

3
Reprendre les questions
1
et
2
dans le cadre d'un tirage avec remise.
arbre de probabilité

1) Compléter l’arbre de probabilité ci‑dessus.

2) On note X\text{X} et Y\text{Y} les variables aléatoires correspondant aux gains (algébriques) respectivement obtenus aux 1er et 2e tirage. On note Z=X+Y\mathrm{Z}=\mathrm{X}+\mathrm{Y} la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu.
    a) Quelles sont les valeurs prises par X\text{X} ? Par Y\text{Y} ? Par Z\text{Z} ?


    b) Déterminer les lois de probabilité de X\text{X}, Y\text{Y} et Z\text{Z}.


    c) Calculer l’espérance de chacune de ces variables aléatoires.


    d) Calculer la variance de chacune de ces variables aléatoires.


    e) A‑t‑on l’égalité V(Z)=V(X)+V(Y)\mathrm{V}(\mathrm{Z})=\mathrm{V}(\mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y}) ?

Voir les réponses
Voir les réponses
Voir les réponses

Bilan

Soient X\mathbf{X} et Y\mathbf{Y} deux variables aléatoires indépendantes.
Exprimer V(X+Y)\mathbf{V}(\mathbf{X}+\mathbf{Y}) en fonction de V(X)\mathbf{V}(\mathbf{X}) et de V(Y)\mathbf{V}(\mathbf{Y}).

Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.