Sommes de variables aléatoires

1

Déterminer les valeurs d'une variable aléatoire

À la fin d’une partie de tarot, on compte les points de la manière suivante :

• un bout ou un roi rapporte $4,5$ points ;
• une dame rapporte $3,5$ points ;
• un cavalier rapporte $2,5$ points ;
• un valet rapporte $1,5$ point ;
• toute autre carte rapporte $0,5$ point.

On choisit aléatoirement une carte dans un paquet de tarot et on note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant à la valeur de la carte obtenue.
Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire $\text{X}$ ?

2

Calculer les caractéristiques d'une variable aléatoire

On lance un dé cubique équilibré et on joue au jeu suivant :

• si le nombre obtenu est pair ou est égal à $3$, on gagne $2$ € ;
• si le nombre obtenu est $1$ ou $5$, on perd $10$ €.

On note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur.

1. Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire $\text{X}$ ?


2. Déterminer la loi de probabilité de $\text{X}$.


3. Calculer et interpréter l’espérance de $\text{X}$.


4. Déterminer la variance et l’écart type de $\text{X}$.

3

Utiliser un arbre pondéré

Le gérant d’un magasin de téléphonie a établi les statistiques suivantes :

• $30$ % de ses clients achètent un téléphone ;
• parmi les clients achetant un téléphone, $80$ % achètent également une coque de protection ;
• parmi les clients n’achetant pas de téléphone, $15$ % achètent une coque de protection.

On sélectionne au hasard un client du magasin. On définit les événements suivants :

• $\text{T}$ : « le client a acheté un téléphone portable » ;
• $\text{C}$ : « le client a acheté une coque de protection ».

1. Construire un arbre de probabilité adapté à la situation étudiée.


2. Calculer la probabilité que le client choisi achète à la fois un téléphone et une coque.


3. Calculer et interpréter $\text{P(C)}$.

4

Loi binomiale

On estime que $23$ % des trajets proposés par une compagnie rencontrent des retards. On choisit d’étudier de manière totalement aléatoire $100$ trajets de la compagnie. On admet qu’on peut assimiler le choix des $100$ trajets à un tirage avec remise.
On note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre de trains en retard parmi les $100$ choisis.

Justifier que $\text{X}$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

5

Problème

On considère un entier $n \geqslant 1$. On pioche avec remise deux jetons d’une urne contenant deux jetons noirs et $n$ jetons rouges.
Chaque jeton ayant la même probabilité d’être choisi, on joue au jeu suivant :

• on gagne $1$ point si on obtient deux jetons rouges ;
• on gagne $20$ points si on obtient deux jetons noirs ;
• on perd $6$ points si on obtient deux jetons de couleurs différentes.

Existe‑t‑il des valeurs de $n$ pour lesquelles le jeu est équitable ? Justifier.