L’étude des sommes de variables aléatoires et de leurs propriétés permet
de simplifier considérablement un certain nombre de problèmes.
Parmi ces problèmes, voici celui de Montmort dont on donne une
adaptation : on tire successivement et sans remise les 15 boules de
billard américain, toutes numérotées de 1 à 15.
On dit qu’il y a une « rencontre au ke tirage » si on pioche la boule
numérotée k au ke tirage. Quel est le nombre moyen de rencontres ?
Capacités attendues - chapitre 13
1. Représenter une variable comme somme de
variables aléatoires plus simples.
2. Calculer l’espérance d’une variable aléatoire,
notamment en utilisant la propriété de linéarité.
3. Calculer la variance d’une variable aléatoire,
notamment en l’exprimant comme somme de
variables aléatoires indépendantes.
Avant de commencer
Prérequis
1. Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire. 2. Calculer l’espérance d’une variable aléatoire. 3. Calculer la variance et l’écart type d’une variable aléatoire. 4. Connaître les règles de calculs sur les arbres probabilisés. 5. Reconnaître une situation de loi binomiale.
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1
Déterminer les valeurs d'une variable aléatoire
À la fin d’une partie de tarot, on compte les
points de la manière suivante :
un bout ou un roi rapporte 4,5 points ;
une dame rapporte 3,5 points ;
un cavalier rapporte 2,5 points ;
un valet rapporte 1,5 point ;
toute autre carte rapporte 0,5 point.
On choisit aléatoirement une carte dans un
paquet de tarot et on note X la variable aléatoire
correspondant à la valeur de la carte obtenue.
Quelles sont les valeurs possibles de la variable
aléatoire X ?
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2
Calculer les caractéristiques d'une variable aléatoire
On lance un dé cubique équilibré et on joue au jeu suivant :
si le nombre obtenu est pair ou est égal à 3, on gagne 2 € ;
si le nombre obtenu est 1 ou 5, on perd 10 €.
On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur.
1. Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire X ?
2. Déterminer la loi de probabilité de X.
3. Calculer et interpréter l’espérance de X.
4. Déterminer la variance et l’écart type de X.
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3
Utiliser un arbre pondéré
Le gérant d’un magasin de téléphonie a établi les
statistiques suivantes :
30 % de ses clients achètent un téléphone ;
parmi les clients achetant un téléphone, 80 %
achètent également une coque de protection ;
parmi les clients n’achetant pas de téléphone,
15 % achètent une coque de protection.
On sélectionne au hasard un client du magasin.
On définit les événements suivants :
T : « le client a acheté un téléphone
portable » ;
C : « le client a acheté une coque de
protection ».
1. Construire un arbre de probabilité adapté à la situation étudiée.
2. Calculer la probabilité que le client choisi achète à la fois un téléphone et une coque.
3. Calculer et interpréter P(C).
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4
Loi binomiale
On estime que 23 % des trajets proposés par une
compagnie rencontrent des retards. On choisit
d’étudier de manière totalement aléatoire 100 trajets
de la compagnie. On admet qu’on peut assimiler
le choix des 100 trajets à un tirage avec remise.
On note X la variable aléatoire donnant le nombre
de trains en retard parmi les 100 choisis.
Justifier que X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
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5
Problème
On considère un entier n⩾1. On pioche avec
remise deux jetons d’une urne contenant deux
jetons noirs et n jetons rouges.
Chaque jeton ayant la même probabilité d’être
choisi, on joue au jeu suivant :
on gagne 1 point si on obtient deux jetons rouges ;
on gagne 20 points si on obtient deux jetons noirs ;
on perd 6 points si on obtient deux jetons de couleurs différentes.
Existe‑t‑il des valeurs de n pour lesquelles le jeu est équitable ? Justifier.
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Anecdote
En 2009, l’Américaine Patricia Demauro aurait
lancé 154 paires de dés durant une partie de
craps sans jamais obtenir la somme 7 (pourtant
la plus probable).
On estime la probabilité de réalisation de cet
événement à environ 6,4×10−13, soit environ
0,000000000064 %.